Ressources · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale
Rappels de 1re sur l’espérance et la variance, loi uniforme et loi de Bernoulli, schéma de Bernoulli et arbre, coefficients binomiaux et triangle de Pascal, loi binomiale avec son espérance et son écart type, seuils et intervalles de probabilité.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
X suit la loi uniforme sur {1, 2, …, 24}. Que vaut P(X = 7) ?
- A. 7/24
- B. 1/24
- C. 1/7
- D. 17/24
Réponse
B. 1/24 — Loi uniforme : chacune des 24 valeurs a la même probabilité 1/24, quelle que soit la valeur choisie.
X suit la loi uniforme sur {1, …, 40}. Son espérance vaut :
- A. 20
- B. 19,5
- C. 20,5
- D. 41
Réponse
C. 20,5 — E(X) = (n + 1)/2 = 41/2 = 20,5. La valeur 20 vient de la formule fausse n/2, la valeur 19,5 de (n − 1)/2.
X suit la loi de Bernoulli de paramètre p. Alors E(X) vaut :
- A. p
- B. 1 − p
- C. p(1 − p)
- D. np
Réponse
A. p — E(X) = 1 × p + 0 × (1 − p) = p. Le produit p(1 − p) est la variance.
Laquelle de ces situations est un schéma de Bernoulli ?
- A. Tirer 4 jetons sans remise dans un sac de 10 et compter les rouges
- B. Noter la somme obtenue avec deux dés lancés une fois
- C. Mesurer la taille, en centimètres, de dix élèves
- D. Lancer 7 fois une pièce truquée et compter les « pile »
Réponse
D. Lancer 7 fois une pièce truquée et compter les « pile » — Sept épreuves à deux issues, identiques et indépendantes. Sans remise dans un petit sac, les tirages ne sont pas indépendants ; une somme ou une taille ne comptent pas des succès.
Que vaut le coefficient binomial « 0 parmi 13 » ?
- A. 0
- B. 1
- C. 13
- D. il n’est pas défini
Réponse
B. 1 — Un seul chemin de l’arbre ne comporte aucun succès : celui où les 13 épreuves sont des échecs.
Si X suit la loi B(n ; p), sa variance vaut :
- A. np
- B. √(np)
- C. np(1 − p)
- D. n²p(1 − p)
Réponse
C. np(1 − p) — V(X) = np(1 − p) ; np est l’espérance, et l’écart type est √(np(1 − p)).
La ligne n = 4 du triangle de Pascal est 1, 4, 6, 4, 1. Que vaut « 2 parmi 4 » ?
- A. 4
- B. 12
- C. 2
- D. 6
Réponse
D. 6 — On lit le terme de rang 2, en commençant la numérotation à 0 : 1 (rang 0), 4 (rang 1), 6 (rang 2).
X suit la loi B(9 ; 0,37). Les valeurs prises par X sont :
- A. les entiers de 0 à 9
- B. les entiers de 1 à 9
- C. tous les réels de 0 à 9
- D. les entiers de 0 à 8
Réponse
A. les entiers de 0 à 9 — Le nombre de succès va de 0 (aucun succès) à 9 (neuf succès).
Dans l’arbre d’un schéma de Bernoulli à 7 épreuves, combien de chemins comportent exactement un succès ?
- A. 1
- B. 14
- C. 7
- D. 128
Réponse
C. 7 — « 1 parmi 7 » = 7 : le succès est à l’une des 7 places. Le nombre 128 = 2⁷ est le nombre total de chemins.
X suit la loi B(25 ; 0,4). E(X) vaut :
- A. 6
- B. 10
- C. 0,4
- D. 15
Réponse
B. 10 — E(X) = np = 25 × 0,4 = 10. Le nombre 6 est la variance 25 × 0,4 × 0,6, et 15 le nombre moyen d’échecs.
X suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,5. Son écart type vaut :
- A. 0,5
- B. 0,25
- C. 1
- D. 0,75
Réponse
A. 0,5 — V(X) = 0,5 × 0,5 = 0,25, donc σ(X) = √0,25 = 0,5. Le nombre 0,25 est la variance.
On sait que E(X) = 4. Que vaut E(2X + 3) ?
- A. 8
- B. 14
- C. 7
- D. 11
Réponse
D. 11 — Linéarité : E(2X + 3) = 2E(X) + 3 = 8 + 3 = 11. La réponse 8 oublie la constante, 14 multiplie aussi la constante par 2.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
X suit la loi B(4 ; 0,55). P(X = 0) est égal à :
- A. 0,45⁴
- B. 0,55⁴
- C. 4 × 0,45
- D. 1 − 0,55⁴
Réponse
A. 0,45⁴ — Aucun succès : quatre échecs, chacun de probabilité 0,45, d’où 0,45⁴ ≈ 0,041.
Que vaut le coefficient « 3 parmi 10 » ?
- A. 30
- B. 120
- C. 720
- D. 13
Réponse
B. 120 — Ligne 10 du triangle de Pascal (1, 10, 45, 120, …) ou calculatrice (10 nCr 3) : 120. Les nombres 30 = 3 × 10, 13 = 3 + 10 et 720 = 10 × 9 × 8 ne figurent pas sur la ligne 10.
X suit la loi B(45 ; 0,18). E(X) vaut :
- A. 0,18
- B. 6,642
- C. 8,1
- D. 36,9
Réponse
C. 8,1 — E(X) = np = 45 × 0,18 = 8,1 ; 6,642 est la variance np(1 − p) et 36,9 = 45 × 0,82 le nombre moyen d’échecs.
X suit la loi B(75 ; 0,4). Son écart type vaut environ :
- A. 18
- B. 5,48
- C. 30
- D. 4,24
Réponse
D. 4,24 — V(X) = 75 × 0,4 × 0,6 = 18, donc σ(X) = √18 ≈ 4,24. Le nombre 5,48 ≈ √30 oublie le facteur 1 − p.
Quatre épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,22. La probabilité d’obtenir au moins un succès est :
- A. 0,78⁴
- B. 1 − 0,78⁴
- C. 4 × 0,22
- D. 1 − 4 × 0,22
Réponse
B. 1 − 0,78⁴ — L’événement contraire est « aucun succès », de probabilité 0,78⁴ ; d’où 1 − 0,78⁴ ≈ 0,630.
X suit la loi B(7 ; 0,5). P(X ≥ 6) vaut :
- A. 7/128
- B. 15/16
- C. 1/16
- D. 1/128
Réponse
C. 1/16 — P(X = 6) + P(X = 7) = 7/128 + 1/128 = 8/128 = 1/16.
Deux épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,62. La probabilité d’obtenir exactement un succès vaut :
- A. 0,62 × 0,38
- B. 0,38²
- C. 1 − 0,62²
- D. 2 × 0,62 × 0,38
Réponse
D. 2 × 0,62 × 0,38 — Deux chemins, S puis non S et non S puis S, de même probabilité 0,62 × 0,38 : au total environ 0,471.
X suit la loi uniforme sur {1, …, 9}. La probabilité que X soit pair vaut :
- A. 4/9
- B. 1/2
- C. 5/9
- D. 4/10
Réponse
A. 4/9 — Les valeurs paires sont 2, 4, 6, 8 : 4 valeurs sur 9 équiprobables.
X prend les valeurs 0, 1 et 2 avec les probabilités 0,25 ; 0,5 et 0,25. V(X) vaut :
- A. 1
- B. 0,5
- C. 1,5
- D. 0,25
Réponse
B. 0,5 — E(X) = 0,5 + 0,5 = 1 et E(X²) = 0,5 + 4 × 0,25 = 1,5, donc V(X) = 1,5 − 1² = 0,5. Le nombre 1,5 est E(X²).
Pour une variable X à valeurs entières, P(X < 5) est égal à :
- A. P(X ≤ 5)
- B. 1 − P(X ≤ 5)
- C. P(X ≤ 4)
- D. 1 − P(X ≥ 4)
Réponse
C. P(X ≤ 4) — X étant entier, « strictement moins de 5 » signifie X ≤ 4. Et 1 − P(X ≥ 4) vaut P(X ≤ 3).
Le plus petit entier n tel que 1 − 0,7ⁿ ≥ 0,9 est :
- A. 6
- B. 3
- C. 10
- D. 7
Réponse
D. 7 — 0,7ⁿ ≤ 0,1 ⟺ n ≥ ln 0,1 / ln 0,7 ≈ 6,46. Contrôle : 0,7⁶ ≈ 0,118 et 0,7⁷ ≈ 0,082. Écrire 3 × 0,3 = 0,9 est faux : n × p n’est pas la probabilité d’au moins un succès.
« 4 parmi 9 » + « 5 parmi 9 » est égal à :
- A. « 5 parmi 10 »
- B. « 9 parmi 18 »
- C. « 4 parmi 10 »
- D. « 5 parmi 9 »
Réponse
A. « 5 parmi 10 » — Relation de Pascal avec n = 9 et k = 4 : 126 + 126 = 252 = « 5 parmi 10 ». On n’additionne ni les k ni les n.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
On tire successivement, sans remise, 3 boules d’une urne de 12 boules dont 5 vertes. Le nombre de boules vertes suit-il la loi B(3 ; 5/12) ?
- A. Oui, car il y a 3 tirages de même nature
- B. Non, car les tirages ne sont pas indépendants
- C. Oui, car chaque boule a la même chance d’être tirée
- D. Non, car un schéma exige au moins 10 épreuves
Réponse
B. Non, car les tirages ne sont pas indépendants — Sans remise, la composition de l’urne change à chaque tirage : les épreuves ne sont ni identiques ni indépendantes. Un schéma de Bernoulli peut avoir n’importe quel nombre d’épreuves.
X suit une loi binomiale. Avec la fonction « P(X ≤ k) » de la calculatrice, P(X > 6) se calcule par :
- A. 1 − P(X ≤ 5)
- B. 1 − P(X ≥ 6)
- C. 1 − P(X ≤ 6)
- D. P(X ≤ 6) − P(X = 6)
Réponse
C. 1 − P(X ≤ 6) — « Plus de 6 » signifie X ≥ 7, contraire de X ≤ 6. Le calcul 1 − P(X ≤ 5) donnerait P(X ≥ 6), qui compte la valeur 6 en trop.
Une variable X de loi binomiale vérifierait E(X) = 6 et V(X) = 6. Alors :
- A. n = 12 et p = 0,5
- B. p = 1
- C. n = 6 et p = 1
- D. c’est impossible
Réponse
D. c’est impossible — V(X) = E(X) × (1 − p) imposerait 1 − p = 1, donc p = 0 et E(X) = 0, et non 6. Pour p ≠ 0, la variance d’une loi binomiale est strictement inférieure à son espérance.
Le coefficient « 11 parmi 15 » est égal à :
- A. « 4 parmi 15 »
- B. « 15 parmi 11 »
- C. « 11 parmi 4 »
- D. 15 × 11
Réponse
A. « 4 parmi 15 » — Symétrie : « 11 parmi 15 » = « 15 − 11 parmi 15 » = « 4 parmi 15 » = 1 365. On ne peut pas choisir 15 succès parmi 11 épreuves.
On lance 8 fois un dé équilibré ; X compte les « 1 » obtenus. P(X = 2) vaut :
- A. (1/6)² × (5/6)⁶
- B. « 2 parmi 8 » × (1/6)² × (5/6)⁶
- C. « 2 parmi 8 » × (1/6)² × (5/6)⁸
- D. « 2 parmi 8 » × (1/6)²
Réponse
B. « 2 parmi 8 » × (1/6)² × (5/6)⁶ — Formule « k parmi n » × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ avec n = 8 et k = 2 : l’exposant de 5/6 est 8 − 2 = 6. Sans le coefficient, on ne compte qu’un seul chemin.
Chaque essai réussit avec la probabilité 0,025. Un élève affirme qu’en 40 essais indépendants, le succès est certain. La probabilité d’au moins un succès vaut en fait :
- A. 1, car 40 × 0,025 = 1
- B. exactement 0,5
- C. environ 0,64
- D. environ 0,36
Réponse
C. environ 0,64 — 1 − 0,975⁴⁰ ≈ 1 − 0,363 = 0,637. Le produit np = 1 est le nombre moyen de succès, pas une probabilité ; 0,36 est la probabilité de n’avoir aucun succès.
X suit la loi B(n ; p). Si l’on double n sans changer p, l’écart type de X est :
- A. multiplié par 2
- B. multiplié par 4
- C. inchangé, car p ne change pas
- D. multiplié par √2
Réponse
D. multiplié par √2 — La variance np(1 − p) est multipliée par 2, donc l’écart type, sa racine carrée, est multiplié par √2 ≈ 1,41.
X suit la loi uniforme sur {1, …, n} et E(X) = 17. Alors n vaut :
- A. 33
- B. 34
- C. 17
- D. 8,5
Réponse
A. 33 — (n + 1)/2 = 17 donne n + 1 = 34, soit n = 33. Répondre 34 revient à utiliser à tort E(X) = n/2.
X suit la loi B(2 ; p). En développant E(X) = 1 × 2p(1 − p) + 2 × p², on obtient :
- A. 2p − 2p²
- B. 2p
- C. 2p²
- D. p(1 − p)
Réponse
B. 2p — 2p(1 − p) + 2p² = 2p − 2p² + 2p² = 2p : on retrouve E(X) = np pour n = 2.
X suit une loi binomiale ; la calculatrice donne P(X ≤ 9) ≈ 0,018 et P(X ≤ 10) ≈ 0,037. Le plus petit entier a tel que P(X ≤ a) > 0,025 est :
- A. 9
- B. 11
- C. 10
- D. 8
Réponse
C. 10 — P(X ≤ 9) ≈ 0,018 ne dépasse pas 0,025, tandis que P(X ≤ 10) ≈ 0,037 le dépasse : a = 10. Les P(X ≤ k) croissent avec k, donc aucun entier plus petit ne convient.
X suit la loi B(14 ; 0,86). P(X ≤ 13) vaut :
- A. 0,86¹³
- B. 1 − 0,14¹⁴
- C. 13 × 0,86
- D. 1 − 0,86¹⁴
Réponse
D. 1 − 0,86¹⁴ — Le contraire de X ≤ 13 est X = 14, de probabilité 0,86¹⁴ ≈ 0,121 ; donc P(X ≤ 13) = 1 − 0,86¹⁴ ≈ 0,879.
Une fonction Python répète 50 fois le test random() < 0.3 et compte les réponses vraies. Elle renvoie une réalisation de :
- A. la loi B(50 ; 0,3)
- B. la loi uniforme sur {1, …, 50}
- C. la loi de Bernoulli de paramètre 0,3
- D. la loi B(50 ; 0,7)
Réponse
A. la loi B(50 ; 0,3) — Chaque test est une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,3 (vrai avec la probabilité 0,3) ; 50 répétitions indépendantes dont on compte les succès donnent la loi B(50 ; 0,3).
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs