Lois discrètes : loi uniforme, loi de Bernoulli, loi binomiale

Loi uniforme discrète, épreuve et loi de Bernoulli, schéma de Bernoulli, coefficients binomiaux, loi binomiale, espérance et variance

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Ce QCM sur « Lois discrètes : loi uniforme, loi de Bernoulli, loi binomiale » en terminale teste tes connaissances en maths complémentaires (option tle) de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : L'essentiel, Loi uniforme discrète, Épreuve et loi de Bernoulli, Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en maths complémentaires (option tle) en terminale.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

$X$ suit la loi uniforme sur ${1, 2, \dots, 24}$ . Que vaut $P (X = 7)$ ?
- A. $\frac{7}{24}$
- B. $\frac{1}{24}$
- C. $\frac{1}{7}$
- D. $\frac{17}{24}$
Réponse
B. $\frac{1}{24}$ — Loi uniforme : chacune des 24 valeurs a la même probabilité $\frac{1}{24}$ , quelle que soit la valeur choisie.
$X$ suit la loi uniforme sur ${1, \dots, 40}$ . Son espérance vaut :
- A. 20
- B. 40
- C. 20,5
- D. 21
Réponse
C. 20,5 — $E (X) = \frac{n + 1}{2} = \frac{41}{2} = 20, 5$ .
$X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ . Alors $E (X)$ vaut :
- A. $p$
- B. $1 - p$
- C. $p (1 - p)$
- D. $n p$
Réponse
A. $p$ — $E (X) = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p$ ; $p (1 - p)$ est la variance.
Laquelle de ces situations est un schéma de Bernoulli ?
- A. Tirer 4 cartes sans remise dans un jeu de 32 et compter les as
- B. Lancer 7 fois une pièce truquée et compter les « pile »
- C. Noter la somme obtenue avec deux dés lancés une seule fois
- D. Mesurer la taille, en centimètres, de dix élèves
Réponse
B. Lancer 7 fois une pièce truquée et compter les « pile » — Sept épreuves identiques et indépendantes à deux issues. Sans remise, les tirages de cartes ne sont pas indépendants.
Que vaut $(\binom{13}{0})$ ?
- A. 0
- B. 13
- C. 1
- D. non défini
Réponse
C. 1 — Un seul chemin de l'arbre ne comporte aucun succès : celui où toutes les épreuves sont des échecs.
Si $X$ suit la loi $ℬ (n; p)$ , sa variance vaut :
- A. $n p$
- B. $\sqrt{n p}$
- C. $n^{2} p (1 - p)$
- D. $n p (1 - p)$
Réponse
D. $n p (1 - p)$ — $V (X) = n p (1 - p)$ ; $n p$ est l'espérance.
La ligne $n = 4$ du triangle de Pascal est 1, 4, 6, 4, 1. Que vaut $(\binom{4}{2})$ ?
- A. 4
- B. 12
- C. 2
- D. 6
Réponse
D. 6 — On lit le terme de rang $k = 2$ , en commençant la numérotation à $k = 0$ : 6.
$X$ suit la loi $ℬ (9; 0, 37)$ . Les valeurs prises par $X$ sont :
- A. les entiers de 0 à 9
- B. les entiers de 1 à 9
- C. tous les réels de 0 à 9
- D. les entiers de 0 à 8
Réponse
A. les entiers de 0 à 9 — Le nombre de succès va de 0 (aucun succès) à 9 (neuf succès).

Niveau moyen — 8 questions

$X$ suit la loi $ℬ (4; 0, 55)$ . $P (X = 0)$ est égal à :
- A. $0, 45^{4}$
- B. $0, 55^{4}$
- C. $4 \times 0, 45$
- D. $1 - 0, 55^{4}$
Réponse
A. $0, 45^{4}$ — Aucun succès : quatre échecs, chacun de probabilité 0,45, d'où $0, 45^{4} \approx 0, 041$ .
Que vaut $(\binom{9}{3})$ ?
- A. 27
- B. 84
- C. 504
- D. 36
Réponse
B. 84 — À la calculatrice (9 nCr 3) ou avec le triangle de Pascal : 84. Le nombre 504 vaut $9 \times 8 \times 7$ , sans division par $3 \times 2 \times 1$ .
$X$ suit la loi $ℬ (45; 0, 18)$ . $E (X)$ vaut :
- A. 8,1
- B. 0,18
- C. 6,642
- D. 36,9
Réponse
A. 8,1 — $E (X) = n p = 45 \times 0, 18 = 8, 1$ ; 6,642 est la variance $n p (1 - p)$ .
$X$ suit la loi $ℬ (75; 0, 4)$ . Son écart type vaut :
- A. 18
- B. ≈ 4,24
- C. $\sqrt{30}$
- D. $75 \times 0, 4$
Réponse
B. ≈ 4,24 — $V (X) = 75 \times 0, 4 \times 0, 6 = 18$ , donc $σ (X) = \sqrt{18} \approx 4, 24$ .
Quatre épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,22. La probabilité d'obtenir au moins un succès est :
- A. $0, 78^{4}$
- B. $4 \times 0, 22$
- C. $1 - 4 \times 0, 22$
- D. $1 - 0, 78^{4}$
Réponse
D. $1 - 0, 78^{4}$ — L'événement contraire est « aucun succès », de probabilité $0, 78^{4}$ ; d'où $1 - 0, 78^{4} \approx 0, 630$ .
$X$ suit la loi $ℬ (7; 0, 5)$ . $P (X ⩾ 6)$ vaut :
- A. $\frac{7}{128}$
- B. $\frac{15}{16}$
- C. $\frac{1}{16}$
- D. $\frac{1}{128}$
Réponse
C. $\frac{1}{16}$ — $P (X = 6) + P (X = 7) = \frac{7}{128} + \frac{1}{128} = \frac{8}{128} = \frac{1}{16}$ .
Deux épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,62. Probabilité d'obtenir exactement un succès :
- A. $0, 62 \times 0, 38$
- B. $0, 38^{2}$
- C. $1 - 0, 62^{2}$
- D. $2 \times 0, 62 \times 0, 38$
Réponse
D. $2 \times 0, 62 \times 0, 38$ — Deux chemins, $S \overset{―}{S}$ et $\overset{―}{S} S$ , de même probabilité $0, 62 \times 0, 38$ : au total environ 0,471.
$X$ suit la loi uniforme sur ${1, \dots, 9}$ . La probabilité que $X$ soit pair vaut :
- A. $\frac{1}{2}$
- B. $\frac{5}{9}$
- C. $\frac{4}{9}$
- D. $\frac{4}{10}$
Réponse
C. $\frac{4}{9}$ — Les valeurs paires sont 2, 4, 6, 8 : 4 valeurs sur 9 équiprobables.

Niveau difficile — 8 questions

On tire successivement, sans remise, 3 boules d'une urne de 12 boules dont 5 vertes. Le nombre de boules vertes suit-il la loi $ℬ (3; \frac{5}{12})$ ?
- A. Oui, car il y a 3 tirages de même nature
- B. Non, car les tirages ne sont pas indépendants
- C. Oui, car chaque boule a la même chance d'être tirée
- D. Non, car un schéma exige au moins 10 épreuves
Réponse
B. Non, car les tirages ne sont pas indépendants — Sans remise, la composition de l'urne change à chaque tirage : les épreuves ne sont ni identiques ni indépendantes.
$X$ suit une loi binomiale. Avec la fonction « $P (X ⩽ k)$ » de la calculatrice, $P (X ⩾ 3)$ se calcule par :
- A. $1 - P (X ⩽ 3)$
- B. $P (X ⩽ 3) - P (X = 2)$
- C. $1 - P (X = 3)$
- D. $1 - P (X ⩽ 2)$
Réponse
D. $1 - P (X ⩽ 2)$ — $X$ étant entier, ${X ⩾ 3}$ est le contraire de ${X ⩽ 2}$ . Le calcul $1 - P (X ⩽ 3)$ oublie la valeur 3.
Une variable $X$ de loi binomiale vérifierait $E (X) = 6$ et $V (X) = 6$ . Alors :
- A. $n = 12$ et $p = 0, 5$
- B. $p = 1$
- C. c'est impossible
- D. $n = 6$ et $p = 1$
Réponse
C. c'est impossible — $V (X) = E (X) (1 - p)$ impose $1 - p = 1$ , donc $p = 0$ et $E (X) = 0 \neq 6$ . Si $p \neq 0$ , la variance d'une loi binomiale est strictement inférieure à son espérance.
$(\binom{15}{11})$ est égal à :
- A. $(\binom{15}{4})$
- B. $(\binom{11}{15})$
- C. $(\binom{15}{11}) \times 0, 5^{15}$
- D. $15 \times 11$
Réponse
A. $(\binom{15}{4})$ — Symétrie : $(\binom{15}{11}) = (\binom{15}{15 - 11}) = (\binom{15}{4}) = 1 365$ . On ne peut pas choisir 15 éléments parmi 11.
On lance 10 fois un dé équilibré ; $X$ compte les 6 obtenus. $P (X = 2)$ vaut :
- A. $(\binom{10}{2}) {(\frac{1}{6})}^{2} {(\frac{5}{6})}^{8}$
- B. ${(\frac{1}{6})}^{2} {(\frac{5}{6})}^{8}$
- C. $(\binom{10}{2}) {(\frac{1}{6})}^{2}$
- D. $(\binom{10}{2}) {(\frac{1}{6})}^{2} {(\frac{5}{6})}^{10}$
Réponse
A. $(\binom{10}{2}) {(\frac{1}{6})}^{2} {(\frac{5}{6})}^{8}$ — Formule $(\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ avec $n = 10$ et $k = 2$ : l'exposant de $\frac{5}{6}$ est $10 - 2 = 8$ . Sans $(\binom{10}{2})$ , on ne compte qu'un seul chemin.
Chaque essai réussit avec la probabilité 0,025. Un élève affirme qu'en 40 essais indépendants, le succès est certain. La probabilité d'au moins un succès vaut en fait :
- A. 1, car $40 \times 0, 025 = 1$
- B. environ 0,64
- C. exactement 0,5
- D. environ 0,36
Réponse
B. environ 0,64 — $1 - 0, 975^{40} \approx 1 - 0, 363 = 0, 637$ . Le produit $n p = 1$ est l'espérance du nombre de succès, pas une probabilité.
$X$ suit la loi $ℬ (n; p)$ . Si l'on double $n$ sans changer $p$ , l'écart type de $X$ est :
- A. multiplié par 2
- B. multiplié par 4
- C. multiplié par $\sqrt{2}$
- D. inchangé, car $p$ ne change pas
Réponse
C. multiplié par $\sqrt{2}$ — La variance $n p (1 - p)$ est multipliée par 2, donc l'écart type est multiplié par $\sqrt{2} \approx 1, 41$ .
$X$ suit la loi uniforme sur ${1, \dots, n}$ et $E (X) = 17$ . Alors $n$ vaut :
- A. 34
- B. 17
- C. 8,5
- D. 33
Réponse
D. 33 — $\frac{n + 1}{2} = 17$ donne $n + 1 = 34$ , soit $n = 33$ . Répondre 34 revient à utiliser à tort $E (X) = \frac{n}{2}$ .

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