Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Fiche de révision : limites de suites

Limite finie ou infinie d’une suite, opérations et formes indéterminées, limite de qⁿ, comparaison et gendarmes, somme géométrique de raison comprise entre 0 et 1, seuils.

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Limites de suites

Fiche méthode

(Maths complémentaires Terminale · Suites)

La démarche pour déterminer une limite

1. Je reconnais la forme de la suite : expression de $n$ , puissances $q^{n}$ , terme qui oscille, somme de termes géométriques.

2. Je calcule la limite de chaque morceau avec les limites de référence et la limite de $q^{n}$ .

3. Si c’est une forme indéterminée, je factorise par le terme dominant (ou la plus grande base) ; si un terme oscille, j’encadre.

4. Je conclus en citant l’opération ou le théorème, puis j’interprète dans la situation (stabilisation, explosion, total fini).

Le réflexe — une limite se justifie par une règle nommée (« par somme », « par produit », « d’après le théorème des gendarmes ») ; dans un problème, on termine par une phrase qui interprète le résultat.

Cas 1 · Conjecturer puis justifier une limite

Réflexe — tableau de valeurs pour n = 10, 100, 1 000, puis limites de référence pour justifier.

Exemple. Questions types : « Conjecturer la limite », « Déterminer la limite ». Exemple : $u_{n} = 1 - \frac{4}{n^{3}}$ ( $n ⩾ 1$ ).

Calculatrice : $u_{10} = 0, 996$ ; $u_{100} = 0, 999 996$ : on conjecture $lim u_{n} = 1$ .

$n^{3} \to + \infty$ , donc $\frac{4}{n^{3}} \to 0$ et, par somme, $lim u_{n} = 1$ .

Attention — une suite bornée ou croissante n’a pas forcément de limite finie ou infinie : il faut justifier.

Cas 2 · Lever une forme indéterminée

Réflexe — je factorise en haut et en bas par le terme de plus haut degré, je simplifie, je conclus par quotient.

Exemple. Question type : « Déterminer la limite de $u_{n} = \frac{6 n^{2} + n}{3 n^{2} - 4}$ ».

Forme $\frac{\infty}{\infty}$ . Pour $n ⩾ 2$ : $u_{n} = \frac{6 + \frac{1}{n}}{3 - \frac{4}{n^{2}}}$ .

Le numérateur tend vers $6$ , le dénominateur vers $3$ : par quotient, $lim u_{n} = 2$ .

Attention — « ∞ − ∞ = 0 » et « ∞/∞ = 1 » sont faux.

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Cas 3 · Puissances qⁿ et pourcentages

Réflexe — hausse de t % : q = 1 + t/100 > 1 ; baisse : 0 < q < 1 ; je compare q à 1.

Exemple. Question type : « Une valeur baisse de $6 %$ par an : limite de $v_{n} = 1 500 \times 0, 94^{n}$ ? ».

$0 < 0, 94 < 1$ , donc $0, 94^{n} \to 0$ .

Par produit par $1 500$ , $lim v_{n} = 0$ : la valeur finit par devenir négligeable.

Attention — 1,01ⁿ tend vers +∞ même si la hausse est faible ; q = 1 donne une suite constante.

Cas 4 · Encadrer ou comparer

Réflexe — terme qui oscille : encadrement entre −1 et 1, puis gendarmes (limite finie) ou comparaison (limite infinie).

Exemple. Question type : « Encadrer $u_{n} = \frac{2 n + \cos n}{n^{2}}$ ( $n ⩾ 1$ ) et en déduire sa limite ».

$- 1 ⩽ \cos n ⩽ 1$ donne $\frac{2 n - 1}{n^{2}} ⩽ u_{n} ⩽ \frac{2 n + 1}{n^{2}}$ (on divise par $n^{2} > 0$ ).

$\frac{2 n \pm 1}{n^{2}} = \frac{2}{n} \pm \frac{1}{n^{2}} \to 0$ : d’après le théorème des gendarmes, $lim u_{n} = 0$ .

Attention — deux bornes de limites différentes ne permettent pas de conclure.

Cas 5 · Somme géométrique

Réflexe — premier terme, raison, nombre de termes ; formule ; puis q^(n+1) → 0 si 0 < q < 1.

Exemple. Question type : « Limite de $S_{n} = 1 + 0, 36 + 0, 36^{2} + \dots + 0, 36^{n}$ ».

$S_{n} = \frac{1 - 0, 36^{n + 1}}{1 - 0, 36} = \frac{1 - 0, 36^{n + 1}}{0, 64}$ .

$0 < 0, 36 < 1$ , donc $0, 36^{n + 1} \to 0$ et $lim S_{n} = \frac{1}{0, 64} = \frac{25}{16} = 1, 562 5$ .

Attention — de q⁰ à qⁿ il y a n + 1 termes, d’où l’exposant n + 1.

Cas 6 · Seuil

Réflexe — suite monotone ; calculatrice ou boucle while ; deux rangs voisins.

Exemple. Question type : « Plus petit $n$ tel que $0, 8^{n} < 0, 05$ ».

$(0, 8^{n})$ est décroissante. Calculatrice : $0, 8^{13} \approx 0, 055$ et $0, 8^{14} \approx 0, 044$ .

Le plus petit entier est $n = 14$ .

Attention — la condition du while est le contraire de la condition cherchée.

Les pièges

Diverger ne veut pas dire tendre vers l’infini : (−1)ⁿ diverge sans limite.
Une forme indéterminée n’est pas un résultat : on transforme l’écriture.
Une inégalité stricte devient large à la limite : uₙ < 5 donne seulement ℓ ≤ 5.
La suite qⁿ peut tendre vers 0 pendant que la somme 1 + q + … + qⁿ tend vers 1/(1 − q).
Un seuil se vérifie sur les deux rangs qui l’encadrent.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour déterminer une limite de suite, puis, pour chacun des six cas du cours, une question type et sa réponse rédigée : conjecturer et justifier, lever une forme indéterminée, puissances qⁿ, encadrer, somme géométrique, seuil. Les tableaux de limites sont dans la fiche tableaux.

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