Formulaire : limites de suites

Limite finie ou infinie d’une suite, opérations et formes indéterminées, limite de qⁿ, comparaison et gendarmes, somme géométrique de raison comprise entre 0 et 1, seuils.

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Limites de suites

Fiche tableaux : les limites à connaître

(Maths complémentaires Terminale)

Limites de référence

Suite	$n$	$n^{2}$	$\sqrt{n}$	$\frac{1}{n}$	$\frac{1}{n^{2}}$	$\frac{1}{\sqrt{n}}$
Limite	$+ \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$	$0$	$0$	$0$

Exemple : $lim (- 2 + \frac{7}{n^{2}}) = - 2$ .

Somme

$lim u_{n}$	$lim v_{n}$	$lim (u_{n} + v_{n})$
$ℓ$	$ℓ'$	$ℓ + ℓ'$
$ℓ$	$+ \infty$	$+ \infty$
$ℓ$	$- \infty$	$- \infty$
$+ \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$
$- \infty$	$- \infty$	$- \infty$
$+ \infty$	$- \infty$	FI

Exemple : $lim (n + \frac{4}{n}) = + \infty$ .

Produit

$lim u_{n}$	$lim v_{n}$	$lim (u_{n} v_{n})$
$ℓ$	$ℓ'$	$ℓ ℓ'$
$ℓ \neq 0$	$\pm \infty$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$\pm \infty$	$\pm \infty$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$0$	$\pm \infty$	FI

Exemple : $lim (- 3 \sqrt{n}) = - \infty$ .

Quotient

$lim u_{n}$	$lim v_{n}$	$lim \frac{u_{n}}{v_{n}}$
$ℓ$	$ℓ' \neq 0$	$\frac{ℓ}{ℓ'}$
$ℓ$	$\pm \infty$	$0$
$\pm \infty$	$ℓ' \neq 0$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$\pm \infty$	$\pm \infty$	FI
$0$	$0$	FI

Exemple : $lim \frac{9}{n^{2} + 1} = 0$ .

Limite de qⁿ (q > 0) et somme géométrique

$q$	$0 < q < 1$	$q = 1$	$q > 1$
$lim q^{n}$	$0$	$1$	$+ \infty$
$lim u_{0} q^{n}$ ( $u_{0} > 0$ )	$0$	$u_{0}$	$+ \infty$
$lim u_{0} q^{n}$ ( $u_{0} < 0$ )	$0$	$u_{0}$	$- \infty$
$lim (1 + q + \dots + q^{n})$	$\frac{1}{1 - q}$	$+ \infty$	$+ \infty$

Exemple : $1 + 0, 2 + \dots + 0, 2^{n} \to \frac{1}{0, 8} = 1, 25$ .

Comparaison et gendarmes

Si…	et si…	alors…
$u_{n} ⩾ v_{n}$ (à partir d’un rang)	$v_{n} \to + \infty$	$u_{n} \to + \infty$
$u_{n} ⩽ w_{n}$ (à partir d’un rang)	$w_{n} \to - \infty$	$u_{n} \to - \infty$
$a_{n} ⩽ u_{n} ⩽ b_{n}$	$a_{n} \to ℓ$ et $b_{n} \to ℓ$	$u_{n} \to ℓ$
$u_{n} ⩽ v_{n}$ , $u_{n} \to ℓ$ , $v_{n} \to ℓ'$	—	$ℓ ⩽ ℓ'$

Exemple : $n^{3} + \sin n ⩾ n^{3} - 1$ , donc $n^{3} + \sin n \to + \infty$ .

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La fiche de révision des limites de suites en tableaux pour les maths complémentaires : limites de référence, somme, produit et quotient avec les formes indéterminées, limite de qⁿ pour q positif et de la somme géométrique, comparaison et gendarmes. Elle se télécharge en PDF.

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