Formulaire : convexité

Fonction convexe ou concave par les cordes et les tangentes, dérivée seconde, points d’inflexion, position par rapport à une tangente, lecture sur la courbe de f′, coût marginal et rendements.

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benprofparticulier.frMaths complémentaires (option Tle) · Terminale

Convexité

Fiche tableaux : ce qu’il faut connaître

(Maths complémentaires Terminale)

Convexe ou concave : les caractérisations

	$f$ convexe sur $I$	$f$ concave sur $I$
Cordes	courbe au-dessous	courbe au-dessus
Tangentes	courbe au-dessus	courbe au-dessous
$f'$	croissante	décroissante
$f ″$	$f ″ ⩾ 0$	$f ″ ⩽ 0$

Exemple : $(x^{4} + x^{2})^{″} = 12 x^{2} + 2 > 0$ , convexe sur $ℝ$ .

Fonctions de référence

Fonction	$x^{2}$	$x^{3}$	$\frac{1}{x}$	$\sqrt{x}$	$e^{x}$	$\ln x$
Convexe sur	$ℝ$	$[0; + \infty [$	$] 0; + \infty [$	—	$ℝ$	—
Concave sur	—	$] - \infty; 0]$	$] - \infty; 0 [$	$[0; + \infty [$	—	$] 0; + \infty [$

Exemple : $- e^{x}$ est concave sur $ℝ$ , car $(- e^{x})^{″} = - e^{x} < 0$ .

Point d’inflexion

Situation en $a$	Conclusion
$f ″$ s’annule en changeant de signe	point d’inflexion, la courbe traverse sa tangente
$f ″$ s’annule sans changer de signe	pas de point d’inflexion
$f ″ (a) \neq 0$	pas de point d’inflexion

Exemples : $(x^{5})^{″} = 20 x^{3}$ change de signe en $0$ (inflexion) ; $(x^{6})^{″} = 30 x^{4}$ non.

Lecture graphique

Support	Convexe	Concave	Inflexion
Courbe de $f$	en cuvette	en dôme	la forme s’inverse
Courbe de $f'$	$f'$ monte	$f'$ descend	extremum de $f'$
Courbe de $f ″$	au-dessus de l’axe	au-dessous de l’axe	traverse l’axe

Rappel : le signe de $f'$ donne les variations de $f$ .

Coût total et rendements

$C ″$	Courbe de $C$	Coût marginal $C'$	Rendements
$⩽ 0$	concave	décroissant	croissants
change de signe	point d’inflexion	minimal	seuil
$⩾ 0$	convexe	croissant	décroissants

Rappel : $C' (q)$ approche le coût de l’unité supplémentaire.

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À propos de cette page

La fiche de révision de la convexité en tableaux : caractérisations d’une fonction convexe ou concave (cordes, tangentes, f′, f″), convexité des fonctions de référence, conditions d’un point d’inflexion, lecture graphique sur la courbe de f, de f′ ou de f″, et lien entre coût total, coût marginal et rendements.

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