Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Fiche de révision : convexité

Fonction convexe ou concave par les cordes et les tangentes, dérivée seconde, points d’inflexion, position par rapport à une tangente, lecture sur la courbe de f′, coût marginal et rendements.

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Convexité

Fiche méthode

(Maths complémentaires Terminale · Analyse · Fonctions)

La démarche pour une question de convexité

1. Je repère ce qui est donné : l’expression de $f$ , la courbe de $f$ , de $f'$ ou de $f ″$ , un tableau.

2. Je calcule $f ″$ et j’étudie son signe (ou je lis les variations de $f'$ , ou le signe de $f ″$ ).

3. Je conclus par intervalles : convexe où $f ″ ⩾ 0$ , concave où $f ″ ⩽ 0$ ; point d’inflexion là où $f ″$ change de signe.

4. J’exploite : position par rapport à une tangente ou une corde, interprétation (coût marginal, vitesse).

Le réflexe — chaque conclusion cite sa raison : « car f″ ≥ 0 sur I », « car f″ s’annule en changeant de signe », « car f est convexe donc au-dessus de ses tangentes ».

Cas 1 · Utiliser une corde ou une tangente

Réflexe — convexe : au-dessous des cordes, au-dessus des tangentes ; concave : l’inverse.

Exemple. Questions types : « Justifier que pour tout $x \in [a; b]$ , $f (x) ⩽ \dots$ ». Exemple : montrer que $\ln x ⩾ \frac{x - 1}{e - 1}$ sur $[1; e]$ .

$\ln$ est concave sur $] 0; + \infty [$ (fonction de référence).

$A (1; 0)$ et $B (e; 1)$ sont sur la courbe ; $(A B) : y = \frac{x - 1}{e - 1}$ .

Concave : entre $A$ et $B$ , la courbe est au-dessus de la corde. D’où $\ln x ⩾ \frac{x - 1}{e - 1}$ sur $[1; e]$ .

Attention — la comparaison avec la corde ne vaut qu’entre les deux points.

Cas 2 · Étudier la convexité avec f″

Réflexe — dériver deux fois, factoriser f″, mettre à part les facteurs positifs, tableau de signes.

Exemple. Questions types : « Étudier la convexité de $f$ ». Exemple : $f (x) = x e^{- x}$ sur $ℝ$ .

$f' (x) = e^{- x} - x e^{- x} = (1 - x) e^{- x}$ .

$f ″ (x)$ $= - e^{- x} - (1 - x) e^{- x}$ $= (x - 2) e^{- x}$ .

$e^{- x} > 0$ : $f ″ (x)$ a le signe de $x - 2$ . $f$ est concave sur $] - \infty; 2]$ , convexe sur $[2; + \infty [$ .

Attention — le signe de f″ ne donne pas les variations de f.

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Cas 3 · Trouver les points d’inflexion

Réflexe — f″(x) = 0, changement de signe vérifié, ordonnée calculée avec f.

Exemple. Questions types : « Déterminer les coordonnées des points d’inflexion ». Exemple : $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 1$ .

$f ″ (x)$ $= 12 x^{2} - 12 x - 24$ $= 12 (x + 1) (x - 2)$ : signes $+$ , $-$ , $+$ .

$f ″$ change de signe en $- 1$ et en $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 - 12 + 1 = - 8$ et $f (2) = 16 - 16 - 48 + 1 = - 47$ : points $(- 1; - 8)$ et $(2; - 47)$ .

Attention — f″(a) = 0 sans changement de signe : pas d’inflexion (x⁴ en 0).

Cas 4 · Situer une courbe par rapport à une tangente

Réflexe — d(x) = f(x) − y_T, factorisé par une puissance de (x − a), puis son signe.

Exemple. Questions types : « Étudier la position de $𝒞_{f}$ par rapport à $T$ ». Exemple : $f (x) = x^{3} + x^{2}$ et $a = - 1$ .

$f (- 1) = 0$ , $f' (x) = 3 x^{2} + 2 x$ , $f' (- 1) = 1$ : $T : y = x + 1$ .

$d (x)$ $= x^{3} + x^{2} - x - 1$ $= (x + 1)^{2} (x - 1)$ .

$d (x) ⩽ 0$ pour $x ⩽ 1$ : courbe au-dessous de $T$ sur $] - \infty; 1 [$ (contact en $- 1$ ), au-dessus sur $] 1; + \infty [$ .

Attention — un facteur (x − a)² ne change pas de signe : pas de traversée en a.

Cas 5 · Lire sur la courbe de f′ ou de f″

Réflexe — f′ : son sens de variation donne la convexité, son signe les variations de f.

Exemple. Questions types : « D’après la courbe de $f'$ , étudier la convexité de $f$ ». Exemple : $f'$ décroît sur $[- 3; 0]$ , croît sur $[0; 4]$ , et $f' (0) = - 2$ .

$f'$ décroissante sur $[- 3; 0]$ : $f$ concave sur $[- 3; 0]$ .

$f'$ croissante sur $[0; 4]$ : $f$ convexe sur $[0; 4]$ .

Point d’inflexion d’abscisse $0$ , tangente de coefficient directeur $f' (0) = - 2$ .

Attention — f′ au-dessus de l’axe veut dire f croissante, pas f convexe.

Cas 6 · Interpréter un coût ou une vitesse

Réflexe — coût marginal = C′ ; concave = rendements croissants ; inflexion = coût marginal minimal.

Exemple. Questions types : « Interpréter le point d’inflexion », « Coût marginal minimal ». Exemple : $C (q) = 2 q^{3} - 18 q^{2} + 60 q + 10$ .

$C' (q) = 6 q^{2} - 36 q + 60$ , $Δ = 1 296 - 1 440 = - 144 < 0$ : $C$ croissante.

$C ″ (q) = 12 q - 36$ : rendements croissants sur $[0; 3]$ , décroissants ensuite.

Coût marginal minimal : $C' (3) = 54 - 108 + 60 = 6$ .

Attention — rendements décroissants : C′ augmente, mais C reste croissante.

Les pièges

Convexe ne veut pas dire croissante : x ↦ e^(−x) est convexe et décroissante sur ℝ.
f″(a) = 0 ne suffit pas pour une inflexion : il faut un changement de signe.
Sur la courbe de f′, ne pas lire son signe à la place de son sens de variation.
La tangente en un point d’inflexion n’est pas forcément horizontale.
Conclure sur des intervalles de l’ensemble de définition (pas « convexe sur ℝ » pour 1/x).
Le point d’inflexion a pour ordonnée f(a), pas f″(a) = 0.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à une question de convexité, puis, pour chacun des six cas du cours, les questions types et une réponse rédigée : utiliser une corde ou une tangente, étudier le signe de f″, trouver un point d’inflexion, situer une courbe par rapport à sa tangente, lire la courbe de f′, interpréter un coût. Elle se termine par les pièges classiques.

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