Formulaire : calcul intégral

Intégrale d’une fonction positive et aire sous la courbe, calcul par une primitive et fonction x ↦ ∫ de a à x de f(t) dt, signe quelconque et relation de Chasles, encadrement et valeur moyenne, aire entre deux courbes, méthode des rectangles.

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Calcul intégral

Fiche tableaux : les résultats à connaître

(Maths complémentaires Terminale)

Définitions

Situation	Résultat
$f$ continue et positive sur $[a; b]$	$\int_{a}^{b} f (x) d x$ = aire sous la courbe (u.a.)
$F$ primitive de $f$	$\int_{a}^{b} f (x) d x$ $= [F (x)]_{a}^{b}$ $= F (b) - F (a)$
$f$ continue sur $[a; b]$	$G (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ : primitive de $f$ qui s’annule en $a$
$1$ unité $= u$ cm (abscisses) et $v$ cm (ordonnées)	$1$ u.a. $= u \times v$ cm²

Exemple : $G (x) = \int_{0}^{x} 2 t d t = x^{2}$ vérifie $G (0) = 0$ et $G' (x) = 2 x$ .

Propriétés

Propriété	Formule
Bornes égales	$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$
Bornes inversées	$\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$
Chasles	$\int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f = \int_{a}^{c} f$
Linéarité	$\int_{a}^{b} (α f + β g)$ $= α \int_{a}^{b} f + β \int_{a}^{b} g$
Positivité ( $a ⩽ b$ )	$f$ $⩾ 0 \Rightarrow \int_{a}^{b} f$ $⩾ 0$
Comparaison ( $a ⩽ b$ )	$f$ $⩽ g \Rightarrow \int_{a}^{b} f$ $⩽ \int_{a}^{b} g$
Encadrement ( $a < b$ )	$m$ $⩽ f$ $⩽ M \Rightarrow m (b - a)$ $⩽ \int_{a}^{b} f$ $⩽ M (b - a)$

Exemple : si $\int_{0}^{4} f = 3$ et $\int_{4}^{6} f = 5$ , alors $\int_{0}^{6} f = 8$ et $\int_{6}^{4} f = - 5$ .

Primitives pour calculer

$f (x)$	$k$	$x^{n}$ ( $n \neq - 1$ )	$\frac{1}{x}$ ( $x > 0$ )	$e^{a x + b}$	$u' e^{u}$	$\frac{u'}{u}$ ( $u > 0$ )	$2 u' u$
$F (x)$	$k x$	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$	$\ln x$	$\frac{1}{a} e^{a x + b}$	$e^{u}$	$\ln u$	$u^{2}$

Exemple : $\int_{0}^{1} e^{4 x} d x$ $= [\frac{1}{4} e^{4 x}]_{0}^{1}$ $= \frac{e^{4} - 1}{4}$ .

Aires

Situation sur $[a; b]$	Aire du domaine (u.a.)
$f ⩾ 0$	$\int_{a}^{b} f (x) d x$
$f ⩽ 0$	$- \int_{a}^{b} f (x) d x$
$f$ change de signe en $c$	$\| \int_{a}^{c} f (x) d x \| + \| \int_{c}^{b} f (x) d x \|$
$f ⩾ g$	$\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$

Exemple : sur $[- 1; 0]$ , $f (x) = 3 x$ est négative et $\int_{- 1}^{0} 3 x d x = - 1, 5$ : l’aire vaut $1, 5$ u.a.

Valeur moyenne et rectangles

Notion	Formule
Valeur moyenne	$μ$ $= \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ , avec $min f ⩽ μ ⩽ max f$
Largeur des rectangles	$h = \frac{b - a}{n}$ , $x_{k} = a + k h$
Rectangles à gauche / à droite	$R_{g} = h \sum_{k = 0}^{n - 1} f (x_{k})$ ; $R_{d} = h \sum_{k = 1}^{n} f (x_{k})$
$f$ croissante	$R_{g} ⩽ \int_{a}^{b} f ⩽ R_{d}$
$f$ décroissante	$R_{d} ⩽ \int_{a}^{b} f ⩽ R_{g}$
Amplitude ( $f$ monotone)	$\frac{(b - a) \| f (b) - f (a) \|}{n}$

Exemple : la valeur moyenne de $x \mapsto 2 x$ sur $[0; 5]$ vaut $\frac{25}{5} = 5$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision du calcul intégral en tableaux : définitions (aire, F(b) − F(a), primitive qui s’annule en a, unité d’aire), propriétés (bornes, Chasles, linéarité, positivité, comparaison, encadrement), primitives utiles pour calculer, aires selon le signe de la fonction et entre deux courbes, valeur moyenne et formules de la méthode des rectangles. Elle se télécharge en PDF.

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