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Fiche de révision : calcul intégral

Intégrale d’une fonction positive et aire sous la courbe, calcul par une primitive et fonction x ↦ ∫ de a à x de f(t) dt, signe quelconque et relation de Chasles, encadrement et valeur moyenne, aire entre deux courbes, méthode des rectangles.

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Calcul intégral

Fiche méthode

(Maths complémentaires Terminale · Analyse · Intégration)

La démarche face à une intégrale

1. Je regarde la fonction : est-elle continue sur l’intervalle ? Quel est son signe ? Est-elle monotone ?

2. Je choisis l’outil : une figure simple (aire de géométrie), une primitive ( $F (b) - F (a)$ ), un encadrement (rectangles, $m ⩽ f ⩽ M$ ).

3. Je calcule en écrivant le crochet $[F (x)]_{a}^{b}$ et des parenthèses autour de $F (a)$ .

4. Je conclus avec l’unité : u.a. ou cm² pour une aire, unité de la grandeur pour une valeur moyenne en situation.

Le réflexe — une intégrale n’est une aire que si la fonction est positive : le signe de la fonction s’étudie avant de conclure.

Cas 1 · Intégrale et aire d’une figure

Réflexe — fonction positive et domaine simple : rectangle, triangle, trapèze ou morceau de disque, avec la formule d’aire.

Exemple. Questions types : « Calculer $\int_{a}^{b} f (x) d x$ à l’aide d’une aire », « Donner cette aire en cm² ». Exemple : $\int_{0}^{3} (x + 1) d x$ , avec $1$ unité $= 2$ cm sur chaque axe.

Sur $[0; 3]$ , $x + 1 ⩾ 1 > 0$ : l’intégrale est l’aire d’un trapèze de bases $f (0) = 1$ et $f (3) = 4$ et de hauteur $3$ .

$\int_{0}^{3} (x + 1) d x$ $= \frac{1 + 4}{2} \times 3$ $= 7, 5$ u.a.

$1$ u.a. $= 2 \times 2 = 4$ cm², donc l’aire vaut $7, 5 \times 4 = 30$ cm².

Attention — la hauteur du trapèze est b − a ; on multiplie les deux échelles pour l’unité d’aire.

Cas 2 · Calculer avec une primitive

Réflexe — primitive F (vérifiée en dérivant), crochet [F(x)] de a à b, puis F(b) − F(a).

Exemple. Questions types : « Calculer l’intégrale », « Montrer que l’intégrale vaut… ». Exemple : $\int_{1}^{3} (6 x^{2} - 2 x) d x$ .

Une primitive de $x \mapsto 6 x^{2} - 2 x$ est $F (x) = 2 x^{3} - x^{2}$ (on vérifie : $F' (x) = 6 x^{2} - 2 x$ ).

$\int_{1}^{3} (6 x^{2} - 2 x) d x$ $= [2 x^{3} - x^{2}]_{1}^{3}$ $= (54 - 9) - (2 - 1)$ $= 44$ .

Attention — F(b) − F(a), pas f(b) − f(a) ; parenthèses autour de F(a).

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Cas 3 · Signe quelconque et Chasles

Réflexe — signe de f ; si f change de signe, je découpe là où elle s’annule et j’additionne les valeurs absolues.

Exemple. Questions types : « Calculer l’intégrale, puis l’aire du domaine », « Expliquer pourquoi les deux résultats diffèrent ». Exemple : $f (x) = 2 x - 2$ sur $[0; 3]$ .

$f$ s’annule en $1$ : négative sur $[0; 1]$ , positive sur $[1; 3]$ . Primitive : $F (x) = x^{2} - 2 x$ .

$\int_{0}^{1} f (x) d x = F (1) - F (0) = - 1$ et $\int_{1}^{3} f (x) d x$ $= F (3) - F (1)$ $= 3 - (- 1)$ $= 4$ .

Aire $= 1 + 4 = 5$ u.a., alors que $\int_{0}^{3} f (x) d x = - 1 + 4 = 3$ .

Attention — une intégrale négative n’est pas une aire ; inverser les bornes change le signe.

Cas 4 · Valeur moyenne et encadrement

Réflexe — μ = intégrale divisée par b − a ; pour encadrer, m ≤ f ≤ M donne m(b − a) ≤ I ≤ M(b − a).

Exemple. Questions types : « Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[a; b]$ », « Interpréter ». Exemple : $f (x) = 4 x^{3}$ sur $[0; 2]$ .

$\int_{0}^{2} 4 x^{3} d x$ $= [x^{4}]_{0}^{2}$ $= 16$ .

$μ = \frac{1}{2 - 0} \times 16 = 8$ : le rectangle de base $[0; 2]$ et de hauteur $8$ a la même aire que le domaine sous la courbe.

Contrôle : $8$ est bien compris entre $f (0) = 0$ et $f (2) = 32$ .

Attention — μ n’est pas (f(a) + f(b))/2 en général ; on divise par b − a, pas par 2.

Cas 5 · Aire entre deux courbes

Réflexe — bornes par f(x) = g(x), signe de f − g, intégrale « haut moins bas ».

Exemple. Questions types : « Déterminer les points d’intersection », « Étudier la position relative », « Calculer l’aire du domaine ». Exemple : $f (x) = 4 - x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f (x) = g (x) ⟺ 2 x^{2} = 8 ⟺ x = - 2$ ou $x = 2$ .

$f (x) - g (x) = 8 - 2 x^{2} ⩾ 0$ sur $[- 2; 2]$ : $𝒞_{f}$ est au-dessus.

Aire $= \int_{- 2}^{2} (8 - 2 x^{2}) d x$ $= [8 x - \frac{2 x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}$ $= \frac{32}{3} - (- \frac{32}{3})$ $= \frac{64}{3}$ u.a.

Attention — si les courbes se croisent dans l’intervalle, je découpe aux abscisses d’intersection.

Cas 6 · Méthode des rectangles

Réflexe — sens de variation d’abord ; h = (b − a)/n ; Rg et Rd rangés selon que f croît ou décroît.

Exemple. Questions types : « Encadrer l’intégrale avec $n$ rectangles », « Trouver $n$ pour une précision donnée ». Exemple : la fonction exponentielle sur $[0; 1]$ avec $n = 2$ .

$\exp$ est croissante ; $h = 0, 5$ ; $e^{0} = 1$ , $e^{0, 5} \approx 1, 6487$ , $e^{1} \approx 2, 7183$ .

$R_{g}$ $= 0, 5 \times (1 + 1, 6487)$ $\approx 1, 3244$ et $R_{d}$ $= 0, 5 \times (1, 6487 + 2, 7183)$ $\approx 2, 1835$ .

Fonction croissante : $1, 3244$ $⩽ I$ $⩽ 2, 1835$ (en fait, $I = e - 1 \approx 1, 7183$ ).

Attention — Rg minore pour une fonction croissante, majore pour une fonction décroissante.

Les pièges

Intégrale ≠ aire quand la fonction change de signe : on découpe aux zéros.
∫ de b à a = − ∫ de a à b : l’ordre des bornes compte.
Ajouter une constante k à la fonction ajoute k(b − a) à l’intégrale, pas k.
L’intégrale d’un produit n’est pas le produit des intégrales.
Positivité et comparaison supposent a ≤ b.
Une aire en cm² n’existe que si l’échelle des deux axes est donnée.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à une intégrale, puis, pour chacun des six cas du cours, les questions types et une réponse rédigée : aire d’une figure, calcul par F(b) − F(a), découpage d’une fonction qui change de signe, valeur moyenne, aire entre une parabole et sa symétrique, encadrement de l’intégrale de l’exponentielle par des rectangles.

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