Les fractions

Fraction-partage et vocabulaire, fraction d’une quantité, fraction-quotient et écriture décimale ; placer et encadrer une fraction sur une demi-droite graduée ; fractions égales et simplification ; problèmes

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Les fractions

Fiche méthode

(Mathématiques 6ᵉ · Nombres et calculs · Fractions)

La démarche face à une fraction

1. Je lis. Le dénominateur (en bas) dit en combien de parts égales on partage ; le numérateur (en haut), combien de parts on prend.

2. Je choisis l'outil. « de » une quantité : division puis multiplication ; demi-droite : je partage l'unité ; fractions égales : même opération en haut et en bas.

3. Je vérifie. Une fraction plus petite que 1 donne moins que la quantité entière ; je contrôle un quotient par une multiplication.

Le réflexe — le dénominateur partage, le numérateur compte : je ne les échange jamais.

Cas 1 · Fraction d’une quantité

Réflexe — « $\frac{a}{b}$ de… » : je divise par $b$ puis je multiplie par $a$ ; $\frac{a}{b} = a \div b$ .

Exemple 1. Calculer $\frac{4}{9}$ de $63$ .

Une part : $63 \div 9 = 7$ . On en prend $4$ : $7 \times 4 = 28$ .

Donc $\frac{4}{9}$ de $63$ font $28$ .

Exemple 2. Donner l'écriture décimale de $\frac{11}{4}$ .

$\frac{11}{4} = 11 \div 4$ : $11 \div 4$ : $2$ , il reste $3$ ; $30 \div 4$ : $7$ , il reste $2$ ; $20 \div 4 = 5$ .

$\frac{11}{4} = 2, 75$ . Contrôle : $4 \times 2, 75 = 11$ .

Attention — la division ne s'arrête pas toujours : $\frac{4}{9} = 0, 444 \dots$ n'a pas d'écriture décimale.

Cas 2 · Placer une fraction sur une demi-droite graduée

Réflexe — je partage l'unité en autant d'intervalles que le dénominateur, puis je compte le numérateur depuis 0.

Exemple. Placer $\frac{7}{3}$ et l'encadrer entre deux entiers.

Je partage chaque unité en $3$ intervalles et je compte $7$ intervalles depuis $0$ .

$7 = 3 \times 2 + 1$ : $\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3}$ , donc $2 < \frac{7}{3} < 3$ (un intervalle après $2$ ).

Attention — je compte les intervalles, pas les traits ; la graduation $0$ ne compte pas.

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Cas 3 · Fractions égales et simplification

Réflexe — même opération en haut et en bas : × ou ÷ par le même nombre non nul.

Exemple 1. Compléter $\frac{5}{6} = \frac{\dots}{48}$ .

$6 \times 8 = 48$ : je multiplie aussi le numérateur par $8$ . $\frac{5}{6} = \frac{40}{48}$ .

Exemple 2. Simplifier au maximum $\frac{30}{42}$ .

Pairs : $\frac{30}{42} = \frac{15}{21}$ . Table de $3$ : $\frac{15}{21} = \frac{5}{7}$ .

$5$ et $7$ n'ont plus de diviseur commun : $\frac{30}{42} = \frac{5}{7}$ .

Attention — ajouter le même nombre en haut et en bas ne conserve pas la fraction.

Les pièges

Échanger les rôles : $\frac{3}{5}$ de $40$ , c'est $40 \div 5 \times 3 = 24$ , pas $40 \div 3 \times 5$ .
Compter les traits au lieu des intervalles sur la demi-droite graduée.
Croire qu'une fraction est toujours plus petite que $1$ : $\frac{11}{3} = 3 + \frac{2}{3}$ .
Simplifier à moitié : $\frac{20}{28} = \frac{10}{14}$ se simplifie encore en $\frac{5}{7}$ .

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