À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Enchaînements d'opérations et priorités » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : À quoi servent les priorités opératoires ?, La règle d'or des priorités, Souligner pour ne pas se tromper — la méthode pas à pas, Les parenthèses sont les plus fortes. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · À quoi servent les priorités opératoires ?
2 · La règle d'or des priorités
3 · Souligner pour ne pas se tromper — la méthode
4 · Les parenthèses sont les plus fortes
5 · Des parenthèses dans des parenthèses
6 · L'ordre complet : un seul schéma à retenir
7 · Écrire une expression pour un problème
8 · Les pièges classiques à éviter
1À quoi servent les priorités opératoires ?
Quand un calcul ne contient qu'une seule opération, il n'y a pas de problème : on calcule, c'est tout. Mais dès qu'un calcul mélange plusieurs opérations (des additions, des soustractions, des multiplications, des divisions), il faut savoir par où commencer.
Regarde ce calcul tout simple : 3 + 4 × 2. Deux élèves le calculent…
- Léa fait de gauche à droite : 3 + 4 = 7, puis 7 × 2 = 14.
- Tom commence par la multiplication : 4 × 2 = 8, puis 3 + 8 = 11.
Ils ne trouvent pas pareil ! Pourtant, une seule réponse est correcte. C'est Tom : la bonne réponse est 11. Pour que tout le monde trouve le même résultat, les mathématiciens se sont mis d'accord sur des règles de priorité : un ordre obligatoire pour effectuer les opérations.
Une expression numérique (ou « enchaînement d'opérations ») est un calcul qui contient plusieurs nombres reliés par des opérations, par exemple 3 + 4 × 2 ou (7 − 2) × 5. Le but : trouver son résultat en respectant l'ordre des priorités.
💡 « Lire de gauche à droite » comme une phrase est une fausse bonne idée en mathématiques. L'ordre des opérations n'est pas l'ordre de lecture !
2La règle d'or des priorités
Règle des priorités. Dans une expression
sans parenthèses, on effectue :
- D'ABORD les multiplications (×) et les divisions (÷), de gauche à droite ;
- ENSUITE les additions (+) et les soustractions (−), de gauche à droite.
Autrement dit, le × et le ÷ sont prioritaires (ils passent en premier). Le + et le − sont moins forts : ils attendent leur tour.
| Niveau | Opérations | Quand ? |
|---|
| Prioritaires | × et ÷ | en premier |
| Non prioritaires | + et − | en dernier |
Exemple. 3 + 4 × 2 : on fait d'abord 4 × 2 = 8, puis 3 + 8 = 11.
💡 Petite phrase pour retenir : « Multiplication et division d'abord, addition et soustraction ensuite. » On peut aussi penser que × et ÷ sont les opérations « les plus pressées ».
⚠️ Entre eux, × et ÷ ont la même priorité : on les effectue dans l'ordre où ils apparaissent, de gauche à droite. Pareil pour + et − entre eux.
3Souligner pour ne pas se tromper — la méthode pas à pas
La meilleure façon de ne jamais se tromper est de repérer l'opération prioritaire, de la souligner (ou de l'entourer dans sa tête), de la calculer, puis de réécrire toute l'expression avec le résultat. On recommence jusqu'à la fin.
Méthode en 4 étapes.
- 1. Je repère les × et les ÷ : ce sont les prioritaires.
- 2. Je calcule la première opération prioritaire (la plus à gauche).
- 3. Je recopie l'expression entière en remplaçant cette partie par son résultat.
- 4. Je continue, ligne par ligne, jusqu'à n'avoir plus qu'un seul nombre.
Calculons 20 − 3 × 4 + 5 proprement, une ligne à la fois :
A = 20 − 3 × 4 + 5 (je repère la multiplication)
A = 20 − 12 + 5 (je calcule 3 × 4 = 12, je recopie le reste)
A = 8 + 5 (il ne reste que + et −, je fais de gauche à droite : 20 − 12 = 8)
A = 13
💡 On écrit chaque étape sous la précédente, en alignant le signe « = » à gauche. C'est ce qu'attend ton professeur : une étape = une ligne. Ne saute jamais d'étape, même si le calcul te paraît facile.
⚠️ Quand tu recopies, n'oublie aucun nombre ni aucun signe. L'erreur la plus fréquente est d'oublier le « + 5 » ou le « − » qui reste à droite.
4Les parenthèses sont les plus fortes
Règle des parenthèses. Ce qui est entre parenthèses ( … ) se calcule TOUJOURS en premier, avant tout le reste — même avant les multiplications et les divisions.
Les parenthèses servent à changer l'ordre imposé par les priorités. Elles disent : « commence ici ! »
Compare ces deux calculs qui se ressemblent beaucoup mais ne donnent pas la même chose :
| Sans parenthèses | Avec parenthèses |
|---|
3 + 4 × 2
= 3 + 8 = 11 | (3 + 4) × 2
= 7 × 2 = 14 |
Dans le second, la parenthèse oblige à faire 3 + 4 d'abord, même si c'est une addition. C'est tout le pouvoir des parenthèses.
Exemple détaillé. B = (12 − 5) × (2 + 6)
B = (12 − 5) × (2 + 6) (je calcule la 1re parenthèse)
B = 7 × (2 + 6) (je calcule la 2e parenthèse)
B = 7 × 8
B = 56
💡 S'il y a plusieurs paires de parenthèses côte à côte, on peut les calculer dans n'importe quel ordre (ou les deux en même temps). Mais chacune doit être traitée avant la multiplication qui les relie.
5Des parenthèses dans des parenthèses (parenthèses emboîtées)
Parfois, une parenthèse en contient une autre, par exemple 2 × (3 + (8 − 5)). On utilise alors souvent des crochets [ … ] pour mieux voir, mais ce n'est pas obligatoire.
Règle. On calcule de l'intérieur vers l'extérieur : on commence par la parenthèse la plus profonde, celle qui est tout au centre.
Exemple. C = 2 × [ 3 + (8 − 5) ]
C = 2 × [ 3 + (8 − 5) ] (parenthèse intérieure d'abord)
C = 2 × [ 3 + 3 ] (puis le crochet)
C = 2 × 6
C = 12
⚠️ On ne « casse » jamais une parenthèse tant qu'il reste un calcul à faire à l'intérieur. La parenthèse disparaît seulement quand son contenu est réduit à un seul nombre.
6L'ordre complet : un seul schéma à retenir
Pour calculer n'importe quelle expression, on suit toujours le même chemin, dans cet ordre :
L'ordre des priorités, du plus fort au moins fort :
- 1️⃣ Les parenthèses ( ) — on commence toujours par elles, de l'intérieur vers l'extérieur.
- 2️⃣ Les multiplications × et divisions ÷ — de gauche à droite.
- 3️⃣ Les additions + et soustractions − — de gauche à droite, pour finir.
| Priorité | Opérations | Sens |
|---|
| 1 (le plus fort) | ( ) parenthèses | intérieur → extérieur |
| 2 | × et ÷ | gauche → droite |
| 3 (le plus faible) | + et − | gauche → droite |
Un exemple qui mélange tout. D = 5 + 2 × (9 − 3) ÷ 4
D = 5 + 2 × (9 − 3) ÷ 4 (parenthèse d'abord)
D = 5 + 2 × 6 ÷ 4 (× et ÷ de gauche à droite : 2 × 6 = 12)
D = 5 + 12 ÷ 4 (puis la division : 12 ÷ 4 = 3)
D = 5 + 3
D = 8
💡 Astuce mémoire : « Parenthèses, puis ×÷, puis +− ». Trois étages d'un escalier que l'on descend toujours dans le même sens.
7Écrire une expression pour un problème
Les priorités servent aussi à traduire un énoncé en un seul calcul. Il faut alors bien choisir où mettre les parenthèses pour respecter le sens de la phrase.
Situation. J'achète 3 cahiers à 2 € et 1 trousse à 5 €. Quel est le prix total ?
Le bon calcul est 3 × 2 + 5 : la multiplication 3 × 2 (le prix des cahiers) se fait toute seule avant l'addition, donc pas besoin de parenthèses. Résultat : 6 + 5 = 11 €.
Situation 2. Un menu coûte 8 €. Une famille de 4 personnes prend chacun un menu plus un dessert à 2 €. Combien paie la famille ?
Chaque personne paie 8 + 2 = 10 €, et ils sont 4. Le bon calcul est (8 + 2) × 4 : ici il faut les parenthèses, car l'addition doit se faire avant la multiplication. Résultat : 10 × 4 = 40 €.
Méthode. Pour écrire l'expression d'un problème :
- je repère ce qui se calcule d'abord dans l'histoire (souvent un « pour chacun… » ou un « au total… ») ;
- si ce calcul prioritaire est une addition ou une soustraction, je l'entoure de parenthèses ;
- si c'est déjà une multiplication, les parenthèses sont en général inutiles.
⚠️ « 3 fois (4 plus 2) » s'écrit 3 × (4 + 2) et pas 3 × 4 + 2. Le petit mot « la somme de… » ou « le total de… » est souvent le signal qu'il faut des parenthèses.
8Les pièges classiques à éviter
Voici les erreurs que font le plus souvent les élèves de 6e. Les connaître, c'est déjà ne plus les commettre !
⚠️ Piège n°1 — calculer de gauche à droite. 3 + 4 × 2 ne fait pas 14. On fait d'abord 4 × 2 = 8, donc 11.
⚠️ Piège n°2 — oublier de recopier la fin. Dans 20 − 3 × 4 + 5, après avoir fait 3 × 4 = 12 il faut bien réécrire 20 − 12 + 5, sans perdre le « + 5 ».
⚠️ Piège n°3 — l'ordre du − et du +. Dans 10 − 6 + 2, on calcule de gauche à droite : 10 − 6 = 4, puis 4 + 2 = 6. Attention, ce n'est pas 10 − 8 = 2 ! Le − et le + ne sautent pas leur tour.
⚠️ Piège n°4 — l'ordre du ÷ et du ×. Dans 12 ÷ 2 × 3, on fait de gauche à droite : 12 ÷ 2 = 6, puis 6 × 3 = 18 (et non 12 ÷ 6 = 2).
| Calcul | Réponse FAUSSE fréquente | Bonne réponse |
|---|
| 3 + 4 × 2 | 14 | 11 |
| 10 − 6 + 2 | 2 | 6 |
| 12 ÷ 2 × 3 | 2 | 18 |
| (3 + 4) × 2 | 11 | 14 |
💡 Récap express : on commence par les parenthèses (de l'intérieur vers l'extérieur), puis les × et ÷ de gauche à droite, et enfin les + et − de gauche à droite. Une étape = une ligne, on recopie tout, et on ne lit jamais « bêtement » de gauche à droite.