À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Enchaînements d'opérations et priorités » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Pourquoi un ordre dans les calculs ?, La règle des priorités opératoires, Le rôle des parenthèses, Méthode : calculer pas à pas. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Pourquoi un ordre dans les calculs ?
2 · La règle des priorités opératoires
3 · Le rôle des parenthèses
4 · Méthode : calculer pas à pas
5 · Les pièges les plus fréquents
6 · Traduire une phrase en un seul calcul
7 · La barre de fraction : des parenthèses cachées
1Pourquoi un ordre dans les calculs ?
Quand un calcul ne contient qu'une seule opération, il n'y a pas de problème : $7 + 5 = 12$. Mais dès qu'il y a plusieurs opérations, l'ordre dans lequel on calcule change le résultat !
Exemple. Calculons $2 + 3 \times 4$ de deux façons :
• Si on calcule de gauche à droite : $2 + 3 = 5$, puis $5 \times 4 = 20$.
• Si on fait d'abord la multiplication : $3 \times 4 = 12$, puis $2 + 12 = 14$.
On trouve deux résultats différents : $20$ ou $14$ !
Pour que tout le monde trouve le même résultat, les mathématiciens ont fixé des règles de priorité. La bonne réponse ici est $14$.
Attention ! Calculer simplement « de gauche à droite » est souvent faux. Il faut respecter les priorités.
2La règle des priorités opératoires
Voici la règle la plus importante du chapitre. Apprends-la par cœur.
Règle des priorités. Dans un calcul sans parenthèses :
① on effectue d'abord les multiplications et les divisions ;
② puis on effectue les additions et les soustractions.
À chaque étape, s'il reste plusieurs opérations de même priorité, on calcule de gauche à droite.
| Priorité 1 (d'abord) | $\times$ multiplication et $\div$ division |
| Priorité 2 (ensuite) | $+$ addition et $-$ soustraction |
Exemple. $20 - 2 \times 5 = 20 - 10 = 10$. On fait d'abord $2 \times 5 = 10$, puis la soustraction.
Exemple. $6 + 12 \div 3 = 6 + 4 = 10$. On fait d'abord $12 \div 3 = 4$, puis l'addition.
Astuce mémo. « Le $\times$ et le $\div$ sont les plus pressés : ils passent devant le $+$ et le $-$. »
3Le rôle des parenthèses
Les parenthèses sont plus fortes que tout : elles permettent de forcer l'ordre des calculs.
Règle des parenthèses. On calcule toujours en premier ce qui se trouve entre parenthèses, avant d'appliquer les priorités du reste du calcul.
Exemple. $(2 + 3) \times 4 = 5 \times 4 = 20$. Grâce aux parenthèses, l'addition passe avant la multiplication. Compare avec $2 + 3 \times 4 = 14$ : les parenthèses changent complètement le résultat !
Exemple. $7 \times (10 - 6) = 7 \times 4 = 28$.
S'il y a plusieurs parenthèses emboîtées, on commence par les parenthèses les plus intérieures.
Exemple emboîté. $2 \times \big(5 + (8 - 3)\big) = 2 \times (5 + 5) = 2 \times 10 = 20$.
4Méthode : calculer pas à pas
Pour ne pas se tromper, on calcule une opération à la fois et on réécrit l'expression à chaque étape, en alignant les signes $=$.
Exemple détaillé. Calculons $5 + 3 \times (10 - 4)$.
• Étape 1 — parenthèses : $10 - 4 = 6$, donc le calcul devient $5 + 3 \times 6$.
• Étape 2 — multiplication : $3 \times 6 = 18$, donc le calcul devient $5 + 18$.
• Étape 3 — addition : $5 + 18 = 23$.
On écrit proprement :
$$5 + 3 \times (10 - 4) = 5 + 3 \times 6 = 5 + 18 = 23$$
Astuce. À chaque ligne, on ne touche qu'à une opération. On recopie sans changer les nombres qui n'interviennent pas encore. Cela évite la plupart des erreurs.
Attention ! On ne « casse » jamais une expression en deux : on garde un seul calcul aligné par des $=$, on ne note pas les étapes dans le désordre sur la feuille.
5Les pièges les plus fréquents
Voici les erreurs que font le plus souvent les élèves de 6e. Repère-les pour les éviter.
Piège 1. $4 + 5 \times 2$. Beaucoup écrivent $9 \times 2 = 18$. C'est faux : la multiplication est prioritaire, donc $4 + 5 \times 2 = 4 + 10 = 14$.
Piège 2 (soustraction de gauche à droite). $20 - 8 - 3$. On calcule de gauche à droite : $20 - 8 = 12$, puis $12 - 3 = 9$. Le résultat n'est pas $20 - 5 = 15$.
Piège 3 (division de gauche à droite). $24 \div 6 \div 2$. De gauche à droite : $24 \div 6 = 4$, puis $4 \div 2 = 2$. Le résultat n'est pas $24 \div 3 = 8$.
Astuce. Quand il n'y a que des $\times$ (par exemple $2 \times 5 \times 3$), l'ordre n'a pas d'importance : on trouve toujours $30$. C'est seulement quand il y a un $-$ ou un $\div$ que l'ordre gauche-droite compte.
6Traduire une phrase en un seul calcul
En 6e, on apprend à écrire une situation par un seul calcul, en plaçant les parenthèses au bon endroit. C'est très utile pour les problèmes.
Exemple. « J'achète $3$ stylos à $2$ € et $1$ cahier à $4$ €. » Le total s'écrit en un seul calcul : $3 \times 2 + 4 = 6 + 4 = 10$ €. Pas besoin de parenthèses, car la multiplication est déjà prioritaire.
Exemple avec parenthèses. « Le double de la somme de $7$ et $3$. » La somme de $7$ et $3$, c'est $(7 + 3)$ ; son double, c'est $2 \times (7 + 3) = 2 \times 10 = 20$. Ici les parenthèses sont indispensables : sans elles, $2 \times 7 + 3 = 17$, ce qui ne correspond pas à l'énoncé.
Mots qui annoncent une parenthèse. « La somme de… », « la différence de… », « le double / triple de (la somme…) » : on calcule d'abord ce groupe, donc on l'entoure de parenthèses.
7La barre de fraction : des parenthèses cachées
Quand un calcul est écrit sous forme de fraction, la barre de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule séparément tout le numérateur (le haut) et tout le dénominateur (le bas), puis on divise.
Exemple. $\dfrac{8 + 4}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$. On calcule d'abord $8 + 4 = 12$ (comme si le numérateur était entre parenthèses), puis on divise par $3$.
Exemple. $\dfrac{20 - 6}{2 + 5} = \dfrac{14}{7} = 2$. On calcule le haut ($14$) et le bas ($7$) séparément, puis on divise.
Attention ! $\dfrac{8 + 4}{3}$ n'est pas égal à $8 + \dfrac{4}{3}$. La barre regroupe tout le numérateur.
Astuce. Si tu dois recopier $\dfrac{8+4}{3}$ « sur une ligne », tu écris $(8 + 4) \div 3$ : les parenthèses remplacent la barre.
★À retenir
En bref :
• Ordre des priorités : parenthèses d'abord, puis × et ÷, enfin + et −.
• À priorité égale, on calcule de gauche à droite (important pour $-$ et $\div$).
• Les parenthèses forcent à calculer leur contenu en premier ; on commence par les plus intérieures.
• On calcule une opération à la fois en alignant les $=$.
• La barre de fraction agit comme des parenthèses autour du numérateur et du dénominateur.