À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Enchaînements d'opérations et priorités » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Un même calcul, deux résultats possibles ?, Multiplication et division sont prioritaires, Le rôle des parenthèses, Combiner parenthèses et priorités. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
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Un même calcul, deux résultats possibles ?
Sans règle fixée à l'avance, un même calcul pourrait donner deux résultats différents selon l'ordre choisi. C'est pour éviter cela que les mathématiciens ont fixé des règles de priorité.
Exemple. Pour $2 + 3 \times 4$ : si on calcule de gauche à droite sans règle, on ferait $2+3=5$ puis $5\times4=20$. Mais la règle impose de faire d'abord la multiplication : $3\times4=12$, puis $2+12=14$.
Attention ! $14$ est le seul résultat correct de $2+3\times4$. Calculer « dans l'ordre où c'est écrit » sans tenir compte des priorités est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
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Multiplication et division sont prioritaires
La règle fondamentale à retenir concerne l'ordre entre les quatre opérations de base.
Règle. Dans une expression sans parenthèses, on effectue d'abord les multiplications et les divisions, puis ensuite les additions et les soustractions.
Exemple. $20 - 6 \div 2 = 20 - 3 = 17$ (on fait $6\div2$ avant de soustraire). $5 \times 3 + 4 \times 2 = 15 + 8 = 23$ (deux multiplications d'abord).
Astuce. Avant de calculer, repère d'abord tous les $\times$ et $\div$ de l'expression et effectue-les en premier, où qu'ils soient placés.
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Le rôle des parenthèses
Les parenthèses permettent d'imposer un ordre différent, en forçant un calcul à se faire en premier.
Règle. Ce qui est entre parenthèses se calcule toujours en premier, même s'il s'agit d'une addition ou d'une soustraction normalement moins prioritaire.
Exemple. $(2+3) \times 4$ : on calcule d'abord $2+3=5$, puis $5\times4=20$. C'est très différent de $2+3\times4=14$ (vu en section 1) !
Attention ! $(2+3)\times4=20$ et $2+3\times4=14$ : les parenthèses changent complètement le résultat, alors que les nombres et les opérations sont les mêmes.
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Combiner parenthèses et priorités
Dans une expression plus longue, on applique les deux règles l'une après l'autre, dans le bon ordre.
Méthode, dans l'ordre. 1. On calcule d'abord tout ce qui est entre parenthèses. 2. Puis on effectue les multiplications et divisions. 3. Enfin, les additions et soustractions.
Exemple. $3 \times (8-5) + 2 = 3\times3+2 = 9+2 = 11$.
Étapes : parenthèse $8-5=3$ ; puis multiplication $3\times3=9$ ; puis addition $9+2=11$.
Astuce. Recopie l'expression à chaque étape en ne changeant que la partie que tu viens de calculer : cela évite les erreurs d'inattention.
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Calculer de gauche à droite entre opérations égales
Quand une expression contient plusieurs opérations de même priorité, on les traite dans l'ordre où elles apparaissent, de gauche à droite.
Règle. Entre deux additions/soustractions successives (ou deux multiplications/divisions successives), on calcule de gauche à droite.
Exemple. $20 - 5 + 3 = 15+3 = 18$ (pas $20-8=12$ !). $60 \div 3 \times 2 = 20\times2 = 40$ (pas $60\div6=10$ !).
Attention ! $20-5+3$ n'est PAS égal à $20-(5+3)$. Sans parenthèses, on ne peut pas regrouper la soustraction et l'addition à sa guise : il faut respecter l'ordre d'écriture, de gauche à droite.
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Traduire une phrase en expression mathématique
Un problème rédigé demande souvent de transformer une phrase en un seul calcul, avec ou sans parenthèses selon le sens voulu.
Méthode. On repère d'abord ce qui doit être calculé en premier dans l'énoncé, puis on utilise des parenthèses si l'ordre naturel des priorités ne correspond pas à ce sens.
Exemple. « Le double de la somme de $4$ et $7$ » se traduit par $2 \times (4+7)$ (parenthèses nécessaires, car on veut la somme avant de multiplier). « La somme du double de $4$ et de $7$ » se traduit par $2\times4+7$ (pas de parenthèses nécessaires, car la priorité naturelle convient déjà).
Astuce. Le mot-clé qui impose souvent des parenthèses est « la somme de… », « la différence de… » quand elle doit être calculée avant une multiplication ou une division.
À retenir
- Sans parenthèses : $\times$ et $\div$ d'abord, puis $+$ et $-$.
- Avec parenthèses : ce qui est dedans se calcule toujours en premier.
- Ordre général : 1) parenthèses, 2) $\times$/$\div$, 3) $+$/$-$.
- Entre opérations de même priorité, on calcule de gauche à droite.
- $2+3\times4=14$ mais $(2+3)\times4=20$ : les parenthèses changent tout.