La division euclidienne

Dividende, diviseur, quotient et reste ; égalité dividende = diviseur × quotient + reste avec reste < diviseur ; poser une division euclidienne (diviseur à 1 ou 2 chiffres) ; problèmes de partage et de regroupement : quotient, quotient + 1 ou reste.

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benprofparticulier.frMathématiques · 6ᵉ

Fiche méthode

(Mathématiques 6ᵉ · Nombres et calculs · Division euclidienne)

La démarche pour toute division euclidienne

1. Je repère. Le dividende (ce que je partage) et le diviseur (par quoi je partage).

2. Je calcule. Avec les tables si les nombres sont petits, en posant la division sinon.

3. Je vérifie. Diviseur × quotient + reste doit redonner le dividende, et le reste doit être plus petit que le diviseur.

4. Je réponds. Dans un problème, je relis la question : quotient, quotient + 1, reste ou diviseur − reste ?

Le réflexe — je termine toujours par l’égalité dividende = diviseur × quotient + reste : elle contrôle le calcul, et reste < diviseur contrôle le quotient.

Cas 1 · Poser une division euclidienne

Réflexe — je prends assez de chiffres pour que le diviseur y tienne, je cherche combien de fois il y tient, je soustrais, j’abaisse le chiffre suivant… jusqu’au dernier chiffre.

Exemple 1. Calculer le quotient et le reste de $643 \div 9$ .

$64 \div 9$ : $7$ , il reste $1$ . J’abaisse le $3$ : $13 \div 9$ : $1$ , il reste $4$ .

Quotient $71$ , reste $4$ . Contrôle : $9 \times 71 + 4 = 639 + 4 = 643$ et $4 < 9$ .

Exemple 2. Calculer le quotient et le reste de $700 \div 32$ .

$70 \div 32$ : $2$ , il reste $6$ (car $32 \times 3 = 96$ dépasse $70$ ). J’abaisse le $0$ : $60 \div 32$ : $1$ , il reste $28$ .

Quotient $21$ , reste $28$ . Contrôle : $32 \times 21 + 28 = 672 + 28 = 700$ et $28 < 32$ .

Attention — un reste partiel plus grand que le diviseur (ou égal) signifie que le chiffre du quotient est trop petit : on recommence l’étape.

Cas 2 · Problèmes de partage et de regroupement

Réflexe — je pose la division, j’écris l’égalité, puis je choisis selon la question : quotient, quotient + 1, reste ou diviseur − reste.

Exemple 1. $260$ supporters partent en cars de $48$ places. Combien de cars faut-il ? Combien de places restent libres dans le dernier ?

$260 \div 48$ : $5$ , il reste $20$ , car $260 = 48 \times 5 + 20$ .

$5$ cars sont pleins, mais il reste $20$ supporters : il faut $5 + 1 = 6$ cars. Places libres dans le dernier : $48 - 20 = 28$ .

Exemple 2. Aujourd’hui, c’est jeudi. Quel jour serons-nous dans $23$ jours ?

$23 \div 7$ : $3$ , il reste $2$ . Trois semaines complètes ramènent à jeudi ; j’avance de $2$ jours : vendredi, samedi.

Dans $23$ jours, ce sera samedi.

Attention — si le reste est $0$ , on n’ajoute pas $1$ : tous les paquets sont complets.

Les pièges

Un reste plus grand que le diviseur est impossible : « $38 \div 6$ : $5$ , il reste $8$ » doit devenir $6$ , il reste $2$ .
Écrire $=$ quand il y a un reste : on écrit « $38 \div 6$ : $6$ , il reste $2$ » ou $38 = 6 \times 6 + 2$ ; le signe $=$ ne s’emploie que si la division est exacte ( $42 \div 6 = 7$ ).
Oublier un $0$ au quotient quand le diviseur ne tient pas dans le nombre obtenu en abaissant : $618 \div 6$ donne $103$ , pas $13$ .
S’arrêter au quotient quand il faut ranger tout le monde : le dernier paquet incomplet compte aussi.

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