Multiples, diviseurs et critères de divisibilité

Multiples et diviseurs d’un nombre entier, « est divisible par » et lien avec la division euclidienne (reste nul), critères de divisibilité par 2, 5 et 10, nombres pairs et impairs ; problèmes.

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benprofparticulier.frMathématiques · 6ᵉ

Fiche méthode

(Mathématiques 6ᵉ · Nombres et calculs · Nombres entiers)

La démarche pour savoir si un nombre est divisible par un autre

1. Je regarde le diviseur. Si c’est 2, 5 ou 10, j’utilise le critère : je regarde le chiffre des unités.

2. Sinon, je divise. Je pose la division euclidienne et je regarde le reste.

3. Je conclus avec la bonne phrase : « … est divisible par … », « … est un multiple de … » ou « … est un diviseur de … ».

Le réflexe — reste 0 = divisible ; pour 2, 5 et 10, le chiffre des unités suffit.

Cas 1 · Multiples et diviseurs

Réflexe — pour « est divisible par », je regarde le reste de la division euclidienne ; pour les multiples, j’utilise la table ; pour les diviseurs, je cherche les paires de produits.

Exemple 1. $119$ est-il divisible par $7$ ?

$119 \div 7$ : $17$ , il reste $0$ . Donc $119 = 7 \times 17$ .

$119$ est divisible par $7$ : c’est un multiple de $7$ , et $7$ est un diviseur de $119$ .

Exemple 2. Trouver tous les diviseurs de $27$ .

$27 = 1 \times 27 = 3 \times 9$ . Les nombres $2$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ ne conviennent pas (reste non nul), et $9$ est déjà trouvé : on s’arrête.

Diviseurs de $27$ : $1$ ; $3$ ; $9$ ; $27$ .

Attention — ne pas oublier $1$ et le nombre lui-même dans la liste des diviseurs.

Cas 2 · Critères de divisibilité par 2, 5 et 10

Réflexe — je regarde uniquement le chiffre des unités : $0$ , $2$ , $4$ , $6$ , $8$ → divisible par $2$ ; $0$ ou $5$ → par $5$ ; $0$ → par $10$ .

Exemple 1. Parmi $2$ , $5$ et $10$ , par quels nombres $6 385$ est-il divisible ?

Le chiffre des unités est $5$ : $6 385$ est divisible par $5$ .

$5$ est impair : pas par $2$ ; ce n’est pas $0$ : pas par $10$ .

Exemple 2. Trouver le chiffre $◻$ pour que $58 ◻$ soit divisible par $2$ et par $5$ .

Pour $5$ : le chiffre des unités est $0$ ou $5$ . Pour $2$ : il est pair. Seul $0$ vérifie les deux : $◻ = 0$ , le nombre est $580$ .

Attention — se terminer par $5$ ne suffit pas pour être divisible par $10$ .

Les pièges

Écrire « $4$ est un multiple de $52$ » : c’est $52$ qui est un multiple de $4$ , et $4$ un diviseur de $52$ .
Regarder le premier chiffre au lieu du dernier : $851$ commence par $8$ , mais il est impair.
Oublier que $0$ est pair : un nombre qui se termine par $0$ est divisible par $2$ .
Croire qu’un nombre qui finit par $5$ est divisible par $10$ : $125 = 10 \times 12 + 5$ .

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