Fiche de révision : les triangles

Rappels de 6ᵉ (vocabulaire, codage, triangles isocèle, équilatéral et rectangle, périmètre, constructions au compas et à l’équerre), démontrer et utiliser la somme des angles d’un triangle (180°), calculer les angles des triangles isocèle, équilatéral et rectangle, savoir si un triangle existe grâce à l’inégalité triangulaire, et construire un triangle à partir de trois longueurs, de deux longueurs et d’un angle, ou d’une longueur et de deux angles.

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Les triangles

Fiche méthode

(Mathématiques 5ᵉ · Espace et géométrie · Triangles)

La démarche pour un exercice sur les triangles

1. Je fais un croquis à main levée : les sommets, les longueurs, les angles connus et le codage de l’énoncé.

2. Je repère la question : une nature à lire sur le codage, un angle à calculer (somme 180°, triangle particulier), un triangle à tester (inégalité triangulaire) ou une construction (quelles données ?).

3. Je rédige : je cite la propriété utilisée, j’écris le calcul, puis je contrôle (somme des angles, figure).

Le réflexe — somme des angles 180°, angles à la base d’un isocèle égaux, plus grand côté comparé à la somme des deux autres : ce sont les trois réflexes du triangle.

Cas 1 · Rappels de 6ᵉ : nature, périmètre et construction

Réflexe — je lis le codage ou je compare les longueurs ; pour construire, le compas reporte une longueur depuis un point, l’équerre trace l’angle droit.

Exemple 1. $P D V$ a $P D = P V = 4, 9$ cm et $D V = 3, 3$ cm. Donner sa nature et son périmètre.

Les deux côtés égaux partent de $P$ : $P D V$ est isocèle en $P$ , de base $[D V]$ .

Périmètre : $4, 9 + 4, 9 + 3, 3 = 13, 1$ cm.

Exemple 2. Construire $E H N$ avec $E H = 5, 6$ cm, $E N = 2, 8$ cm et $H N = 4, 3$ cm.

Je trace $[E H]$ de $5, 6$ cm. $N$ est à $2, 8$ cm de $E$ : arc de centre $E$ et de rayon $2, 8$ cm.

$N$ est à $4, 3$ cm de $H$ : arc de centre $H$ et de rayon $4, 3$ cm. $N$ est à l’intersection des arcs.

Attention — l’arc de centre $E$ a pour rayon $E N$ , le côté qui part de $E$ , et non $H N$ .

Cas 2 · Calculer le troisième angle

Réflexe — troisième angle $= 180 ° -$ (somme des deux angles connus), puis je vérifie que la somme des trois vaut $180 °$ .

Exemple. Dans le triangle $G H I$ , $H G I = 71 °$ et $G H I = 46 °$ . Calculer $G I H$ .

$71 + 46 = 117$ .

$G I H = 180 ° - 117 ° = 63 °$ .

Contrôle : $71 + 46 + 63 = 180$ .

Attention — $180 - (71 + 46)$ et non $180 - 71 + 46$ : on retire la somme des deux angles.

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Cas 3 · Angles d’un triangle particulier

Réflexe — isocèle : angle à la base $= (180 - angle principal) \div 2$ ; rectangle : angle aigu $= 90 -$ l’autre ; équilatéral : $60 °$ .

Exemple 1. $I J K$ est isocèle en $I$ avec $J I K = 28 °$ . Calculer $I J K$ .

Les angles à la base $I J K$ et $I K J$ sont égaux.

Leur somme : $180 - 28 = 152$ , donc $I J K = 152 \div 2 = 76 °$ .

Exemple 2. $X Y Z$ est rectangle en $X$ avec $X Y Z = 57 °$ . Calculer $X Z Y$ .

Les angles aigus sont complémentaires : $X Z Y = 90 ° - 57 ° = 33 °$ .

Attention — ne pas oublier de diviser par $2$ : $152 °$ est la somme des deux angles à la base.

Cas 4 · Le triangle existe-t-il ?

Réflexe — je compare le plus grand côté à la somme des deux autres : plus petit, il existe ; égal, points alignés ; plus grand, impossible.

Exemple. Peut-on construire un triangle de côtés $3, 8$ cm, $6, 1$ cm et $9, 4$ cm ?

Plus grand côté : $9, 4$ cm. Somme des deux autres : $3, 8 + 6, 1 = 9, 9$ cm.

$9, 4 < 9, 9$ : le triangle existe.

Attention — en cas d’égalité, il n’y a pas de vrai triangle : les trois points sont alignés.

Cas 5 · Construire un triangle

Réflexe — trois longueurs : compas ; deux longueurs et l’angle compris : rapporteur au sommet commun ; une longueur et deux angles : rapporteur aux deux extrémités.

Exemple. Construire $A B C$ avec $A B = 5, 5$ cm, $B A C = 36 °$ et $A C B = 81 °$ .

L’angle en $C$ n’est pas au bout de $[A B]$ : $A B C = 180 - (36 + 81) = 63 °$ .

Je trace $[A B]$ , l’angle de $36 °$ en $A$ et l’angle de $63 °$ en $B$ : les deux demi-droites se coupent en $C$ .

Attention — figure à main levée d’abord ; je laisse les arcs et les traits de construction apparents.

Les pièges

Prendre pour rayon de l’arc de centre $E$ la longueur du côté opposé à $E$ : c’est le côté qui part de $E$ qui compte.
Nommer un angle avec une seule lettre ou mettre le sommet au bout : l’angle de sommet $B$ est $A B C$ .
Oublier la division par $2$ dans un triangle isocèle.
Conclure « le triangle existe » en cas d’égalité, ou comparer un autre côté que le plus grand.
Tracer un angle donné au mauvais sommet : il doit être entre les deux côtés qui le forment.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode résume la démarche pour un exercice sur les triangles : faire un croquis codé, repérer la propriété utile, rédiger et contrôler. Un exemple corrigé par cas (nature et construction de 6e, troisième angle, triangle particulier, triangle constructible, construction au rapporteur) et cinq pièges.

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