Fiche de révision : symétrie centrale, demi-tour et propriétés

Revoir la symétrie axiale de 6e (symétrique d’un point et d’une figure, propriétés conservées, axes des figures usuelles), puis définir la symétrie centrale comme un demi-tour autour d’un point et la distinguer de la symétrie axiale, reconnaître le centre de symétrie d’une figure (lettres, cercle, rosaces), construire le symétrique d’un point et d’une figure sur quadrillage et sur feuille blanche, et utiliser les propriétés conservées (longueurs, angles, aires, alignement, parallélisme).

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benprofparticulier.frMathématiques · 5ᵉ

Symétrie centrale : demi-tour et propriétés

Fiche méthode

(Mathématiques 5ᵉ · Espace et géométrie · Transformations)

La démarche pour toute question de symétrie, axiale ou centrale

1. Je repère l’élément de référence. Une droite : c’est une symétrie axiale, on plie le long de l’axe. Un point O : c’est une symétrie centrale, on fait un demi-tour autour de lui.

2. Je pense « milieu ». Un point et son symétrique : l’axe coupe le segment qui les joint perpendiculairement en son milieu ; le centre O est le milieu de ce segment.

3. Je conclus avec les propriétés conservées. Les deux symétries conservent longueurs, angles, aires et alignement ; avec le demi-tour, une droite a pour image une droite parallèle.

Le réflexe — O est le milieu de [MM′] : M′ est de l’autre côté de O, sur la droite (MO), à la même distance.

Cas 1 · Rappels de 6e : la symétrie axiale

Réflexe — je compte (ou je mesure) la distance de chaque sommet à l’axe, perpendiculairement à l’axe, et je reporte la même distance de l’autre côté (en biais si l’axe suit les diagonales des carreaux) ; pour les axes d’une figure, je la plie dans ma tête.

Exemple 1. Sur un quadrillage, l’axe $(d)$ est vertical. $P$ est à $3$ carreaux à droite de $(d)$ , et $Q$ est sur $(d)$ . Où sont $P'$ et $Q'$ ?

$P'$ est sur la même ligne que $P$ , à $3$ carreaux à gauche de $(d)$ : $(d)$ coupe $[P P']$ perpendiculairement en son milieu.

$Q$ est sur l’axe : $Q' = Q$ .

Exemple 2. Combien d’axes de symétrie ont un triangle isocèle non équilatéral et un losange non carré ?

Le triangle isocèle : $1$ axe, la droite qui passe par le sommet principal et le milieu de la base.

Le losange : $2$ axes, les droites qui portent ses diagonales.

Attention — on compte jusqu’à l’axe, pas jusqu’au bord, et perpendiculairement à l’axe ; les diagonales d’un rectangle non carré ne sont pas des axes de symétrie.

Cas 2 · Symétrie axiale ou centrale ? Centre de symétrie

Réflexe — je tourne la feuille d’un demi-tour dans ma tête : tête en bas sans miroir → symétrie centrale ; retournée en miroir → symétrie axiale ; figure inchangée → elle a un centre de symétrie.

Exemple 1. La lettre Z, écrite en capitales bâton, a-t-elle un centre de symétrie ? un axe ?

Après un demi-tour autour du milieu de sa barre oblique, le Z se superpose à lui-même : ce point est son centre de symétrie.

Aucun pliage ne superpose ses deux moitiés : le Z n’a pas d’axe de symétrie.

Exemple 2. Pour passer d’une figure à son image, les segments $[A A']$ , $[B B']$ , $[C C']$ ont tous le même milieu $K$ . Quelle transformation ?

Tous les segments ont le même milieu : c’est la symétrie centrale de centre $K$ .

Attention — le triangle équilatéral a trois axes de symétrie mais aucun centre ; les axes ne donnent pas un centre.

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Cas 3 · Construire un symétrique

Réflexe — je prolonge le segment [MO] au-delà de O de la longueur OM ; sur quadrillage, je refais après O le même trajet de carreaux que de M à O.

Exemple 1. Sur un quadrillage, pour aller de $P$ à $O$ , on avance de 2 carreaux vers la gauche et de 3 vers le haut. Où est $P'$ ?

À partir de $O$ , je refais le même trajet : $P'$ est 2 carreaux à gauche et 3 carreaux au-dessus de $O$ .

Exemple 2. Sans quadrillage : $O R = 3, 2$ cm. Construire $R'$ et donner $R R'$ .

Je trace la demi-droite $[R O)$ et je reporte au compas $3, 2$ cm de l’autre côté de $O$ .

$O$ est le milieu de $[R R']$ : $R R' = 2 \times 3, 2 = 6, 4$ cm.

Attention — pour une figure, je construis le symétrique de chaque sommet, puis je relie dans le même ordre.

Cas 4 · Utiliser les propriétés conservées

Réflexe — une mesure sur la figure image se lit sur la figure de départ ; pour justifier, j’écris « Or la symétrie centrale conserve… ».

Exemple. Le triangle $K' L' M'$ est le symétrique du triangle $K L M$ par rapport à $O$ , avec $K L = 4, 4$ cm et $K L M = 105 °$ .

La symétrie centrale conserve les longueurs : $K' L' = K L = 4, 4$ cm.

Elle conserve les angles : $\hat{K' L' M'} = 105 °$ . Et $(K' L')$ est parallèle à $(K L)$ .

Attention — l’image d’une droite est une droite parallèle, pas perpendiculaire ; si la droite passe par $O$ , c’est la droite elle-même.

Les pièges

Confondre les deux symétries : un axe est une droite, un centre est un point.
Compter les carreaux jusqu’au bord de la feuille, ou en biais, au lieu de les compter perpendiculairement jusqu’à l’axe.
Placer $M'$ du même côté que $M$ : $M'$ est de l’autre côté de $O$ .
Sur quadrillage, revenir en arrière après $O$ au lieu de continuer dans le même sens.
Croire qu’une figure avec des axes a forcément un centre de symétrie.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode résume la démarche commune aux deux symétries : repérer l’axe ou le centre, penser « milieu », conclure avec les propriétés conservées. Un exemple corrigé par cas (point sur quadrillage et axes du losange pour la symétrie axiale, lettre Z, trajet de carreaux, construction au compas, longueurs et angles de l’image) et les pièges classiques.

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