Fiche de révision : proportionnalité, reconnaître, coefficient et graphique

Reconnaître une situation de proportionnalité (tableau, énoncé, graphique), coefficient et son unité, compléter un tableau (coefficient, linéarité, passage à l’unité), échelles d’un plan ou d’une carte, vitesse moyenne, points alignés avec l’origine.

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Proportionnalité : reconnaître, coefficient et graphique

Fiche méthode

(Mathématiques 5ᵉ · Proportionnalité, fonctions · Proportionnalité)

La démarche pour un problème de proportionnalité

1. Je vérifie. La situation est-elle proportionnelle ? Quotients égaux dans toutes les colonnes ; pas de montant fixe ni de tarif dégressif ; sur un graphique, points alignés avec l’origine.

2. Je range. Un tableau à deux lignes, chaque grandeur sur sa ligne, dans la même unité (cm et cm pour une échelle, heures décimales pour une vitesse).

3. Je calcule et je conclus. Lien simple entre les nombres : propriétés de linéarité. Sinon : passage à l’unité ou coefficient (prix unitaire, échelle, vitesse). Je réponds avec l’unité.

Le réflexe — le coefficient a une unité (€/kg, km/h) : la nommer évite de l’utiliser à l’envers ; le passage à l’unité marche dès que le coefficient est un nombre décimal.

Cas 1 · Reconnaître une situation de proportionnalité

Réflexe — je calcule le quotient « 2e ligne ÷ 1re ligne » dans toutes les colonnes ; je cherche un montant fixe ou un tarif dégressif.

Exemple 1. Le tableau $1, 5 \to 4, 2$ ; $4 \to 11, 2$ ; $6 \to 16, 8$ est-il un tableau de proportionnalité ?

$4, 2 \div 1, 5 = 2, 8$ ; $11, 2 \div 4 = 2, 8$ ; $16, 8 \div 6 = 2, 8$ .

Tous les quotients sont égaux : tableau de proportionnalité, de coefficient $2, 8$ .

Exemple 2. Trottinette : $1$ € pour la déverrouiller, puis $0, 25$ € la minute. Le prix est-il proportionnel à la durée ?

$10$ min : $1 + 10 \times 0, 25 = 3, 5$ €. $20$ min : $1 + 20 \times 0, 25 = 6$ €, et non $2 \times 3, 5 = 7$ €.

Non : le montant fixe de $1$ € casse la proportionnalité.

Attention — deux grandeurs qui augmentent ensemble ne sont pas forcément proportionnelles.

Cas 2 · Compléter un tableau de proportionnalité

Réflexe — je cherche un lien simple entre les nombres de la 1re ligne (double, moitié, somme) ; sinon, je passe par l’unité.

Exemple. $5$ baguettes coûtent $6, 50$ €. Combien coûtent $15$ baguettes ? $8$ baguettes ?

$15 = 5 \times 3$ , donc $6, 50 \times 3 = 19, 50$ €.

Pour $8$ : $6, 50 \div 5 = 1, 30$ € la baguette, puis $8 \times 1, 30 = 10, 40$ €.

Attention — on n’ajoute jamais le même nombre aux deux lignes : on multiplie, on divise, ou on additionne deux colonnes.

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Cas 3 · Utiliser une échelle

Réflexe — échelle $1 / n$ : réel $=$ plan $\times n$ ; plan $=$ réel $\div n$ , les deux longueurs en cm.

Exemple 1. Carte à l’échelle $1 / 200 000$ . Que représentent $3, 5$ cm ? Combien mesure une route droite de $12$ km sur la carte ?

$3, 5 \times 200 000 = 700 000$ cm, soit $7$ km.

$12$ km $= 1 200 000$ cm, puis $1 200 000 \div 200 000 = 6$ cm.

Exemple 2. Sur un plan, $5$ cm représentent $40$ m. Quelle est l’échelle ?

$40$ m $= 4 000$ cm, puis $4 000 \div 5 = 800$ : l’échelle est $1 / 800$ .

Attention — à $1 / n$ , $1$ cm représente $n$ cm (pas $n$ m). Une échelle $8 : 1$ est un agrandissement : réel $=$ dessin $\div 8$ .

Cas 4 · Calculer une vitesse moyenne

Réflexe — j’écris la durée en heures décimales ; vitesse $=$ distance $\div$ durée, distance $=$ vitesse $\times$ durée.

Exemple. Un scooter parcourt $36$ km en $45$ min. Quelle est sa vitesse moyenne ?

$45$ min $= 0, 75$ h, donc $36 \div 0, 75 = 48$ km/h.

Autre méthode : $36$ km en $45$ min, c’est $12$ km en $15$ min, donc $48$ km en $60$ min.

Attention — $1$ h $30$ min $= 1, 5$ h, et non $1, 30$ h.

Cas 5 · Lire un graphique de proportionnalité

Réflexe — points alignés et droite qui passe par l’origine : proportionnalité ; le coefficient est l’ordonnée du point d’abscisse $1$ .

Exemple. Une droite passe par l’origine et par le point $(5; 12)$ . Quel est le coefficient ? Quelle est l’ordonnée du point d’abscisse $8$ ?

$12 \div 5 = 2, 4$ : le coefficient est $2, 4$ .

Ordonnée : $8 \times 2, 4 = 19, 2$ .

Attention — une droite qui ne passe pas par l’origine traduit un montant fixe : ce n’est pas de la proportionnalité.

Les pièges

Conclure après une seule colonne : il faut vérifier toutes les colonnes.
Ajouter le même nombre aux deux lignes : on multiplie, on divise, ou on additionne deux colonnes.
Diviser des km par $n$ : on convertit d’abord la distance réelle en cm.
Écrire $1$ h $30$ min $= 1, 30$ h : c’est $1, 5$ h.
Croire qu’une droite traduit toujours une proportionnalité : elle doit passer par l’origine.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche d’un problème de proportionnalité : vérifier, ranger les données dans un tableau, calculer avec l’unité. Un exemple corrigé par cas (quotients d’un tableau, trottinette avec montant fixe, prix de baguettes, carte au 1/200 000, vitesse d’un scooter, droite passant par l’origine) et les pièges classiques.

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