Proportions et pourcentages

Calculer une proportion et l’écrire en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage (rappels de 6ᵉ, valeur approchée, pourcentages de voix, comparer deux groupes) ; pourcentages de tête (1 %, 10 %, 25 %, 50 %, 75 %, plus de 100 %) et retrouver le tout ; appliquer un pourcentage à une quantité ; réductions et augmentations en pourcentage ; problèmes.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 5e reprend tout ce qu’il faut savoir sur les pourcentages en quatre parties : calculer une proportion et l’écrire en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage (avec les pourcentages de voix d’une élection) ; calculer de tête 1 %, 10 %, 25 %, 50 %, 75 % et des pourcentages de plus de 100 % ; appliquer un pourcentage à une quantité ; calculer une réduction ou une augmentation.

Calculer une proportion (rappels de 6ᵉ) et des pourcentages de voix

En 6ᵉ, tu as appris à calculer une proportion et à l’écrire de trois façons : on reprend tout ici. Les nouveautés de 5ᵉ sont les proportions qui ne tombent pas juste (valeur approchée) et les pourcentages de voix d’une élection.

Ce qu’il faut savoir Une proportion compare une partie à un tout : proportion = partie ÷ total, c’est-à-dire la fraction

\frac{partie}{total}

.
Elle s’écrit de trois façons : en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage.
Un pourcentage est une proportion ramenée à 100 : « pour cent » veut dire « sur 100 », et t % =

\frac{t}{100}

.
Nombre décimal → pourcentage : on multiplie par 100 (0,36 = 36 %). Pourcentage → nombre décimal : on divise par 100 (3 % = 0,03).
Les parts d’un même tout font 100 % en tout.

Exemples

9 des 25 élèves de la 5ᵉ B font du théâtre. Comme 25 × 4 = 100, on multiplie aussi 9 par 4 : $\frac{9}{25}$ = $\frac{36}{100}$ = 0,36 = 36 %.

Autre chemin : on calcule le quotient 9 ÷ 25 = 0,36, puis on multiplie par 100 : 36 %.

Quand la division ne tombe pas juste, on donne une valeur approchée : 7 sur 15, c’est 7 ÷ 15 ≈ 0,467, soit environ 46,7 % (on écrit ≈).

Les pourcentages de voix d’une élection

Pour l’élection des délégués de la 5ᵉ D, chacun des 32 élèves a voté pour un seul candidat.

Candidat	Inès	Bastien	Yanis	Clara	Total
Voix	12	8	10	2	32
Pourcentage	37,5 %	25 %	31,25 %	6,25 %	100 %

Exemples

Inès : 12 ÷ 32 = 0,375, soit 37,5 % des voix. Bastien : 8 ÷ 32 = 0,25, soit 25 %.

Yanis : 10 ÷ 32 = 0,3125, soit 31,25 %. Clara : 2 ÷ 32 = 0,0625, soit 6,25 %.

Contrôle : 37,5 + 25 + 31,25 + 6,25 = 100. Les quatre parts font bien 100 %.

Comparer deux proportions

Un pourcentage permet de comparer des groupes de tailles différentes, en les ramenant tous à 100.

Exemple

Collège Jules-Verne : 168 demi-pensionnaires sur 240 élèves, 168 ÷ 240 = 0,7, soit 70 %. Collège Colette : 195 demi-pensionnaires sur 300 élèves, 195 ÷ 300 = 0,65, soit 65 %.

Il y a plus de demi-pensionnaires au collège Colette (195 contre 168), mais leur proportion y est plus petite.

Réflexe — je divise toujours par le total ; quand je calcule les pourcentages de toutes les parts, je vérifie qu’ils font 100 %.

Attention — 3 % = 0,03, et non 0,3 (qui vaut 30 %). « 6 sur 24 » vaut $\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$ = 25 %, ni 6 % ni 24 %. Et une proportion se calcule par rapport au total, jamais par rapport à une autre partie : avec 12 filles et 18 garçons, la proportion de filles est 12 ÷ 30 = 0,4 = 40 %, et non 12 ÷ 18.

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Pourcentages de tête : 1 %, 10 %, 25 %, 50 %, 75 % et plus de 100 %

Rappels de 6ᵉ : 50 %, 25 %, 75 % et 10 % se calculent de tête. Nouveautés de 5ᵉ : 1 %, et les pourcentages qui dépassent 100 %.

Ce qu’il faut savoir 100 %, c’est la quantité entière.
50 % =

\frac{1}{2}

: c’est la moitié → on divise par 2.
25 % =

\frac{1}{4}

: c’est le quart → on divise par 4 (la moitié de la moitié).
75 % =

\frac{3}{4}

: ce sont les trois quarts → on divise par 4, puis on multiplie par 3.
10 % =

\frac{1}{10}

: c’est le dixième → on divise par 10.
1 % =

\frac{1}{100}

: c’est le centième → on divise par 100.
Les autres pourcentages se fabriquent avec ceux-là : 20 % = 2 × 10 %, 5 % = la moitié de 10 %, 2 % = 2 × 1 %… Un pourcentage peut dépasser 100 % : 150 % = 100 % + 50 %, et 200 %, c’est le double.

Pourcentage de 460	50 %	25 %	75 %	10 %	1 %
Calcul	460 ÷ 2	230 ÷ 2	115 × 3	460 ÷ 10	460 ÷ 100
Résultat	230	115	345	46	4,6

Combiner les pourcentages faciles

Exemples (toujours avec 460, dont 10 % valent 46 et 1 % vaut 4,6)

20 % de 460 : 46 × 2 = 92 · 5 % de 460 : 46 ÷ 2 = 23 · 15 % de 460 : 46 + 23 = 69

2 % de 460 : 4,6 × 2 = 9,2 · 99 % de 460 : 460 − 4,6 = 455,4 (100 % − 1 %)

120 % de 460 : 460 + 92 = 552 · 150 % de 460 : 460 + 230 = 690 (plus que 460, puisque plus de 100 %)

Un même nombre, plusieurs écritures

Un nombre décimal plus grand que 1 correspond à un pourcentage plus grand que 100 % :

Exemples

1,4 = $\frac{14}{10}$ = $\frac{7}{5}$ = $\frac{140}{100}$ = 140 % · 2 = 200 % · $\frac{3}{4}$ = 0,75 = 75 %

Dans l’autre sens : retrouver le tout

Exemples

25 % d’un nombre valent 13 : le quart vaut 13, donc le nombre vaut 13 × 4 = 52.

1 % d’une somme vaut 2,40 € : la somme vaut 100 fois plus, 2,40 × 100 = 240 €.

20 % d’un prix valent 7 € : 10 % valent 7 ÷ 2 = 3,50 €, donc le prix vaut 3,50 × 10 = 35 €.

Réflexe — je traduis le pourcentage en fraction simple (« 25 % » devient « le quart ») ou je pars de 10 % et de 1 %.

Attention — 25 % ne veut pas dire « diviser par 25 » : 25 % de 460, c’est 460 ÷ 4 = 115. Et 1 % de 460, c’est 4,6, pas 460 : on divise par 100.

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Appliquer un pourcentage à une quantité

Ce qu’il faut savoir Prendre t % d’une quantité N, c’est en prendre

\frac{t}{100}

:
t % de N = N × t ÷ 100 (on multiplie par t, puis on divise par 100).
On peut aussi passer par 1 % (N ÷ 100, puis × t) ou écrire t % en nombre décimal (34 % = 0,34).
La quantité obtenue est proportionnelle au pourcentage : 100 % correspond à N tout entier. Le résultat est dans la même unité que N.

Sur 850 spectateurs d’un concert, 34 % ont moins de 18 ans : trois méthodes

Méthode 1 (multiplier puis diviser) : 850 × 34 = 28 900, puis 28 900 ÷ 100 = 289.

Méthode 2 (passer par 1 %) : 1 % de 850, c’est 850 ÷ 100 = 8,5, puis 8,5 × 34 = 289.

Méthode 3 (nombre décimal) : 34 % = 0,34 et 850 × 0,34 = 289. Il y a 289 spectateurs de moins de 18 ans.

Avec un tableau de proportionnalité

Pourcentage	100	34	50
Spectateurs	850	289	425

On passe de la 1^re ligne à la 2^e en multipliant par 850 ÷ 100 = 8,5 : c’est la méthode 2. Le tableau sert aussi dans l’autre sens : 425 spectateurs, c’est 425 ÷ 8,5 = 50, soit 50 %.

Avec des unités et des nombres décimaux

Exemples

Un pot de 750 g de confiture contient 55 % de fruits : 750 × 55 = 41 250, puis 41 250 ÷ 100 = 412,5. Il contient 412,5 g de fruits.

Un budget de 1 200 € : 45 % pour le transport, 35 % pour l’hébergement, le reste pour les repas. Les repas représentent 100 − 45 − 35 = 20 %, soit 1 200 × 20 ÷ 100 = 240 €.

Réflexe — je contrôle avec les pourcentages faciles : 34 %, c’est plus que le quart et moins que la moitié. Pour 850 : entre 212,5 et 425, donc 289 est vraisemblable.

Attention — des pourcentages ne s’additionnent que s’ils portent sur le même total. 20 % d’un groupe de 15 élèves (3 élèves) et 20 % d’un groupe de 35 élèves (7 élèves), cela fait 10 élèves sur 50, soit encore 20 %, et non 40 %.

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Réductions et augmentations en pourcentage

Ce qu’il faut savoir Une réduction (remise, soldes) de t % : la réduction vaut t % du prix de départ, et prix payé = prix de départ − réduction.
Une augmentation de t % : l’augmentation vaut t % de la valeur de départ, et nouvelle valeur = valeur de départ + augmentation.
Le pourcentage de réduction (ou d’augmentation) est une proportion : on divise la réduction (ou l’augmentation) par la valeur de départ, puis on multiplie par 100.

Exemples

Une veste à 85 € est soldée −20 %. 10 % de 85, c’est 8,5, donc 20 % valent 8,5 × 2 = 17 € de réduction. Prix payé : 85 − 17 = 68 €.

Autre chemin : on paie 100 % − 20 % = 80 % du prix, et 85 × 80 ÷ 100 = 68 €.

Un abonnement de 36 € augmente de 5 % : 36 × 5 ÷ 100 = 1,8. L’augmentation est de 1,80 €, et le nouveau prix 36 + 1,80 = 37,80 €.

Retrouver le pourcentage

Exemples

Un casque passe de 60 € à 51 €. La réduction est de 60 − 51 = 9 €, et 9 ÷ 60 = 0,15 : c’est une réduction de 15 %.

Un club passe de 250 à 270 adhérents : 270 − 250 = 20 adhérents de plus, et 20 ÷ 250 = 0,08 : une augmentation de 8 %.

Deux évolutions à la suite

Le deuxième pourcentage se calcule sur la nouvelle valeur, pas sur celle de départ.

Exemple

Un prix de 200 € augmente de 10 % : 200 + 20 = 220 €. Puis il baisse de 10 % : 10 % de 220, c’est 22, et 220 − 22 = 198 €. On ne revient pas à 200 €.

Réflexe — je calcule d’abord le montant de la réduction (ou de l’augmentation) sur la valeur de départ, puis je le retire (ou je l’ajoute). Contrôle : après une réduction, le prix a baissé ; après une augmentation, il a monté.

Attention — on ne retire pas le pourcentage comme des euros : −20 % sur 85 €, ce n’est pas 85 − 20 = 65 €. Et le pourcentage se calcule sur la valeur de départ : pour le casque, 9 ÷ 51 ne donne pas le pourcentage de réduction.

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Pour aller plus loin

Avant et à côté — un pourcentage, c’est de la proportionnalité (100 % correspond au tout) : coefficient, tableau et linéarité sont dans Proportionnalité : reconnaître, coefficient et graphique. Les fréquences d’une série statistique écrites en pourcentage et le diagramme circulaire sont dans Statistiques : effectifs, fréquences et diagrammes.

Se verra en 4ᵉ — le coefficient multiplicateur : baisser un prix de 20 %, c’est le multiplier par 0,8 ; l’augmenter de 5 %, c’est le multiplier par 1,05. Il permettra de retrouver un prix de départ à partir du prix soldé et d’enchaîner plusieurs évolutions en un seul calcul.

À retenir

Proportion = partie ÷ total ; elle s’écrit en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage (t % = t/100). Si la division ne tombe pas juste, on donne une valeur approchée avec ≈.
Les parts d’un même tout font 100 % ; pour comparer des groupes de tailles différentes, on compare des pourcentages, pas des effectifs.
De tête : 50 % → ÷ 2 ; 25 % → ÷ 4 ; 75 % → ÷ 4 puis × 3 ; 10 % → ÷ 10 ; 1 % → ÷ 100. Plus de 100 %, c’est plus que la quantité : 150 % = 100 % + 50 %.
t % de N = N × t ÷ 100 : la quantité est proportionnelle au pourcentage (100 % correspond à N) et garde l’unité de N.
Réduction ou augmentation de t % : je calcule t % de la valeur de départ, puis je le retire ou je l’ajoute. Pourcentage d’évolution = évolution ÷ valeur de départ × 100.

Questions fréquentes

Comment calculer le pourcentage que représente une partie d’un total ?

On divise la partie par le total, puis on multiplie par 100 : 27 élèves sur 60, c’est 27 ÷ 60 = 0,45, soit 45 %. Si la division ne tombe pas juste, on donne une valeur approchée : 5 sur 7, c’est environ 71,4 %.

Comment calculer 1 %, 10 %, 25 % ou 50 % d’un nombre de tête ?

Pour 1 %, on divise par 100 ; pour 10 %, par 10 ; pour 25 %, par 4 ; pour 50 %, par 2. Pour 380, cela donne 3,8 ; 38 ; 95 et 190. Les autres s’en déduisent : 30 % de 380, c’est 3 × 38 = 114.

Comment calculer t % d’une quantité ?

On multiplie la quantité par t, puis on divise par 100 : 24 % de 650, c’est 650 × 24 = 15 600, puis 15 600 ÷ 100 = 156. On peut aussi passer par 1 % (6,5 × 24) ou multiplier par 0,24.

Comment calculer un prix après une réduction en pourcentage ?

On calcule la réduction, puis on la retire : pour un jeu à 48 € soldé −25 %, la réduction est le quart de 48 €, soit 12 €, et on paie 48 − 12 = 36 €. Pour une augmentation, on ajoute au lieu de retirer.

Un pourcentage peut-il dépasser 100 % ?

Oui : 150 % de 40, c’est 40 + 20 = 60, une fois et demie 40, et 1,3 = 130 %. En revanche, une partie d’un tout ne dépasse jamais 100 % de ce tout.

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