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Statistiques : la moyenne
Moyenne simple d’une série de données : la calculer (somme des données ÷ nombre de données) à partir d’une liste, d’un tableau ou d’un diagramme en barres, en valeur exacte ou approchée, et au tableur ; retrouver une somme ou une donnée manquante, ajouter ou retirer une donnée, regrouper deux séries ; interpréter une moyenne : la situer entre les données, comparer des séries, repérer une moyenne trompeuse.
À propos de cette page
Calculer la moyenne d’une série
moyenne = somme des données ÷ nombre de données.
Chaque donnée compte, autant de fois qu’elle apparaît, même si elle vaut 0. La moyenne s’exprime dans la même unité que les données.
Si la division ne tombe pas juste, on donne une valeur approchée : on arrondit et on écrit « ≈ ».
La moyenne, c’est la valeur qu’aurait chaque donnée si l’on partageait le total en parts égales. Quatre amis ont cueilli 3 kg, 5 kg, 2 kg et 6 kg de pommes, soit 16 kg à eux quatre ; s’ils avaient tous cueilli la même masse, chacun en aurait 16 ÷ 4 = 4 kg. La moyenne est 4 kg.
Temps de trajet de Noé (en min), du lundi au vendredi : 18 ; 25 ; 21 ; 18 ; 23.
Somme : 18 + 25 + 21 + 18 + 23 = 105. Il y a 5 données (le 18 compte deux fois). Moyenne : 105 ÷ 5 = 21 min.
Hauteurs de quatre plants de tomates : 7 cm ; 9 cm ; 12 cm ; 10 cm. Moyenne : (7 + 9 + 12 + 10) ÷ 4 = 38 ÷ 4 = 9,5 cm. Une moyenne n’est pas forcément un nombre entier.
Points marqués par une basketteuse en 6 matchs : 14 ; 9 ; 17 ; 11 ; 20 ; 8. Somme : 79. 79 ÷ 6 = 13,166… : la division ne tombe pas juste. Moyenne ≈ 13,2 points (arrondie au dixième).
Lire les données dans un tableau ou un diagramme
Les données sont souvent rangées dans un tableau, ou représentées par un diagramme en barres où chaque barre est une donnée : on lit toutes les données, puis on calcule la moyenne comme d’habitude.
Spectateurs d’un cirque pendant un week-end prolongé
| Soir | jeudi | vendredi | samedi | dimanche |
|---|---|---|---|---|
| Spectateurs | 86 | 124 | 157 | 93 |
(86 + 124 + 157 + 93) ÷ 4 = 460 ÷ 4 = 115 : le cirque a accueilli en moyenne 115 spectateurs par soir.
L’axe est gradué de 2 en 2. Lecture des cinq barres : 12 ; 8 ; 22 ; 6 ; 14. Somme : 62. Moyenne : 62 ÷ 5 = 12,4 km par jour.
Le trait pointillé montre la moyenne : si Inès avait roulé la même distance chaque jour, elle aurait parcouru 12,4 km par jour.
Ici, chaque barre est une donnée (un jour). Quand la hauteur d’une barre est un effectif (par exemple le nombre d’élèves qui ont eu telle note), le calcul est différent : c’est la moyenne pondérée, étudiée en 4ᵉ.
Au tableur
Si les données sont dans les cellules B2 à B6, la formule =MOYENNE(B2:B6) affiche leur moyenne ; =SOMME(B2:B6)/5 donne le même résultat. « B2:B6 » désigne toutes les cellules de B2 à B6 ; avec un point-virgule, =MOYENNE(B2;B6) ne prendrait que les deux cellules B2 et B6.
Réflexe — j’additionne toutes les données, je compte combien il y en a, je divise ; je donne l’unité et je vérifie que le résultat est compris entre la plus petite et la plus grande donnée.
Attention — je divise par le nombre de données, en comptant les 0 : les notes 0 ; 12 ; 15 ont pour moyenne 27 ÷ 3 = 9, pas 27 ÷ 2. Et j’écris les parenthèses : (7 + 9 + 12 + 10) ÷ 4 ; sans elles, 7 + 9 + 12 + 10 ÷ 4 ne divise que le dernier nombre.
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Retrouver une somme ou une donnée manquante
Pour trouver une donnée manquante : je calcule la somme de toutes les données (moyenne × nombre de données), puis je soustrais la somme des données connues.
Pour ajouter, retirer ou remplacer une donnée, ou pour regrouper deux séries, je repasse par les sommes : je n’additionne pas des moyennes.
Un cycliste a roulé pendant 6 jours, en moyenne 35 km par jour. Distance totale : 35 × 6 = 210 km.
Lou a 5 notes. On connaît 16 ; 8 ; 15 ; 11, et sa moyenne est 12.
Somme des 5 notes : 12 × 5 = 60. Notes connues : 16 + 8 + 15 + 11 = 50. Cinquième note : 60 − 50 = 10.
Vérification : (16 + 8 + 15 + 11 + 10) ÷ 5 = 60 ÷ 5 = 12 ✓
Yanis a eu 9 et 12. Pour avoir 11 de moyenne sur trois contrôles, il lui faut une somme de 11 × 3 = 33 : il doit obtenir 33 − (9 + 12) = 12 au troisième contrôle.
Ajouter une donnée, regrouper deux séries
Une équipe a marqué en moyenne 3 buts par match sur 4 matchs, soit 3 × 4 = 12 buts. Elle en marque 8 au cinquième match : (12 + 8) ÷ 5 = 20 ÷ 5 = 4 buts par match en moyenne.
Au club de natation, les 10 nageurs du groupe A ont fait en moyenne 40 longueurs, les 15 nageurs du groupe B en moyenne 50 longueurs.
Total : 10 × 40 + 15 × 50 = 400 + 750 = 1 150 longueurs pour 25 nageurs. Moyenne de tous les nageurs : 1 150 ÷ 25 = 46 longueurs, et non (40 + 50) ÷ 2 = 45 : le groupe B, plus nombreux, pèse davantage.
Réflexe — dès qu’une moyenne est donnée et qu’il manque une donnée, je calcule d’abord la somme totale : moyenne × nombre de données.
Attention — la donnée manquante n’est pas égale à la moyenne (pour Lou, c’est 10, pas 12). Et on ne fait pas la moyenne de deux moyennes quand les groupes n’ont pas le même nombre de données.
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Interpréter une moyenne
Elle sert de repère : on situe chaque donnée au-dessus ou en dessous de la moyenne, et on compare deux séries de même nature à l’aide de leurs moyennes.
Si on ajoute une donnée plus grande que la moyenne, la moyenne augmente ; plus petite, elle diminue ; égale, elle ne change pas.
Une moyenne ne dit pas tout : deux séries peuvent avoir la même moyenne et des données très différentes, et une donnée très éloignée des autres « tire » la moyenne, qui représente alors mal la série.
Températures maximales d’une semaine (en °C) : 21 ; 24 ; 19 ; 26 ; 23 ; 18 ; 20. Moyenne : 151 ÷ 7 ≈ 21,6 °C, qui n’est aucune des températures relevées. Trois jours sont au-dessus de la moyenne (24, 26 et 23 °C), quatre en dessous.
Un élève annonce 17 pour la moyenne de 8 ; 12 ; 15. C’est impossible sans calcul : 17 dépasse la plus grande donnée. (La moyenne vaut 35 ÷ 3 ≈ 11,7.)
Après 4 contrôles, Lina a 12 de moyenne. Elle obtient 17 au cinquième : 17 est au-dessus de 12, sa moyenne augmente. Elle passe à (48 + 17) ÷ 5 = 65 ÷ 5 = 13.
Ce qu’une moyenne ne dit pas
Aux fléchettes, Ana marque 14 ; 15 ; 16 ; 15 points et Bilal 5 ; 25 ; 10 ; 20 points. Tous deux ont 60 ÷ 4 = 15 points de moyenne, mais Ana est bien plus régulière : ses scores restent proches de 15, ceux de Bilal vont de 5 à 25.
Dans un club de théâtre, les cinq élèves ont 12, 13, 12, 14 et 13 ans, et l’animatrice 66 ans. Âge moyen : 130 ÷ 6 ≈ 21,7 ans. Personne n’a cet âge, et 5 membres sur 6 sont bien en dessous : l’âge de l’animatrice, très éloigné des autres, tire la moyenne vers le haut.
Réflexe — avant d’interpréter, je vérifie que la moyenne est entre la plus petite et la plus grande donnée ; puis je compare chaque donnée à la moyenne et je regarde si une donnée est très éloignée des autres.
Attention — « avoir 13 de moyenne » ne veut pas dire avoir eu 13 à chaque contrôle, et la moitié des données n’est pas toujours au-dessus de la moyenne : au club de théâtre, une seule personne sur six l’est.
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Pour aller plus loin
Effectifs, fréquences et diagrammes — ranger une série dans un tableau d’effectifs, calculer des fréquences, lire et construire des diagrammes en barres et circulaires : voir Statistiques : effectifs, fréquences et diagrammes.
Vitesse moyenne — la vitesse moyenne d’un trajet se calcule à partir de la distance parcourue et de la durée du trajet : voir Proportionnalité : reconnaître, coefficient et graphique.
En 4ᵉ — la moyenne pondérée, calculée à partir d’un tableau d’effectifs ou d’un diagramme en barres dont les barres sont des effectifs (chaque valeur est multipliée par son effectif) ; la médiane et l’étendue d’une série ; comparer l’effet d’une valeur extrême sur la moyenne et sur la médiane.
- Moyenne = somme des données ÷ nombre de données. Chaque donnée compte, même un 0 ou une valeur répétée, et la moyenne a la même unité que les données.
- Si la division ne tombe pas juste, on arrondit et on écrit « ≈ ». Dans un tableau ou un diagramme où chaque barre est une donnée, on lit toutes les données avant de calculer. Au tableur : =MOYENNE(B2:B6).
- Somme des données = moyenne × nombre de données : c’est le point de départ pour retrouver une donnée manquante.
- Pour ajouter ou retirer une donnée, ou regrouper deux séries, on passe par les sommes : on n’additionne jamais des moyennes.
- La moyenne est comprise entre la plus petite et la plus grande donnée. Une donnée très éloignée des autres peut la rendre trompeuse.
Questions fréquentes
Comment calculer une moyenne ?
On additionne toutes les données, puis on divise la somme par le nombre de données. Pour 18 ; 25 ; 21 ; 18 ; 23 : 105 ÷ 5 = 21. Chaque donnée compte, même un 0 ou une valeur répétée, et la moyenne a la même unité que les données.
Que faire si la division ne tombe pas juste ?
On donne une valeur approchée, en arrondissant et en écrivant « ≈ ». Pour 14 ; 9 ; 17 ; 11 ; 20 ; 8 : 79 ÷ 6 = 13,166…, donc la moyenne est d’environ 13,2 (arrondie au dixième).
Comment retrouver une note manquante à partir de la moyenne ?
On calcule la somme de toutes les notes : moyenne × nombre de notes. Puis on retire les notes connues. Avec 12 de moyenne sur 5 notes et 16 ; 8 ; 15 ; 11 connues : 12 × 5 = 60 et 60 − 50 = 10.
Peut-on faire la moyenne de deux moyennes ?
Seulement si les deux groupes ont le même nombre de données. Sinon, on additionne les sommes : 10 nageurs à 40 longueurs et 15 nageurs à 50 longueurs donnent (400 + 750) ÷ 25 = 46 longueurs, et non 45.
Une moyenne peut-elle être trompeuse ?
Oui : une donnée très éloignée des autres tire la moyenne. Dans un club où cinq élèves ont 12 à 14 ans et l’animatrice 66 ans, l’âge moyen est d’environ 21,7 ans : personne n’a cet âge, et 5 membres sur 6 sont bien en dessous. La moyenne est toujours entre la plus petite et la plus grande donnée.
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