Fiche de révision : fractions, opérations

Rappels de 6e (fractions de même dénominateur ou dont un dénominateur est multiple de l’autre, calculs avec un nombre entier, multiplier une fraction par un entier) ; additionner et soustraire des fractions de dénominateurs quelconques ; simplifier le résultat et résoudre des problèmes de partage et de fraction d’une quantité.

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benprofparticulier.frMathématiques · 5ᵉ

Fractions : opérations

Fiche méthode

(Mathématiques 5ᵉ · Nombres et calculs · Nombres rationnels)

La démarche pour additionner ou soustraire des fractions

1. Je regarde les dénominateurs. Égaux : je passe à l’étape 3. L’un multiple de l’autre : le plus grand sert de dénominateur commun. Quelconques : je cherche un dénominateur commun dans les multiples du plus grand.

2. Je transforme chaque fraction : son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre ; un entier s’écrit avec le dénominateur commun.

3. Je calcule les numérateurs, je garde le dénominateur, puis je simplifie et je contrôle l’ordre de grandeur. Fraction × entier : je multiplie seulement le numérateur.

Le réflexe — le dénominateur donne la taille des parts : on ne l’additionne jamais, on le rend commun.

Cas 1 · Rappels de 6e : même dénominateur, dénominateur multiple, entier, × entier

Réflexe — je calcule les numérateurs et je garde le dénominateur ; je transforme la fraction au plus petit dénominateur ; un entier s’écrit avec le dénominateur de l’autre fraction ; fois un entier, seul le numérateur change.

Exemple 1. Calculer $\frac{13}{15} - \frac{4}{15}$ , puis $\frac{2}{9} + \frac{5}{18}$ .

Même dénominateur : $\frac{13}{15} - \frac{4}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ (je divise par $3$ ).

$18 = 9 \times 2$ , donc $\frac{2}{9} = \frac{4}{18}$ et $\frac{4}{18} + \frac{5}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$ (je divise par $9$ ).

Exemple 2. Calculer $3 + \frac{2}{9}$ , puis écrire $\frac{34}{9}$ comme un entier plus une fraction inférieure à 1.

$3 = \frac{27}{9}$ ( $3 \times 9 = 27$ ), donc $3 + \frac{2}{9} = \frac{27}{9} + \frac{2}{9} = \frac{29}{9}$ .

$34 \div 9$ : 3, il reste 7, donc $\frac{34}{9} = \frac{27}{9} + \frac{7}{9} = 3 + \frac{7}{9}$ .

Exemple 3. Calculer $5 \times \frac{7}{10}$ .

Je multiplie seulement le numérateur : $5 \times 7 = 35$ .

$5 \times \frac{7}{10} = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$ (je divise par $5$ ).

Attention — on écrit l’entier avec le même dénominateur : $3 = \frac{27}{9}$ , pas $\frac{3}{9}$ ; et dans un produit par un entier, le dénominateur ne bouge pas.

Cas 2 · Dénominateurs quelconques

Réflexe — aucun dénominateur n’est multiple de l’autre : j’écris les multiples du plus grand jusqu’à trouver un multiple commun.

Exemple 1. Calculer $\frac{3}{10} + \frac{5}{8}$ .

Multiples de $10$ : 10, 20, 30, 40 ; et $40 = 8 \times 5$ .

$\frac{3}{10} = \frac{12}{40}$ et $\frac{5}{8} = \frac{25}{40}$ , donc $\frac{3}{10} + \frac{5}{8} = \frac{12}{40} + \frac{25}{40} = \frac{37}{40}$ .

Exemple 2. Calculer $\frac{7}{10} - \frac{1}{4}$ .

Multiples de $10$ : 10, 20 ; et $20 = 4 \times 5$ .

$\frac{7}{10} - \frac{1}{4} = \frac{14}{20} - \frac{5}{20} = \frac{9}{20}$ .

Attention — je multiplie le numérateur et le dénominateur : $\frac{5}{8} = \frac{25}{40}$ , pas $\frac{5}{40}$ .

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Cas 3 · Problèmes avec des fractions

Réflexe — je repère le tout ; fraction d’une quantité : je divise par le dénominateur, puis je multiplie par le numérateur ; part restante : 1 moins les parts connues.

Exemple 1. Calculer les $\frac{2}{7}$ de $63$ km.

$63 \div 7 = 9$ , puis $9 \times 2 = 18$ . Les $\frac{2}{7}$ de $63$ km font $18$ km.

Exemple 2. Dans un club, $\frac{1}{3}$ des membres font du judo, $\frac{2}{9}$ de la boxe, les autres du karaté. Quelle fraction des membres fait du karaté ?

$\frac{1}{3} = \frac{3}{9}$ : judo et boxe font $\frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$ des membres.

Karaté : $\frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ des membres.

Attention — une fraction « de ce qui reste » se calcule sur la quantité restante, pas sur le total.

Les pièges

Additionner les dénominateurs : $\frac{3}{5} + \frac{1}{3}$ ne vaut pas $\frac{4}{8}$ ; au dénominateur $15$ , $\frac{9}{15} + \frac{5}{15} = \frac{14}{15}$ .
Ne transformer que le dénominateur : $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ , pas $\frac{2}{12}$ .
Multiplier aussi le dénominateur : $5 \times \frac{2}{13} = \frac{10}{13}$ , pas $\frac{10}{65}$ (qui vaut encore $\frac{2}{13}$ ).
Oublier de simplifier le résultat : $\frac{10}{14}$ se donne sous la forme $\frac{5}{7}$ .
Prendre la fraction du total au lieu de la fraction du reste : je relis « de ce qui reste ».

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche en trois étapes pour calculer avec des fractions : regarder les dénominateurs, transformer les fractions, calculer puis simplifier. Des exemples corrigés par cas (rappels de 6e avec le produit par un entier, dénominateurs quelconques, problèmes) et les pièges classiques, comme additionner les dénominateurs.

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