Fiche de révision : angles & parallélisme

Rappels de 6e (nommer, classer, mesurer et construire un angle, bissectrice ; droites perpendiculaires et parallèles et leurs propriétés) ; angles adjacents, complémentaires, supplémentaires et opposés par le sommet ; angles alternes-internes et correspondants formés par une sécante ; calculer un angle avec des droites parallèles et démontrer que deux droites sont parallèles.

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Angles & parallélisme

Fiche méthode

(Mathématiques 5ᵉ · Espace et géométrie · Angles et parallélisme)

La démarche pour un exercice d’angles

1. Je repère la configuration : deux droites qui se coupent (angles opposés par le sommet, adjacents) ou deux droites coupées par une sécante (alternes-internes, correspondants) ; pour une mesure au rapporteur, la nature de l’angle (aigu ou obtus) ; pour deux droites, les angles droits codés.

2. Je regarde la question. Les droites sont parallèles : j’utilise la propriété pour calculer un angle. On me demande si elles sont parallèles : j’utilise la réciproque.

3. Je rédige en trois temps : on sait que… ; or (la propriété) ; donc (la conclusion).

Le réflexe — des parallèles donnent des angles égaux (propriété) ; des angles égaux donnent des parallèles (réciproque).

Cas 1 · Rappels de 6e : mesurer un angle, perpendiculaires et parallèles

Réflexe — aigu ou obtus d’abord, puis la graduation qui part du $0$ ; bissectrice : la moitié ; droites : on sait que, or (la propriété), donc.

Exemple 1. L’angle aigu $R S T$ est mesuré au rapporteur : $[S R)$ est sur un $0$ et $[S T)$ passe par $33$ et $147$ . Donner sa mesure, puis celle des deux angles formés par sa bissectrice.

L’angle est aigu : sa mesure est inférieure à $90 °$ , donc $R S T = 33 °$ ( $147$ se lit sur l’autre graduation).

Bissectrice : $33 \div 2 = 16, 5$ , deux angles de $16, 5 °$ .

Exemple 2. $(a) ⟂ (c)$ , $(b) ⟂ (c)$ et $(e) ⟂ (a)$ . Que dire de $(a)$ et $(b)$ , puis de $(e)$ et $(b)$ ?

On sait que $(a) ⟂ (c)$ et $(b) ⟂ (c)$ . Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Donc $(a) / / (b)$ .

On sait que $(a) / / (b)$ et $(e) ⟂ (a)$ . Or une perpendiculaire à l’une de deux parallèles est perpendiculaire à l’autre. Donc $(e) ⟂ (b)$ .

Attention — la mauvaise graduation donne $180 °$ moins la vraie mesure ; deux droites perpendiculaires ne sont jamais parallèles.

Cas 2 · Angles opposés, adjacents, complémentaires, supplémentaires

Réflexe — opposé par le sommet : même mesure ; adjacent sur une droite : $180 °$ moins l’angle ; complémentaire : $90 °$ moins l’angle.

Exemple. Les droites $(R S)$ et $(T U)$ se coupent en $V$ et $R V T = 41 °$ . Trouver $S V U$ , $T V S$ et le complémentaire de $41 °$ .

$S V U$ est opposé par le sommet à $R V T$ : $S V U = 41 °$ .

$T V S$ et $R V T$ forment l’angle plat $R V S$ : $T V S = 180 ° - 41 ° = 139 °$ .

Complémentaire : $90 ° - 41 ° = 49 °$ .

Attention — deux angles opposés par le sommet sont égaux, pas supplémentaires.

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Cas 3 · Reconnaître alternes-internes et correspondants

Réflexe — je repère les deux sommets ; un Z : alternes-internes ; un F : correspondants.

Exemple. La sécante $(I J)$ coupe $(U V)$ en $K$ et $(W Z)$ en $L$ ( $I$ du côté de $K$ , $U$ et $W$ à gauche). Nommer l’alterne-interne et le correspondant de $U K L$ .

$U K L$ est entre les deux droites, à gauche de la sécante.

Alterne-interne : entre les droites, à droite de la sécante, de sommet $L$ : $K L Z$ .

Correspondant : à la même place en $L$ (sous $(W Z)$ , à gauche) : $W L J$ .

Attention — ces noms disent où sont les angles, pas qu’ils sont égaux.

Cas 4 · Calculer un angle avec des parallèles

Réflexe — droites parallèles : alternes-internes et correspondants de même mesure ; puis angles opposés et adjacents.

Exemple. Avec la figure du cas 3, $(U V) / / (W Z)$ et $U K L = 69 °$ . Trouver $K L Z$ , $W L J$ et $L K V$ .

On sait que $(U V) / / (W Z)$ . Or si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes ont la même mesure. Donc $K L Z = U K L = 69 °$ .

De même, avec les angles correspondants : $W L J = 69 °$ .

$L K V$ forme avec $U K L$ l’angle plat $U K V$ : $L K V = 180 ° - 69 ° = 111 °$ .

Attention — sans la donnée « parallèles », on ne peut rien affirmer sur ces angles.

Cas 5 · Démontrer que deux droites sont parallèles

Réflexe — deux angles alternes-internes ou correspondants égaux : parallèles ; différents : pas parallèles.

Exemple. Une sécante coupe $(G H)$ en $M$ et $(S T)$ en $N$ ; les angles alternes-internes $G M N$ et $M N T$ mesurent $87 °$ . Les droites sont-elles parallèles ?

On sait que les angles alternes-internes $G M N$ et $M N T$ ont la même mesure, $87 °$ .

Or si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure, alors elles sont parallèles.

Donc $(G H) / / (S T)$ . Avec $87 °$ et $89 °$ , elles ne le seraient pas.

Attention — deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux : ils ne prouvent rien.

Les pièges

Lire un angle visiblement aigu sur la mauvaise graduation du rapporteur : on trouve $180 °$ moins sa mesure, un angle obtus.
Écrire qu’un angle opposé par le sommet est supplémentaire : il est égal.
Chercher le complémentaire d’un angle obtus : il n’existe pas, et une mesure négative signale l’erreur.
Affirmer que deux angles correspondants sont égaux sans savoir que les droites sont parallèles.
Conclure au parallélisme parce que les droites « ont l’air » parallèles, ou parce que deux angles alternes-internes (ou correspondants) sont supplémentaires : il faut qu’ils soient égaux.
Nommer un angle avec une seule lettre : avec une sécante, quatre angles ont le sommet $E$ .

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À propos de cette page

Cette fiche méthode résume la démarche pour un exercice d’angles : lire un rapporteur, repérer la configuration, choisir entre la propriété des parallèles et sa réciproque, rédiger avec « on sait que, or, donc ». Un exemple corrigé pour chacun des cinq cas, rappels de 6e compris, et six pièges classiques.

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