Fiche de révision : translation et rotation

Rappels de 6e et de 5e (symétrie axiale, symétrie centrale, image et antécédent), translation qui transforme A en B (direction, sens, longueur), reconnaître une translation, lien avec le parallélogramme, construire une image sur quadrillage, dans un repère et au compas, antécédent et enchaînement de deux translations, propriétés conservées et justification, frises et pavages.

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benprofparticulier.frMathématiques · 4ᵉ

Translation : construire et propriétés

Fiche méthode

(Mathématiques 4ᵉ · Espace et géométrie · Transformations)

La démarche pour construire ou utiliser l’image par une translation

1. Je lis la flèche. La translation qui transforme A en B : direction de (AB), sens de A vers B, longueur AB. Sur quadrillage, je compte les carreaux ; dans un repère, je calcule arrivée − départ pour chaque coordonnée.

2. Je reporte le même déplacement à partir de chaque point (ou je construis le parallélogramme ABM′M au compas), puis je relie les images dans le même ordre.

3. Je contrôle et je justifie : même forme, même orientation ; « Or une translation conserve … ».

Le réflexe — translation = glissement sans rotation ni retournement : un seul déplacement, le même pour tous les points.

Cas 1 · Rappels : symétrie axiale et symétrie centrale

Réflexe — axiale : je compte jusqu’à l’axe perpendiculairement et autant de l’autre côté ; centrale : O est le milieu de $[M M']$ .

Exemple 1. Dans un repère d’origine $O$ , symétrique de $H (- 7; 3, 5)$ par rapport à $O$ .

$O$ est le milieu de $[H H']$ : on change le signe des deux coordonnées, $H' (7; - 3, 5)$ .

Exemple 2. $G$ est à $3$ carreaux au-dessus d’un axe horizontal $(d)$ . Où est son symétrique $G'$ ?

Sur la même colonne, à $3$ carreaux au-dessous de $(d)$ : $G G' = 6$ carreaux.

Attention — retournée en miroir = symétrie axiale ; tête en bas sans miroir = symétrie centrale.

Cas 2 · Reconnaître une translation

Réflexe — même orientation et même déplacement pour tous les points : translation ; je pense alors au parallélogramme.

Exemple. La translation qui transforme $U$ en $V$ transforme $W$ en $X$ . Quel quadrilatère est un parallélogramme ?

C’est la forme $A B M' M$ avec $A = U$ , $B = V$ , $M = W$ , $M' = X$ : $U V X W$ est un parallélogramme.

Attention — une figure retournée ou tête en bas n’est pas l’image par une translation.

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Cas 3 · Construire l’image

Réflexe — déplacement = arrivée − départ, reporté à partir de chaque point ; pour un antécédent, je soustrais.

Exemple. La translation transforme $S (1; - 2)$ en $S' (- 3; 2)$ . Image de $T (2, 5; 0)$ et antécédent de $U' (- 6; - 1)$ .

Déplacement : $- 3 - 1 = - 4$ et $2 - (- 2) = 4$ .

$T' (2, 5 - 4; 0 + 4)$ , soit $T' (- 1, 5; 4)$ . $U (- 6 + 4; - 1 - 4)$ , soit $U (- 2; - 5)$ .

Attention — on part de chaque point, jamais de $B$ ; et on ne mélange pas les deux coordonnées.

Cas 4 · Utiliser les propriétés conservées

Réflexe — une mesure de l’image se lit sur la figure de départ ; je justifie par « Or une translation conserve … ».

Exemple. $J' K' L'$ est l’image de $J K L$ par une translation, $J K = 5, 9$ cm. Que dire de $[J' K']$ ?

Une translation conserve les longueurs et transforme une droite en une droite parallèle : $J' K' = 5, 9$ cm et $(J' K') ∥ (J K)$ .

Attention — conserver ne veut pas dire ne pas bouger : seules les mesures restent les mêmes.

Cas 5 · Frises et pavages

Réflexe — du p-ième au n-ième motif, il y a $n - p$ translations.

Exemple. Dans une frise, la translation mesure $3, 5$ cm. De combien le 9e motif est-il décalé par rapport au 2e ?

$9 - 2 = 7$ translations : $7 \times 3, 5 = 24, 5$ cm.

Attention — on mesure la translation de bord gauche à bord gauche, pas l’espace vide entre deux motifs.

Les pièges

Écrire que $A B M M'$ est un parallélogramme : c’est $A B M' M$ (les flèches $A \to B$ et $M \to M'$ sont des côtés opposés).
Reporter le déplacement à partir de $B$ au lieu de le reporter à partir de chaque point de la figure.
Calculer départ − arrivée : la translation qui transforme $A (2; 1)$ en $B (5; - 3)$ déplace de $+ 3$ et $- 4$ , pas de $- 3$ et $+ 4$ .
Prendre une figure retournée ou tête en bas pour l’image par une translation : la translation garde l’orientation.
Dans une frise, compter $n$ translations du 1er au n-ième motif au lieu de $n - 1$ .

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour construire ou utiliser l’image par une translation : lire la flèche, reporter le même déplacement, contrôler et justifier. Un exemple corrigé par cas (symétriques dans un repère, parallélogramme UVXW, image et antécédent par le calcul, longueur conservée, frise) et les pièges classiques.

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