Fiche de révision : théorème de Pythagore

Reprendre les acquis de 5e (triangle rectangle, hypoténuse, carré d’un nombre, inégalité triangulaire) ; énoncer le théorème de Pythagore et le justifier par les aires ; calculer l’hypoténuse ou un côté de l’angle droit (valeur exacte, valeur approchée, unités) ; démontrer qu’un triangle est rectangle ou ne l’est pas avec la réciproque et la contraposée ; utiliser le théorème dans un rectangle, un losange, un triangle isocèle, un pavé droit et des situations concrètes, en rédigeant.

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Théorème de Pythagore : calculer, réciproque

Fiche méthode

(Mathématiques 4ᵉ · Espace et géométrie · Théorème de Pythagore)

La démarche pour utiliser le théorème de Pythagore

1. Je repère le triangle rectangle et son angle droit (codage, énoncé) ; l’hypoténuse est le côté d’en face.

2. Je cite le bon outil : le théorème de Pythagore pour une longueur, sa réciproque ou sa contraposée pour savoir si un triangle est rectangle.

3. J’écris l’égalité avec les lettres, l’hypoténuse seule à gauche, puis je remplace par les valeurs, dans la même unité.

4. Je conclus : racine carrée, arrondi seulement si on le demande, unité ; ou le sommet de l’angle droit.

Le réflexe — hypoténuse inconnue → on additionne les carrés ; côté de l’angle droit inconnu → on soustrait ; trois longueurs → on compare le carré du plus grand côté à la somme des deux autres carrés.

Cas 1 · Repérer l’hypoténuse et écrire l’égalité

Réflexe — l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, le seul dont le nom ne contient pas la lettre de l’angle droit.

Exemple 1. $T U V$ est rectangle en $U$ . Écrire l’égalité de Pythagore.

L’angle droit est en $U$ : l’hypoténuse est $[T V]$ .

$T V^{2} = T U^{2} + U V^{2}$ .

Exemple 2. Calculer $0, 9^{2}$ et $\sqrt{1, 21}$ .

$0, 9^{2} = 0, 9 \times 0, 9 = 0, 81$ .

$1, 1^{2} = 1, 21$ et $1, 1$ est positif, donc $\sqrt{1, 21} = 1, 1$ .

Attention — $T V^{2}$ n’est pas $T V \times 2$ , et $T U^{2} + U V^{2}$ n’est pas $(T U + U V)^{2}$ .

Cas 2 · Calculer l’hypoténuse

Réflexe — j’additionne les carrés des côtés de l’angle droit, puis je prends la racine carrée.

Exemple 1. $X Y Z$ est rectangle en $Y$ , $X Y = 2$ cm et $Y Z = 2, 1$ cm. Calculer $X Z$ .

$X Y Z$ est rectangle en $Y$ , donc d’après le théorème de Pythagore : $X Z^{2} = X Y^{2} + Y Z^{2}$ .

$X Z^{2} = 2^{2} + 2, 1^{2} = 4 + 4, 41 = 8, 41$ , donc $X Z = \sqrt{8, 41} = 2, 9$ cm.

Exemple 2. Les côtés de l’angle droit mesurent $2$ cm et $3$ cm. Hypoténuse au dixième ?

$2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13$ . Valeur exacte : $\sqrt{13}$ cm.

$\sqrt{13} \approx 3, 606$ , soit environ $3, 6$ cm au dixième.

Attention — on n’additionne pas les longueurs : $2 + 2, 1 = 4, 1$ , alors que $X Z = 2, 9$ cm.

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Cas 3 · Calculer un côté de l’angle droit

Réflexe — je soustrais : carré de l’hypoténuse moins carré du côté connu, puis racine carrée.

Exemple. $A B C$ est rectangle en $C$ , $A B = 4, 1$ cm et $A C = 0, 9$ cm. Calculer $B C$ .

L’hypoténuse est $[A B]$ : $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ , donc $B C^{2} = A B^{2} - A C^{2}$ .

$B C^{2} = 16, 81 - 0, 81 = 16$ , donc $B C = \sqrt{16} = 4$ cm.

Attention — le résultat doit être plus court que l’hypoténuse ; sinon, on a additionné au lieu de soustraire.

Cas 4 · Le triangle est-il rectangle ?

Réflexe — d’une part le carré du plus grand côté, d’autre part la somme des deux autres carrés ; égalité → réciproque, sinon → contraposée.

Exemple 1. $M N O$ : $M N = 1, 6$ cm, $N O = 3$ cm, $M O = 3, 4$ cm.

D’une part $M O^{2} = 11, 56$ ; d’autre part $M N^{2} + N O^{2} = 2, 56 + 9 = 11, 56$ .

Égalité : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $M N O$ est rectangle en $N$ .

Exemple 2. $R S T$ : $R S = 4$ cm, $S T = 5$ cm, $R T = 6, 5$ cm.

D’une part $R T^{2} = 42, 25$ ; d’autre part $R S^{2} + S T^{2} = 16 + 25 = 41$ .

$42, 25 \neq 41$ : d’après la contraposée, $R S T$ n’est pas rectangle.

Attention — on calcule les deux membres séparément avant de conclure ; une égalité « presque vraie » ne suffit pas.

Cas 5 · Pythagore dans une figure

Réflexe — je cherche le triangle rectangle caché : diagonale d’un rectangle, demi-diagonales d’un losange, demi-base d’un triangle isocèle.

Exemple. Diagonale d’un rectangle de $2, 4$ cm sur $3, 2$ cm.

Deux côtés consécutifs et la diagonale forment un triangle rectangle.

$d^{2} = 2, 4^{2} + 3, 2^{2} = 5, 76 + 10, 24 = 16$ , donc $d = 4$ cm.

Attention — losange → demi-diagonales ; triangle isocèle → demi-base.

Les pièges

Prendre le mauvais côté pour hypoténuse : si $A B C$ est rectangle en $B$ , l’hypoténuse est $[A C]$ , pas $[B C]$ .
Additionner les longueurs au lieu des carrés : avec $5$ cm et $7$ cm, l’hypoténuse n’est pas $12$ cm mais $\sqrt{74} \approx 8, 6$ cm.
Additionner au lieu de soustraire pour un côté de l’angle droit : le résultat dépasse alors l’hypoténuse.
Conclure « rectangle » parce que les deux nombres sont proches ( $50, 41$ et $50$ ) : l’égalité doit être exacte.
Mélanger les unités : $1, 2$ m et $90$ cm se calculent en $120$ cm et $90$ cm.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche en quatre étapes pour utiliser le théorème de Pythagore : repérer l’angle droit et l’hypoténuse, choisir entre le théorème, sa réciproque et sa contraposée, écrire l’égalité, conclure. Un exemple corrigé par cas et les pièges classiques, comme l’addition des longueurs au lieu des carrés.

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