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Grandeurs composées : vitesse, débit, masse volumique
Rappels de 5e (vitesse moyenne, distance, durée, heures décimales et horaires), vitesse moyenne d’un trajet en plusieurs étapes, conversions entre km/h et m/s, grandeurs quotients (débit, masse volumique) et leurs conversions (m³/s et L/min, g/cm³ et kg/m³), grandeurs produits (énergie en kWh, voyageurs-kilomètres) ; problèmes.
À propos de cette page
Rappels de 5ᵉ : vitesse moyenne, distance, durée
Ce que tu as vu en 5ᵉ sur la vitesse moyenne est la base du chapitre : on le reprend ici en entier, avec en plus les durées qui ne tombent pas juste et les horaires. Les nouveautés de 4ᵉ sont les trajets en plusieurs étapes (partie 2), les conversions d’unités composées (parties 3 et 4) et les grandeurs produits (partie 5).
• vitesse moyenne = distance ÷ durée : v = d ÷ t ;
• distance = vitesse × durée : d = v × t ;
• durée = distance ÷ vitesse : t = d ÷ v.
La vitesse est une grandeur quotient : le quotient d’une distance par une durée. Son unité est une unité composée, qui garde la trace de ce quotient : km/h (« kilomètres par heure ») quand la distance est en km et la durée en h, m/s (« mètres par seconde ») quand la distance est en m et la durée en s ; on rencontre aussi des km/min ou des m/min.
Écrire une durée en heures
1 h = 60 min et 1 min = 60 s. Pour passer des minutes aux heures, on divise par 60 ; des heures aux minutes, on multiplie par 60. Une durée en heures décimales se lit en séparant la partie entière : 2,4 h = 2 h + 0,4 × 60 min = 2 h 24 min.
| Durée (min) | 6 | 15 | 20 | 36 | 45 |
|---|---|---|---|---|---|
| Durée (h) | 0,1 | 0,25 | 1/3 | 0,6 | 0,75 |
20 min = 20/60 h = 1/3 h : ce n’est pas un nombre décimal, on calcule avec la fraction (0,33 h n’en est qu’une valeur approchée).
Vitesse. Un car parcourt 171 km en 2 h 15 min. 2 h 15 min = 2,25 h, donc v = 171 ÷ 2,25 = 76 km/h. Contrôle : 76 × 2,25 = 171.
Distance, durée qui ne tombe pas juste. Un scooter roule 40 min à 51 km/h. 40 min = 40/60 h = 2/3 h, donc d = 51 × 2/3 = 34 km. Autre méthode : à 51 km/h, il fait 17 km en 20 min, donc 34 km en 40 min.
Durée. Un camion roule à 56 km/h de moyenne. Pour 98 km : t = 98 ÷ 56 = 1,75 h = 1 h 45 min (0,75 × 60 = 45).
Heure d’arrivée. Une voiture part à 14 h 50 et parcourt 207 km à 92 km/h de moyenne : t = 207 ÷ 92 = 2,25 h = 2 h 15 min. Elle arrive à 14 h 50 + 2 h 15 min = 17 h 05.
En m/s. Une nageuse parcourt 100 m en 1 min 20 s, c’est-à-dire 80 s : v = 100 ÷ 80 = 1,25 m/s.
Réflexe — j’écris la durée dans l’unité de la vitesse (heures pour des km/h, secondes pour des m/s), en nombre décimal ou en fraction, puis je choisis la formule : v = d ÷ t, d = v × t ou t = d ÷ v.
Attention — 2 h 24 min = 2,4 h, et non 2,24 h ; dans l’autre sens, 2,4 h n’est pas 2 h 40 min. 1 h 20 min = 4/3 h, et non 1,2 h. Et la vitesse moyenne n’est pas la vitesse à chaque instant : un car à 76 km/h de moyenne a pu rouler à 110 km/h sur l’autoroute.
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Vitesse moyenne d’un trajet en plusieurs étapes
vitesse moyenne = distance totale ÷ durée totale.
On calcule la durée de chaque étape (t = d ÷ v), on additionne ces durées, puis on divise la distance totale par la durée totale.
En général, ce n’est pas la moyenne des vitesses des étapes : l’étape la plus lente dure plus longtemps, elle compte davantage. Une exception : si les étapes ont toutes la même durée, la moyenne des vitesses donne le bon résultat.
Quand on demande la vitesse moyenne « pause comprise », la durée des pauses s’ajoute à la durée totale.
Monter et descendre un col. Une cycliste monte un col de 18 km à 12 km/h, puis redescend les mêmes 18 km à 36 km/h. Montée : 18 ÷ 12 = 1,5 h ; descente : 18 ÷ 36 = 0,5 h. En tout, 36 km en 2 h : v = 36 ÷ 2 = 18 km/h, et non (12 + 36) ÷ 2 = 24 km/h.
Avec une pause. Un randonneur marche 6 km en 1 h 20 min, fait une pause de 20 min, puis marche encore 6 km en 1 h 40 min. Durée totale : 3 h 20 min = 10/3 h (20 min = 1/3 h). Pause comprise : v = 12 ÷ (10/3) = 12 × 3/10 = 3,6 km/h (diviser par 10/3, c’est multiplier par son inverse 3/10). Sans la pause, il a marché 3 h : 12 ÷ 3 = 4 km/h.
Étapes de même durée. Une voiture roule 1 h à 100 km/h, puis 1 h à 60 km/h : 160 km en 2 h, soit 80 km/h, qui est bien la moyenne de 100 et 60.
Trouver la vitesse d’une étape
On part de la durée totale permise : durée totale = distance totale ÷ vitesse moyenne voulue. On retire la durée des étapes déjà connues : il reste la durée de l’étape cherchée.
Un aller-retour de 2 × 15 km doit se faire à 20 km/h de moyenne. L’aller, à 15 km/h, a duré 15 ÷ 15 = 1 h. Durée totale permise : 30 ÷ 20 = 1,5 h. Il reste 0,5 h pour les 15 km du retour : 15 ÷ 0,5 = 30 km/h. Si l’aller avait déjà pris 1,5 h, aucune vitesse au retour ne suffirait.
Réflexe — je fais un tableau étape par étape (distance, vitesse, durée), je complète les durées, puis je divise la distance totale par la durée totale.
Attention — je ne fais pas la moyenne des vitesses, sauf si les étapes ont la même durée. Et j’additionne des durées écrites dans la même unité (tout en minutes ou tout en heures).
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Convertir une vitesse : km/h et m/s
• 1 m/s, c’est 1 m chaque seconde, donc 3 600 m en une heure : 1 m/s = 3,6 km/h ;
• 1 km/h, c’est 1 000 m en 3 600 s : 1 km/h = 1 000/3 600 m/s = 1/3,6 m/s.
Donc : de m/s à km/h, on multiplie par 3,6 ; de km/h à m/s, on divise par 3,6. Une même vitesse s’écrit avec un nombre plus grand en km/h qu’en m/s.
Autres unités : 1 km/min = 60 km/h (il y a 60 min dans une heure) ; de m/min à m/s, on divise par 60.
126 km/h = 126 ÷ 3,6 = 35 m/s. Contrôle : 35 × 3,6 = 126.
14 m/s = 14 × 3,6 = 50,4 km/h.
50 km/h = 50 ÷ 3,6 = 13,888… m/s ≈ 13,9 m/s : le quotient ne tombe pas juste, on arrondit.
2,2 km/min = 2,2 × 60 = 132 km/h.
660 m/min = 660 ÷ 60 = 11 m/s, soit 11 × 3,6 = 39,6 km/h.
Comparer deux vitesses
On les écrit dans la même unité. Qui va le plus vite, à 20 m/s ou à 70 km/h ? 20 × 3,6 = 72 km/h et 72 > 70 : c’est 20 m/s.
Réflexe — je remplace chaque unité par sa valeur (1 km = 1 000 m, 1 h = 3 600 s) ; pour km/h et m/s, je contrôle que le nombre en km/h est le plus grand.
Attention — on ne divise ni par 3 600 seul, ni par 1 000 seul : il faut faire les deux conversions à la fois, et 3 600 ÷ 1 000 = 3,6. Multiplier par 3,6 pour passer des km/h aux m/s est l’erreur la plus fréquente.
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Débit, masse volumique : d’autres grandeurs quotients
• Débit = volume écoulé ÷ durée : D = V ÷ t, en L/min, L/s, m³/h, m³/s… ; donc V = D × t et t = V ÷ D.
• Masse volumique = masse ÷ volume : ρ = m ÷ V (ρ est la lettre grecque « rhô »), en g/cm³, kg/L, kg/m³… ; donc m = ρ × V et V = m ÷ ρ.
• D’autres grandeurs quotients : le prix au kilogramme (€/kg), la densité de population (habitants/km²), la consommation d’une voiture (L/100 km).
Pour convertir : 1 m³ = 1 000 L ; 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ ; 1 min = 60 s ; 1 h = 3 600 s.
Débit. Une pompe vide 3 600 L en 45 min : D = 3 600 ÷ 45 = 80 L/min. Pour vider un bassin de 48 m³ = 48 000 L : t = 48 000 ÷ 80 = 600 min = 10 h.
Masse volumique. Un bloc d’aluminium de 250 cm³ a une masse de 675 g : ρ = 675 ÷ 250 = 2,7 g/cm³ (chaque cm³ pèse 2,7 g). L’eau a une masse volumique d’environ 1 g/cm³ : 1 L d’eau pèse environ 1 kg.
Densité de population. Une commune de 12 km² compte 8 400 habitants : 8 400 ÷ 12 = 700 habitants/km².
Convertir un débit ou une masse volumique
0,5 m³/s = 500 L/s (car 1 m³ = 1 000 L) ; en 1 min = 60 s, cela fait 500 × 60 = 30 000 L. Donc 0,5 m³/s = 30 000 L/min.
4 500 L/min : en 1 s, 4 500 ÷ 60 = 75 L = 0,075 m³. Donc 4 500 L/min = 0,075 m³/s.
1 m³ = 1 000 000 cm³ ; à 1 g par cm³, il pèse 1 000 000 g = 1 000 kg. Donc 1 g/cm³ = 1 000 kg/m³, et 2,7 g/cm³ = 2 700 kg/m³. De même, 1 L = 1 000 cm³ pèse 1 000 g : 1 g/cm³ = 1 kg/L.
Réflexe — l’unité dit le calcul : des L/min, ce sont des litres divisés par des minutes. Pour convertir, je remplace l’unité du haut et celle du bas par leur valeur.
Attention — je divise dans le bon sens : masse ÷ volume, et non volume ÷ masse. Pour passer des m³/s aux L/min, on multiplie par 1 000 puis par 60 (on ne divise pas par 60) : 1 m³/s = 60 000 L/min.
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Grandeurs produits : énergie en kWh, voyageurs-kilomètres
• Énergie électrique = puissance × durée : E = P × t. Un appareil de 1 kW (1 000 W) qui fonctionne 1 h consomme 1 kWh (kilowattheure). Avec P en W et t en h, E est en Wh (wattheures) ; 1 kWh = 1 000 Wh. On en déduit t = E ÷ P et P = E ÷ t.
• Voyageur-kilomètre (voy-km) = nombre de voyageurs × distance parcourue : 1 voy-km, c’est un voyageur transporté sur 1 km. Les statistiques des transports s’en servent pour comparer le train, le car ou l’avion.
Énergie. Un radiateur de 1 500 W = 1,5 kW reste allumé 6 h : E = 1,5 × 6 = 9 kWh. À 0,20 € le kWh, cela coûte 9 × 0,20 = 1,80 €.
En Wh. Une lampe de 60 W allumée 30 min = 0,5 h : E = 60 × 0,5 = 30 Wh = 0,03 kWh.
Durée. Un appareil de 2 kW a consommé 5 kWh : t = 5 ÷ 2 = 2,5 h = 2 h 30 min.
Voyageurs-kilomètres. Un car transporte 42 voyageurs sur 35 km : 42 × 35 = 1 470 voy-km. Un minibus de 14 voyageurs sur 105 km donne autant : 14 × 105 = 1 470 voy-km.
Réflexe — j’écris la puissance en kW et la durée en heures pour obtenir des kWh ; une grandeur produit se calcule par une multiplication.
Attention — le kWh mesure une énergie et le kW une puissance : on n’écrit pas « kW/h » pour une énergie, car un kWh est un produit (kW × h), pas un quotient. Et 45 min = 0,75 h, pas 0,45 h.
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Pour aller plus loin
Proportionnalité — à vitesse constante, la distance est proportionnelle à la durée, de coefficient la vitesse ; de même, le volume écoulé est proportionnel à la durée (coefficient : le débit) et le prix à l’énergie consommée (coefficient : le prix du kWh). Tableaux, produit en croix et graphiques : voir Proportionnalité : quatrième proportionnelle et graphique.
Volumes — les unités de volume et de contenance (1 L = 1 dm³, 1 m³ = 1 000 L) et le volume des solides : voir Volumes : pyramide et cône.
- Vitesse moyenne = distance ÷ durée ; d = v × t et t = d ÷ v, la durée écrite dans l’unité de la vitesse (2 h 24 min = 2,4 h ; 20 min = 1/3 h).
- Trajet en plusieurs étapes : distance totale ÷ durée totale, jamais la moyenne des vitesses (sauf si les étapes ont la même durée).
- De m/s à km/h : × 3,6 ; de km/h à m/s : ÷ 3,6, car 1 m/s = 3 600 m en une heure = 3,6 km/h.
- Une grandeur quotient (vitesse, débit, masse volumique) a une unité composée « … / … » ; pour la convertir, on convertit le haut et le bas : 1 m³/s = 60 000 L/min ; 1 g/cm³ = 1 000 kg/m³.
- Une grandeur produit (aire, énergie, voyageurs-kilomètres) se calcule par une multiplication : E = P × t, et 1 kW pendant 1 h donne 1 kWh.
Questions fréquentes
Comment calculer une vitesse moyenne ?
On divise la distance par la durée, la durée étant écrite dans l’unité de la vitesse : 120 km en 1 h 36 min, c’est 120 ÷ 1,6 = 75 km/h, car 36 min = 0,6 h. On en déduit la distance d = v × t et la durée t = d ÷ v. Attention : 1 h 36 min s’écrit 1,6 h et non 1,36 h.
Pourquoi la vitesse moyenne d’un aller-retour n’est-elle pas la moyenne des deux vitesses ?
Parce que l’étape la plus lente dure plus longtemps et compte davantage. Un aller de 24 km à 12 km/h dure 2 h, le retour à 24 km/h dure 1 h : 48 km en 3 h, soit 16 km/h, et non 18 km/h. On divise toujours la distance totale par la durée totale.
Comment convertir des km/h en m/s ?
On divise par 3,6, car 1 m/s = 3 600 m parcourus en une heure = 3,6 km/h. Ainsi 63 km/h = 63 ÷ 3,6 = 17,5 m/s, et dans l’autre sens 17,5 × 3,6 = 63 km/h. Le nombre en km/h est toujours le plus grand.
Qu’est-ce qu’une grandeur quotient ?
C’est une grandeur obtenue en divisant une grandeur par une autre : la vitesse (km/h), le débit (L/min), la masse volumique (g/cm³), le prix au kilogramme (€/kg). Son unité dit le calcul : 6 L/min, ce sont 6 litres qui s’écoulent chaque minute. Pour la convertir, on convertit le haut et le bas : 1 m³/s = 1 000 L/s = 60 000 L/min.
Qu’est-ce qu’un kWh ?
Le kilowattheure est une unité d’énergie, et l’énergie est une grandeur produit : énergie = puissance × durée. Un appareil de 1 kW qui fonctionne 1 h consomme 1 kWh ; un sèche-linge de 2,5 kW utilisé 1 h 24 min (1,4 h) consomme 2,5 × 1,4 = 3,5 kWh. Le kW mesure une puissance, le kWh une énergie.
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