Fiche de révision : puissances et racines carrées

Rappels de 5e (carré, cube, carrés parfaits, priorités), puissance aⁿ d’un nombre (base, exposant, a¹ et a⁰), signe d’une puissance d’un nombre négatif, produits et quotients de puissances d’un même nombre, puissances de 10 d’exposant positif ou négatif et écriture décimale, multiplier par 10ⁿ, préfixes de nano à giga.

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Puissances : exposant positif et puissances de 10

Fiche méthode

(Mathématiques 4ᵉ · Nombres et calculs · Puissances)

La démarche pour tout calcul avec des puissances

1. Je reviens à la définition. $a^{n}$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ ; $a^{1} = a$ et $a^{0} = 1$ .

2. Je regarde la base et le signe. Y a-t-il des parenthèses ? L’exposant est-il pair ou impair ? Est-ce la même base partout ?

3. Je calcule dans l’ordre : parenthèses, puissances, $\times$ et $\div$ , $+$ et $-$ ; pour une même base, je compte les facteurs ; pour $10^{n}$ , je compte les zéros ou les rangs.

4. Je contrôle : le signe, le nombre de chiffres après la virgule, l’unité.

Le réflexe — l’exposant compte des facteurs : il ne multiplie jamais la base, et un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.

Cas 1 · Rappels de 5e : carré, cube et priorités

Réflexe — parenthèses, puis puissances, puis $\times$ et $\div$ , puis $+$ et $-$ ; l’exposant ne porte que sur ce qu’il touche.

Exemple. Calculer $C = 2 \times (7 - 4)^{2} + 3^{3}$ .

$C = 2 \times 3^{2} + 3^{3}$ (parenthèse)

$C = 2 \times 9 + 27$ (puissances)

$C = 18 + 27 = 45$

Attention — le carré d’une somme n’est pas la somme des carrés, et $0, 5^{2} = 0, 25$ est plus petit que $0, 5$ .

Cas 2 · Puissance d’un nombre : aⁿ, a¹ et a⁰

Réflexe — je compte les facteurs égaux ; base négative entre parenthèses : exposant pair → positif, impair → négatif.

Exemple. Écrire $0, 3 \times 0, 3 \times 0, 3 \times 0, 3$ sous forme de puissance ; calculer $(- 0, 1)^{3}$ et $(- 0, 1)^{4}$ .

Quatre facteurs égaux à $0, 3$ : $0, 3^{4}$ .

$(- 0, 1)^{3} = - 0, 001$ (exposant impair) et $(- 0, 1)^{4} = 0, 0001$ (exposant pair).

Attention — $- 20^{2} = - 400$ : sans parenthèses, le signe moins reste devant ; seul $(- 20)^{2}$ vaut $400$ .

Cas 3 · Produits et quotients de puissances d’un même nombre

Réflexe — même base : produit → j’ajoute les nombres de facteurs ; quotient → je simplifie ; puissance d’une puissance → je multiplie.

Exemple. Écrire $\frac{6^{3} \times 6^{5}}{6^{4}}$ sous la forme d’une puissance de $6$ .

Au numérateur : $3 + 5 = 8$ facteurs, soit $6^{8}$ .

On simplifie $4$ facteurs : $\frac{6^{8}}{6^{4}} = 6^{4} = 1 296$ .

Attention — une somme ne se regroupe pas : $5^{2} + 5^{3} = 25 + 125 = 150$ , ce n’est pas $5^{5}$ .

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Cas 4 · Puissances de 10 : exposant positif ou négatif

Réflexe — exposant positif → le 1 suivi de $n$ zéros ; exposant négatif → $n$ chiffres après la virgule, le dernier étant le 1.

Exemple. Écrire $10^{- 6}$ en écriture décimale et $10 000 000 000$ sous forme de puissance de $10$ .

$10^{- 6} = 0, 000 001$ ( $6$ chiffres après la virgule).

$10 000 000 000$ : le 1 est suivi de $10$ zéros, c’est $10^{10}$ .

Attention — $10^{- 2} = 0, 01$ , un nombre positif : ni $- 100$ , ni $- 20$ .

Cas 5 · Calculer avec les puissances de 10

Réflexe — multiplier par $10^{n}$ : la virgule se décale de $n$ rangs, vers la droite si $n > 0$ , vers la gauche si $n < 0$ .

Exemple. Calculer $0, 57 \times 10^{4}$ et $83 \times 10^{- 5}$ , puis $\frac{10^{8} \times 10^{- 5}}{10^{4}}$ .

$0, 57 \times 10^{4} = 5 700$ et $83 \times 10^{- 5} = 0, 000 83$ .

$10^{8} \times 10^{- 5} = 10^{3}$ ( $8 - 5 = 3$ ), puis $\frac{10^{3}}{10^{4}} = 10^{- 1} = 0, 1$ ( $3 - 4 = - 1$ ).

Attention — $10^{3} \times 10^{2} = 10^{5}$ , pas $10^{6}$ : on compte les zéros, on ne multiplie pas les exposants.

Cas 6 · Les préfixes de nano à giga

Réflexe — je remplace le préfixe par sa puissance de $10$ (G $10^{9}$ , M $10^{6}$ , k $10^{3}$ , m $10^{- 3}$ , µ $10^{- 6}$ , n $10^{- 9}$ ), puis je décale la virgule.

Exemple. Convertir $48$ µm en m et $0, 6$ GW en W.

$48$ µm $= 48 \times 10^{- 6}$ m $= 0, 000 048$ m.

$0, 6$ GW $= 0, 6 \times 10^{9}$ W $= 600 000 000$ W.

Attention — m (milli) et M (méga) ne se confondent pas ; micro vaut $10^{- 6}$ .

Les pièges

$6^{2} = 12$ : faux, $6^{2} = 6 \times 6 = 36$ ; l’exposant compte les facteurs.
$- 13^{2} = 169$ : faux, $- 13^{2} = - 169$ ; seul $(- 13)^{2}$ vaut $169$ .
$3^{4} \times 3^{2} = 3^{8}$ ou $9^{6}$ : faux, c’est $3^{6}$ ( $4 + 2 = 6$ facteurs égaux à $3$ ).
$10^{- 2} = - 100$ : faux, $10^{- 2} = 0, 01$ .
$4^{0} = 0$ : faux, $4^{0} = 1$ .

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour tout calcul avec des puissances : revenir à la définition, regarder la base et le signe, calculer dans le bon ordre, contrôler. Un exemple corrigé par cas, de (−0,1)³ aux conversions en micromètres et gigawatts, et les pièges classiques comme −13² ou 10⁻².

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