Fiche de révision : les probabilités

Rappels de 5e (issues, événements, probabilité entre 0 et 1, équiprobabilité, tableau à double entrée), propriétés des probabilités (somme des probabilités des issues égale à 1), événement contraire et sa probabilité, événements « A et B », « A ou B » et événements incompatibles, issues non équiprobables (tableau de probabilités, roue à secteurs inégaux), fréquence et probabilité : fluctuation, stabilisation sur un grand nombre d’essais, estimation d’une probabilité.

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Probabilités : événement contraire et issues non équiprobables

Fiche méthode

(Mathématiques 4ᵉ · Organisation et gestion de données · Probabilités)

La démarche pour calculer une probabilité

1. Je liste les issues (ou je fais le tableau à double entrée) et je me demande si elles ont toutes la même chance.

2. Je choisis l’outil. Même chance : favorables ÷ total. Chances différentes : le tableau des probabilités. « Ne pas » ou trop d’issues : le contraire, $1 - P (A)$ . « $A$ ou $B$ » : incompatibles, j’additionne ; sinon, je compte les issues.

3. Je contrôle : le résultat est entre $0$ et $1$ ; je simplifie, et j’écris en décimal ou en pourcentage si on le demande.

Le réflexe — tout part de la liste des issues : je cherche d’abord si elles ont la même chance, puis je choisis la règle.

Cas 1 · Rappels de 5ᵉ : équiprobabilité

Réflexe — même chance pour toutes les issues : $P (A) = \frac{issues favorables}{nombre total d’issues}$ , puis je simplifie.

Exemple 1. Un sac contient $24$ jetons numérotés de $1$ à $24$ . Probabilité de tirer un multiple de $5$ ?

Issues favorables : $5$ , $10$ , $15$ , $20$ , soit $4$ sur $24$ .

$P = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$ .

Exemple 2. On lance une pièce, puis on fait tourner une roue à $4$ secteurs égaux numérotés de $1$ à $4$ . Probabilité de « pile et un nombre au moins égal à $3$ » ?

Tableau : $2$ lignes (P, F) et $4$ colonnes, soit $8$ cases de même chance. Cases favorables : P3 et P4.

$P = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ .

Attention — le dénominateur est le nombre total d’issues ; dans un tableau, P3 et F3 sont deux cases différentes.

Cas 2 · Événement contraire

Réflexe — « ne pas », « aucun » ou trop d’issues à compter : $P (\overset{―}{A}) = 1 - P (A)$ .

Exemple 1. Une loterie compte $60$ billets, dont $9$ gagnants. Probabilité de perdre ?

« Perdre » est le contraire de « gagner » : $P (perdre) = 1 - \frac{9}{60} = \frac{51}{60} = \frac{17}{20} = 0, 85$ .

Exemple 2. Roue à $12$ secteurs égaux numérotés de $1$ à $12$ : contraire de « obtenir au plus $9$ », et probabilité de « obtenir au plus $9$ » ?

Le contraire est « obtenir au moins $10$ » : $10$ , $11$ , $12$ , soit $\frac{3}{12}$ .

$P (au plus 9) = 1 - \frac{3}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ .

Attention — le contraire de « au plus $9$ » est « au moins $10$ », pas « au moins $9$ ».

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Cas 3 · Événements incompatibles

Réflexe — aucune issue commune : j’additionne les probabilités ; sinon, je compte les issues de « $A$ ou $B$ » une seule fois chacune.

Exemple 1. Jetons de $1$ à $30$ . $A$ : « multiple de $10$ », $B$ : « nombre inférieur à $4$ ». Probabilité de « $A$ ou $B$ » ?

$A$ : $10$ , $20$ , $30$ ; $B$ : $1$ , $2$ , $3$ . Aucune issue commune : incompatibles.

$P (A ou B) = \frac{3}{30} + \frac{3}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ .

Exemple 2. Dé à $10$ faces numérotées de $1$ à $10$ : probabilité de « obtenir au moins $7$ ou un nombre pair » ?

Au moins $7$ : $7$ , $8$ , $9$ , $10$ ; pairs : $2$ , $4$ , $6$ , $8$ , $10$ . Le $8$ et le $10$ sont communs : $4 + 5 - 2 = 7$ issues.

$P = \frac{7}{10}$ .

Attention — additionner $\frac{4}{10}$ et $\frac{5}{10}$ compterait deux fois le $8$ et le $10$ .

Cas 4 · Issues non équiprobables

Réflexe — tableau des probabilités : la somme vaut $1$ ; un événement = somme des probabilités de ses issues ; un secteur = angle ÷ $360 °$ .

Exemple 1. Dé truqué : $P (1) = P (2) = P (3) = 0, 1$ , $P (4) = 0, 15$ , $P (5) = 0, 2$ . Calculer $P (6)$ , puis $P (pair)$ .

$P (6) = 1 - (0, 1 + 0, 1 + 0, 1 + 0, 15 + 0, 2) = 1 - 0, 65 = 0, 35$ .

$P (pair) = P (2) + P (4) + P (6) = 0, 1 + 0, 15 + 0, 35 = 0, 6$ .

Exemple 2. Sur une roue, un secteur mesure $72 °$ . Probabilité de tomber dessus ?

$P = \frac{72}{360} = \frac{1}{5} = 0, 2$ .

Attention — six faces ne veulent pas dire $\frac{1}{6}$ chacune quand le dé est truqué.

Cas 5 · Fréquence et probabilité

Réflexe — fréquence = nombre de réalisations ÷ nombre d’essais ; nombre attendu ≈ nombre d’essais × probabilité.

Exemple. Sur $400$ tirs au but, un joueur marque $296$ fois. Fréquence de réussite ? Combien de buts environ sur $50$ tirs ?

$f = \frac{296}{400} = 0, 74$ . On estime la probabilité de marquer à $0, 74$ .

Sur $50$ tirs : $50 \times 0, 74 = 37$ buts environ.

Attention — une fréquence sur peu d’essais n’est qu’une indication, pas la probabilité.

Les pièges

Diviser par les issues défavorables : avec $3$ billets gagnants sur $10$ , $P (gagner) = \frac{3}{10}$ , pas $\frac{3}{7}$ .
Avec un dé, prendre « au plus $2$ » pour le contraire de « au moins $2$ » : ce contraire est « obtenir $1$ ».
Additionner $P (roi)$ et $P (cœur)$ : le roi de cœur serait compté deux fois.
Croire que trois couleurs donnent $\frac{1}{3}$ chacune sur une roue à secteurs inégaux.
Croire qu’après une série de « pile », « face » devient plus probable.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour calculer une probabilité : lister les issues, choisir la bonne règle (formule de l’équiprobabilité, événement contraire, addition d’événements incompatibles, tableau de probabilités), puis contrôler le résultat. Un exemple corrigé par cas et les pièges classiques, comme additionner P(roi) et P(cœur).

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