Fiche de révision : les équations du 1er degré

Reprendre les acquis de 5e (équation, inconnue, membres, solution, tester un nombre, résoudre x + b = c et ax = c) ; transformer une équation en ajoutant, soustrayant, multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre ; résoudre ax + b = c, puis ax + b = cx + d avec des parenthèses ou des quotients ; reconnaître une équation sans solution ou avec une infinité de solutions ; mettre un problème en équation, le résoudre et vérifier.

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Équations : résoudre une équation du premier degré

Fiche méthode

(Mathématiques 4ᵉ · Nombres et calculs · Calcul littéral et équations)

La démarche pour résoudre une équation du premier degré

1. Je réduis chaque membre. Je développe les parenthèses (un signe − devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes) ; avec un quotient, je multiplie d’abord les deux membres par le dénominateur, ou par un multiple commun s’il y en a deux.

2. Je regroupe. Les termes en $x$ d’un côté, les nombres de l’autre, en faisant chaque fois la même opération sur les deux membres.

3. Je divise les deux membres par le coefficient de $x$ , avec son signe.

4. Je vérifie en calculant séparément les deux membres de l’équation de départ.

Le réflexe — chaque transformation se fait sur les deux membres à la fois, et sur tous leurs termes ; une solution se vérifie toujours dans l’équation de départ.

Cas 1 · Rappels de 5e : tester un nombre, x + b = c et ax = c

Réflexe — pour tester, je calcule chaque membre séparément ; pour une seule opération sur $x$ , j’applique l’opération inverse.

Exemple 1. $- 3$ est-il solution de $4 x + 5 = x - 4$ ?

À gauche : $4 \times (- 3) + 5 = - 7$ . À droite : $- 3 - 4 = - 7$ .

Les deux membres sont égaux : $- 3$ est solution.

Exemple 2. Résoudre $x + 9, 4 = 2$ , puis $- 8 x = 6$ .

$x = 2 - 9, 4 = - 7, 4$ .

$x = 6 \div (- 8) = - 0, 75$ . Vérification : $(- 8) \times (- 0, 75) = 6$ .

Attention — un nombre négatif se met entre parenthèses : $4 \times (- 3)$ ; dans $- 8 x = 6$ , on divise par $- 8$ .

Cas 2 · Les règles de transformation : ax + b = c

Réflexe — j’enlève d’abord le nombre seul des deux membres, puis je divise les deux membres par le coefficient de $x$ .

Exemple 1. Résoudre $10 - 4 x = 3$ .

On soustrait $10$ : $- 4 x = 3 - 10 = - 7$ .

On divise par $- 4$ : $x = (- 7) \div (- 4) = 1, 75$ . Vérification : $10 - 4 \times 1, 75 = 3$ .

Exemple 2. Résoudre $\frac{x}{3} + 4 = 1$ .

On soustrait $4$ : $\frac{x}{3} = - 3$ . On multiplie par $3$ : $x = - 9$ .

Attention — dans $10 - 4 x$ , le coefficient de $x$ est $- 4$ ; diviser les deux membres, c’est diviser chacun de leurs termes.

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Cas 3 · Résoudre ax + b = cx + d

Réflexe — je développe, je regroupe les $x$ du côté du plus grand coefficient, puis les nombres de l’autre côté.

Exemple 1. Résoudre $5 (x - 1) = 2 x + 7$ .

$5 x - 5 = 2 x + 7$ ; on soustrait $2 x$ : $3 x - 5 = 7$ ; $3 x = 12$ ; $x = 4$ .

Vérification : $5 \times (4 - 1) = 15$ et $2 \times 4 + 7 = 15$ .

Exemple 2. Combien de solutions a $4 x + 3 = 2 (2 x + 1)$ ?

$4 x + 3 = 4 x + 2$ ; on soustrait $4 x$ : il reste $3 = 2$ , ce qui est faux pour tout $x$ . Aucune solution.

Attention — pour enlever $2 x$ d’un membre, on soustrait $2 x$ aux deux membres ; on ne l’ajoute pas de l’autre côté.

Cas 4 · Mettre un problème en équation

Réflexe — « Soit $x$ … » ; j’écris la même quantité de deux façons ; je résous ; je vérifie dans l’énoncé ; je conclus par une phrase.

Exemple. Un stylo coûte $1, 20$ € de moins qu’un classeur ; $3$ classeurs et $2$ stylos coûtent $13, 10$ €. Prix d’un classeur ?

Soit $x$ le prix d’un classeur, en euros ; un stylo coûte $x - 1, 2$ .

$3 x + 2 (x - 1, 2) = 13, 1$ ; $5 x - 2, 4 = 13, 1$ ; $5 x = 15, 5$ ; $x = 3, 1$ . Un classeur coûte $3, 10$ € et un stylo $1, 90$ €.

Attention — on vérifie dans l’énoncé, pas seulement dans l’équation ; une réponse impossible signale une erreur.

Les pièges

Oublier le signe du coefficient : $9 - 3 x = 0$ donne $- 3 x = - 9$ , donc $x = 3$ (et non $- 3$ ).
Diviser un seul terme : $5 x + 10 = 35$ divisé par $5$ donne $x + 2 = 7$ , pas $x + 10 = 7$ .
Ajouter au lieu de soustraire pour regrouper : $7 x + 1 = 3 x + 9$ devient $4 x + 1 = 9$ , pas $10 x + 1 = 9$ .
Confondre tester et résoudre : $2$ n’est pas solution de $5 x - 1 = 12$ , mais cela ne donne pas la solution, qui est $2, 6$ .
Arrondir une solution exacte : $6 x = 5$ a pour solution $\frac{5}{6}$ , et $0, 83$ n’en est qu’une valeur approchée.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode résume la démarche pour résoudre une équation du premier degré : réduire, regrouper les x, regrouper les nombres, diviser par le coefficient, vérifier. Un exemple corrigé par cas (tester −3, coefficient négatif, quotient, parenthèses, équation sans solution, prix d’un classeur) et les pièges classiques.

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