Fiche de révision : développement et factorisation

Rappels de 5ᵉ (traduire une phrase, écrire et calculer une expression, somme ou produit), distributivité simple k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb avec des nombres relatifs, supprimer des parenthèses précédées d’un signe −, réduire une expression (termes en x², en x et nombres), factoriser par un facteur commun (nombre, lettre ou les deux), identité, contre-exemple et démonstration par le calcul littéral.

Télécharger la fiche PDF

benprofparticulier.frMathématiques · 4ᵉ

Calcul littéral : développer, factoriser, réduire

Fiche méthode

(Mathématiques 4ᵉ · Nombres et calculs · Calcul littéral)

La démarche pour transformer une expression littérale

1. Je repère la nature de l’expression. Un produit (la dernière opération est ×) : je peux le développer. Une somme dont les termes ont un facteur commun : je peux la factoriser.

2. J’écris l’étape intermédiaire, avec les signes. Tous les produits pour développer ; chaque terme écrit $k \times \dots$ pour factoriser ; un signe − devant une parenthèse change chaque signe.

3. Je réduis, puis je vérifie. Je regroupe les termes en $x^{2}$ , en $x$ et les nombres ; je contrôle en remplaçant $x$ par $10$ dans la forme de départ et dans la forme obtenue.

Le réflexe — le signe placé devant un terme ou devant une parenthèse fait partie du terme : on le garde en réduisant, on le distribue en développant.

Cas 1 · Rappels de 5ᵉ : écrire et calculer une expression

Réflexe — je remets les signes × cachés, je remplace la lettre (entre parenthèses si elle est négative) et je respecte les priorités ; la dernière opération donne le nom de l’expression.

Exemple 1. Calculer $2 x^{2} - 3 x$ pour $x = - 4$ .

$(- 4)^{2} = 16$ , donc $2 x^{2}$ vaut $2 \times 16 = 32$ ; et $- 3 x$ vaut $(- 3) \times (- 4) = 12$ .

La valeur est $32 + 12 = 44$ .

Exemple 2. Somme ou produit : $3 (t - 5)$ et $3 t - 5$ ?

$3 (t - 5)$ : on calcule $t - 5$ , puis on multiplie par $3$ : c’est un produit.

$3 t - 5$ : on calcule $3 t$ , puis on soustrait $5$ : c’est une différence.

Attention — pour $x = - 4$ , $x^{2}$ s’écrit $(- 4)^{2} = 16$ ; sans parenthèses, $- 4^{2}$ vaut $- 16$ .

Cas 2 · Développer avec la distributivité simple

Réflexe — le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse, avec son signe ; un signe − devant une parenthèse change le signe de chaque terme.

Exemple 1. Développer $- 6 (2 x - 3)$ et $x (5 - x)$ .

$- 6 (2 x - 3) = (- 6) \times 2 x + (- 6) \times (- 3) = - 12 x + 18$ .

$x (5 - x) = x \times 5 - x \times x = 5 x - x^{2}$ .

Exemple 2. Supprimer les parenthèses dans $9 - (4 x - 1)$ , puis réduire.

$9 - (4 x - 1) = 9 - 4 x + 1 = 10 - 4 x$ .

Attention — $- (4 x - 1) = - 4 x + 1$ : les deux signes changent, pas seulement le premier.

1 / 2

benprofparticulier.frMathématiques · 4ᵉ

Cas 3 · Réduire une expression

Réflexe — je développe d’abord, puis je regroupe les termes en $x^{2}$ , les termes en $x$ et les nombres seuls, chacun avec son signe.

Exemple 1. Réduire $3 x^{2} - 7 x + 1 - 5 x^{2} + 2 x$ .

Termes en $x^{2}$ : $3 x^{2} - 5 x^{2} = - 2 x^{2}$ ; termes en $x$ : $- 7 x + 2 x = - 5 x$ ; nombre : $1$ .

$3 x^{2} - 7 x + 1 - 5 x^{2} + 2 x = - 2 x^{2} - 5 x + 1$ .

Exemple 2. Développer puis réduire $2 (x + 4) - 3 (x - 2)$ .

$2 (x + 4) - 3 (x - 2) = 2 x + 8 - 3 x + 6 = - x + 14$ .

Attention — $- x$ a pour coefficient $- 1$ , et $x^{2} + 2 x$ est déjà réduite.

Cas 4 · Factoriser par un facteur commun

Réflexe — je cherche le plus grand nombre qui divise tous les coefficients, puis la lettre commune ; je vérifie en redéveloppant.

Exemple. Factoriser au maximum $16 x - 24$ et $7 x^{2} + 21 x$ .

$16 x - 24 = 8 \times 2 x - 8 \times 3 = 8 (2 x - 3)$ .

$7 x^{2} + 21 x = 7 x \times x + 7 x \times 3 = 7 x (x + 3)$ .

Attention — chaque terme est divisé par le facteur commun ; un terme égal au facteur commun laisse $1$ dans la parenthèse.

Cas 5 · Tester une égalité, démontrer une identité

Réflexe — un contre-exemple prouve qu’une égalité est fausse ; pour une identité, je transforme un membre jusqu’à obtenir l’autre.

Exemple 1. $(2 x)^{2} = 2 x^{2}$ est-elle une identité ?

Pour $x = 1$ : à gauche $2^{2} = 4$ , à droite $2 \times 1 = 2$ . $4 \neq 2$ : $x = 1$ est un contre-exemple, ce n’est pas une identité.

Exemple 2. Montrer que $3 (x + 4) - 2 (x + 6) = x$ pour tout $x$ .

$3 (x + 4) - 2 (x + 6) = 3 x + 12 - 2 x - 12 = x$ : on obtient le membre de droite, c’est une identité.

Attention — une égalité vraie pour une ou plusieurs valeurs n’est pas forcément une identité.

Les pièges

Oublier le second terme : $5 (y + 6) = 5 y + 30$ , pas $5 y + 6$ .
Ne changer qu’un signe : $- (x - 9) = - x + 9$ , pas $- x - 9$ .
Regrouper des termes non semblables : $4 x + 3$ ne vaut pas $7 x$ , et $x^{2} + 2 x$ ne vaut pas $3 x^{2}$ .
Factoriser sans tout diviser : $10 x + 15 = 5 (2 x + 3)$ , pas $5 (2 x + 15)$ .
Conclure d’un seul essai : une égalité vraie pour $x = 1$ n’est pas forcément une identité.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

2 / 2

À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour transformer une expression : repérer sa nature, écrire l’étape intermédiaire avec les signes, réduire puis contrôler avec x = 10. Un exemple corrigé par cas, comme −6(2x − 3) ou 7x² + 21x, et cinq pièges à éviter, dont −(x − 9).

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs