Fiche de révision : le cosinus dans le triangle rectangle

Rappels sur le triangle rectangle (hypoténuse, angles aigus de somme 90°), côté adjacent et côté opposé à un angle aigu, définition du cosinus (adjacent ÷ hypoténuse) et ses propriétés (il ne dépend que de l’angle, il est compris entre 0 et 1), calcul d’une longueur, calcul d’un angle avec la touche cos⁻¹ ou une table, choix entre cosinus et théorème de Pythagore.

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Cosinus : dans le triangle rectangle

Fiche méthode

(Mathématiques 4ᵉ · Espace et géométrie · Triangle rectangle)

La démarche dans un triangle rectangle

1. Je repère. L’angle droit (l’hypoténuse est en face), puis l’angle aigu utilisé : côté adjacent (il touche son sommet) et côté opposé (en face).

2. Je choisis l’outil. Trois longueurs : Pythagore. Un angle et une longueur, ou un angle cherché : cosinus = adjacent ÷ hypoténuse.

3. Je rédige. « Dans le triangle … rectangle en … », le cosinus avec les lettres, les valeurs, la longueur ou l’angle isolé, puis le résultat arrondi avec l’unité.

Le réflexe — cosinus = adjacent ÷ hypoténuse ; on multiplie pour l’adjacent, on divise pour l’hypoténuse, on prend cos⁻¹ pour l’angle ; calculatrice en degrés.

Cas 1 · Nommer les côtés

Réflexe — l’hypoténuse est en face de l’angle droit ; le côté adjacent touche le sommet de l’angle, le côté opposé est en face.

Exemple 1. $H I J$ est rectangle en $I$ . Nommer les côtés pour l’angle $I H J$ .

Hypoténuse : $[H J]$ (elle ne contient pas la lettre $I$ ). Côté adjacent : $[H I]$ (il contient $H$ et $I$ ). Côté opposé : $[I J]$ (il ne contient pas $H$ ).

Exemple 2. $H I J$ est rectangle en $I$ et $I H J = 64 °$ . Calculer $I J H$ .

Les deux angles aigus ont pour somme $90 °$ : $I J H = 90 ° - 64 ° = 26 °$ .

Attention — l’hypoténuse touche le sommet de l’angle aigu, mais ce n’est pas le côté adjacent.

Cas 2 · Écrire et calculer un cosinus

Réflexe — CAH : $\cos = \frac{adjacent}{hypoténuse}$ , avec les lettres d’abord, puis les longueurs dans la même unité.

Exemple. $K L M$ est rectangle en $L$ , $K L = 1, 9$ cm et $K M = 2, 5$ cm. Calculer $\cos (L K M)$ .

Adjacent à $L K M$ : $[K L]$ ; hypoténuse : $[K M]$ .

$\cos (L K M) = \frac{K L}{K M} = \frac{1, 9}{2, 5} = 0, 76$ .

Attention — un cosinus est toujours entre $0$ et $1$ : si je trouve plus que $1$ , j’ai inversé les côtés.

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Cas 3 · Calculer une longueur

Réflexe — longueur cherchée en haut du quotient : je multiplie ; en bas : je divise.

Exemple 1. $R S T$ est rectangle en $S$ , $S R T = 48 °$ et $R T = 6, 2$ cm. Calculer $R S$ .

$\cos (S R T) = \frac{R S}{R T}$ , donc $\cos (48 °) = \frac{R S}{6, 2}$ et $R S = 6, 2 \times \cos (48 °) \approx 4, 15$ cm.

Exemple 2. $R S T$ est rectangle en $S$ , $S R T = 21 °$ et $R S = 5, 5$ cm. Calculer $R T$ .

$\cos (21 °) = \frac{5, 5}{R T}$ , donc $R T = \frac{5, 5}{\cos (21 °)} \approx 5, 89$ cm.

Attention — pour l’hypoténuse, on divise : le résultat doit être plus long que le côté adjacent.

Cas 4 · Calculer un angle

Réflexe — je calcule le quotient adjacent ÷ hypoténuse, puis $\cos^{- 1}$ de ce quotient, et j’arrondis l’angle à la fin.

Exemple. Un triangle rectangle : côté adjacent $3$ cm, hypoténuse $7$ cm. Calculer l’angle, puis l’autre angle aigu.

$\cos (angle) = \frac{3}{7}$ , donc angle $= \cos^{- 1} (\frac{3}{7}) \approx 64, 6 °$ .

L’autre angle aigu : $90 ° - 64, 6 ° = 25, 4 °$ .

Attention — c’est la touche $\cos^{- 1}$ , pas la touche cos ; et on n’arrondit pas le quotient avant.

Cas 5 · Choisir l’outil, changer d’angle

Réflexe — deux longueurs pour une troisième : Pythagore ; si la longueur donnée est le côté opposé, je passe à l’autre angle aigu ( $90 °$ − angle).

Exemple. $X Y Z$ est rectangle en $X$ , $X Y Z = 34 °$ et $X Z = 3, 5$ cm. Calculer $Y Z$ .

$[X Z]$ est opposé à $X Y Z$ : je change d’angle. $X Z Y = 90 ° - 34 ° = 56 °$ et $[X Z]$ est adjacent à $X Z Y$ .

$\cos (56 °) = \frac{3, 5}{Y Z}$ , donc $Y Z = \frac{3, 5}{\cos (56 °)} \approx 6, 26$ cm.

Attention — le cosinus n’utilise jamais le côté opposé.

Les pièges

Prendre l’hypoténuse pour le côté adjacent : le côté adjacent est un côté de l’angle droit.
Écrire « cosinus = opposé ÷ hypoténuse » : c’est adjacent ÷ hypoténuse.
Multiplier au lieu de diviser pour l’hypoténuse : elle serait plus courte que le côté adjacent.
Taper cos au lieu de $\cos^{- 1}$ pour un angle, ou calculer en mode radians.
Arrondir le cosinus ou le quotient avant la fin : le résultat change.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode sur le cosinus donne la démarche dans un triangle rectangle : repérer les côtés, choisir l’outil, rédiger. Un exemple corrigé par cas (nommer les côtés, écrire un cosinus, calculer le côté adjacent ou l’hypoténuse, calculer un angle avec cos⁻¹, changer d’angle) et les pièges à éviter.

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