Fiche de révision : aires et volumes

Reprendre les acquis de 5e (aires des bases, volume du prisme droit et du cylindre, aire latérale) ; calculer le volume d’une pyramide et d’un cône de révolution (le tiers du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur), en valeur exacte et en valeur approchée ; convertir les unités de volume et de contenance ; retrouver une dimension ; calculer le volume d’un solide composé et l’effet d’un agrandissement ou d’une réduction.

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benprofparticulier.frMathématiques · 4ᵉ

Volumes : pyramide et cône

Fiche méthode

(Mathématiques 4ᵉ · Grandeurs et mesures · Volumes)

La démarche pour calculer un volume

1. Je nomme le solide et je repère sa base et sa hauteur (perpendiculaire à la base).

2. Je convertis toutes les longueurs dans la même unité.

3. J’écris la formule en lettres ( $V = B \times h$ ou $V = B \times h \div 3$ ), je calcule $B$ , puis je remplace.

4. Je conclus avec l’unité : valeur exacte avec $π$ , valeur approchée avec $\approx$ , contenance en litres si on la demande.

Le réflexe — prisme et cylindre :

B \times h

; pyramide et cône :

B \times h \div 3

; volumes : trois rangs par unité.

Cas 1 · Prisme droit et cylindre (rappels de 5e)

Réflexe — je calcule l’aire $B$ d’une base, puis $V = B \times h$ ; pour une aire latérale, périmètre de la base $\times h$ .

Exemple 1. Prisme droit de hauteur $10$ cm dont la base est un parallélogramme de côté $4, 5$ cm et de hauteur relative $2$ cm.

$B = 4, 5 \times 2 = 9$ cm², puis $V = 9 \times 10 = 90$ cm³.

Exemple 2. Cylindre de diamètre $6$ cm et de hauteur $4$ cm : volume exact et approché.

$r = 6 \div 2 = 3$ cm ; $V = π \times 3^{2} \times 4 = 36 π$ cm³ $\approx 113, 1$ cm³.

Attention — on élève le rayon au carré, pas le diamètre ; $2 \times π \times r \times h$ est une aire latérale, pas un volume.

Cas 2 · Pyramide et cône

Réflexe — $V = B \times h \div 3$ ; cône : $V = π \times r^{2} \times h \div 3$ ; je divise par $3$ dès que possible.

Exemple 1. Pyramide de hauteur $9$ cm à base triangulaire : côté $8$ cm, hauteur relative $5$ cm.

$B = 8 \times 5 \div 2 = 20$ cm² ; $V = 20 \times 9 \div 3 = 20 \times 3 = 60$ cm³.

Exemple 2. Cône de rayon $2$ cm et de hauteur $12$ cm.

$V = π \times 2^{2} \times 12 \div 3 = π \times 4 \times 4 = 16 π$ cm³ $\approx 50, 3$ cm³.

Attention — la hauteur n’est ni une arête latérale ni une génératrice ; sans le « $\div 3$ », on trouve le volume du prisme ou du cylindre.

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Cas 3 · Unités de volume et de contenance

Réflexe — volumes : $\times 1 000$ par unité ; $1$ L $= 1$ dm³ et $1$ mL $= 1$ cm³.

Exemple. Convertir $0, 38$ m³ en litres et $650$ cm³ en litres.

$0, 38$ m³ $= 380$ dm³ $= 380$ L. $650$ cm³ $= 0, 65$ dm³ $= 0, 65$ L.

Attention — $1$ m³ $= 1 000$ dm³, pas $100$ ; $1$ L $= 1 000$ cm³, pas $1$ cm³.

Cas 4 · Retrouver une dimension

Réflexe — pyramide ou cône : $h = 3 \times V \div B$ ; prisme ou cylindre : $h = V \div B$ ; rayon : $r^{2} = B \div π$ .

Exemple 1. Une pyramide a un volume de $120$ cm³ et une base de $30$ cm². Sa hauteur ?

$B \times h = 3 \times 120 = 360$ , donc $h = 360 \div 30 = 12$ cm.

Exemple 2. Un cylindre de hauteur $5$ cm a un volume de $80 π$ cm³. Son rayon ?

$B = 80 π \div 5 = 16 π$ cm², donc $r^{2} = 16$ et $r = 4$ cm.

Attention — pour une pyramide ou un cône, on multiplie d’abord le volume par $3$ .

Cas 5 · Solides composés, agrandir et réduire

Réflexe — je découpe en solides usuels et j’ajoute ou je retranche ; rapport $k$ : volumes $\times k^{3}$ .

Exemple 1. Un cube d’arête $3$ cm surmonté d’une pyramide de même base et de hauteur $2$ cm.

Cube : $3^{3} = 27$ cm³ ; pyramide : $9 \times 2 \div 3 = 6$ cm³ ; total : $27 + 6 = 33$ cm³.

Exemple 2. Une boîte de $250$ cm³ est agrandie de rapport $3$ .

Volume $\times 3^{3} = 27$ : $250 \times 27 = 6 750$ cm³.

Attention — rapport $2$ : les volumes sont multipliés par $8$ , pas par $2$ .

Les pièges

Prendre l’arête latérale d’une pyramide ou la génératrice d’un cône pour la hauteur : la hauteur est perpendiculaire à la base, donc plus courte.
Oublier le « $\div 3$ » de la pyramide et du cône, ou le « $\div 2$ » d’une base triangulaire.
Mettre le diamètre au carré au lieu du rayon : le volume devient $4$ fois trop grand.
Convertir les volumes de $10$ en $10$ ou de $100$ en $100$ : c’est de $1 000$ en $1 000$ .
Croire qu’un agrandissement de rapport $2$ double le volume : il le multiplie par $2^{3} = 8$ .

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour calculer un volume (nommer le solide, convertir, écrire la formule, conclure avec l’unité) et un exemple corrigé par cas : prisme à base parallélogramme, cylindre, pyramide et cône, conversions en litres, hauteur et rayon retrouvés, cube surmonté d’une pyramide et agrandissement, avec les pièges à éviter.

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