Fiche de révision : rotation, construire et propriétés

Rappels de 6e, 5e et 4e (symétrie axiale, demi-tour, translation, image et antécédent), rotation de centre O, d’angle et de sens donnés (OM′ = OM, angle au centre, quart de tour, demi-tour), construire l’image d’un point et d’une figure au rapporteur et au compas, sur quadrillage et dans un repère, propriétés conservées et calculs dans le triangle OMM′, rosaces, pavages et reconnaissance des transformations.

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Rotation : construire et propriétés

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Espace et géométrie · Transformations)

La démarche pour transformer une figure par une rotation

1. Je repère les trois éléments : le centre, l’angle et le sens (horaire ou anti-horaire).

2. Je construis l’image de chaque point utile : même distance au centre (compas), angle voulu au centre (rapporteur), ou échange des carreaux pour un quart de tour.

3. Je contrôle et je conclus : $O M' = O M$ , l’angle au centre est le bon, et les longueurs, angles et aires sont conservés.

Le réflexe — une rotation se décrit par son centre, son angle et son sens ; elle fait tourner la figure sans la déformer ni la retourner.

Cas 1 · Rappels : symétries et translation

Réflexe — retournée → symétrie axiale ; tête en bas → demi-tour ( $O$ milieu de $[M M']$ ) ; même orientation → translation (même déplacement pour tous les points).

Exemple 1. Image de $A (2; - 3)$ par la symétrie de centre $O$ , l’origine du repère.

$O$ est le milieu de $[A A']$ : on change le signe des deux coordonnées, $A' (- 2; 3)$ .

Exemple 2. La translation qui transforme $R (0; 1)$ en $S (- 2; 4)$ transforme $T (- 4; 2)$ en $T'$ . Coordonnées de $T'$ ?

Déplacement : $- 2 - 0 = - 2$ et $4 - 1 = 3$ , soit $2$ vers la gauche et $3$ vers le haut.

$T' (- 4 - 2; 2 + 3) = T' (- 6; 5)$ .

Attention — l’image est le point d’arrivée, l’antécédent le point de départ ; pour un antécédent, on fait le déplacement inverse.

Cas 2 · La rotation : centre, angle et sens

Réflexe — $O M' = O M$ et $\hat{M O M'}$ = angle de la rotation, dans le sens indiqué ; le triangle $O M M'$ est isocèle en $O$ .

Exemple 1. Quel angle pour un dixième de tour ? À combien de degrés dans le sens anti-horaire correspond une rotation de $25 °$ dans le sens horaire ?

$360 \div 10 = 36 °$ .

$360 - 25 = 335 °$ dans le sens anti-horaire.

Exemple 2. Rotation de centre $O$ d’angle $60 °$ , $O M = 4, 4$ cm. Que vaut $M M'$ ?

$O M' = O M$ et $\hat{M O M'} = 60 °$ : le triangle $O M M'$ est équilatéral.

$M M' = 4, 4$ cm.

Attention — le sens compte (sauf pour $180 °$ ) ; l’angle se mesure au centre $O$ , pas en $M$ .

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Cas 3 · Construire l’image d’un point, d’une figure

Réflexe — rapporteur centré sur $O$ dans le bon sens, compas de rayon $O M$ ; sur quadrillage, un quart de tour échange les deux nombres de carreaux.

Exemple 1. De $O$ à $B$ : $2$ carreaux à droite et $3$ en bas. Où est $B'$ , image de $B$ par le quart de tour de centre $O$ dans le sens horaire ?

Les nombres s’échangent : de $O$ à $B'$ , $3$ carreaux à gauche et $2$ en bas.

Contrôle : l’angle $\hat{B O B'}$ est droit et $O B' = O B$ .

Exemple 2. Image de $Q (- 1; 4)$ par le quart de tour anti-horaire de centre $O$ , l’origine.

$(x; y) \mapsto (- y; x)$ : $Q' (- 4; - 1)$ .

Attention — un quart de tour n’est pas une symétrie : les deux nombres de carreaux s’échangent.

Cas 4 · Utiliser les propriétés conservées

Réflexe — « On sait que … est l’image de … par une rotation. Or une rotation conserve … Donc … ».

Exemple 1. $A' B' C'$ est l’image de $A B C$ par une rotation, $A C = 5, 3$ cm et $A C B = 35 °$ . Que valent $A' C'$ et $\hat{A' C' B'}$ ?

Une rotation conserve les longueurs et les angles : $A' C' = 5, 3$ cm et $\hat{A' C' B'} = 35 °$ .

Exemple 2. Rotation de centre $O$ d’angle $100 °$ : angles $\hat{O M M'}$ et $\hat{O M' M}$ ?

$O M M'$ est isocèle en $O$ : $(180 - 100) \div 2 = 40 °$ chacun.

Attention — $M M' = O M$ seulement pour une rotation de $60 °$ ; pour un quart de tour, on utilise le théorème de Pythagore.

Cas 5 · Rosaces, pavages : quelle transformation ?

Réflexe — rosace de $n$ motifs : $360 ° \div n$ ; retour à la place quand le total est un multiple de $360 °$ ; décalé, tourné, retourné ou tête en bas ?

Exemple 1. Angle d’une rosace de $20$ motifs ?

$360 \div 20 = 18 °$ .

Exemple 2. Un motif tourne de $140 °$ à chaque fois. Après combien de rotations revient-il à sa place ?

On cherche le premier multiple de $140$ qui est un multiple de $360$ : $140 \times 18 = 2 520 = 7 \times 360$ (aucun nombre plus petit ne convient).

Après $18$ rotations.

Attention — du motif ① au motif ⑤, il y a $4$ rotations ; « tourné » n’est pas « retourné ».

Les pièges

Oublier le sens : $90 °$ dans le sens horaire et $90 °$ dans le sens anti-horaire ne donnent pas la même image.
Mesurer l’angle en $M$ : l’angle de la rotation est l’angle $\hat{M O M'}$ , de sommet $O$ .
Sur un quadrillage, garder les nombres de carreaux sans les échanger : on obtient une symétrie, pas un quart de tour.
Croire que $M M' = O M$ pour toute rotation : c’est vrai seulement pour $60 °$ .
Confondre une figure tournée et une figure retournée : une rotation ne fait jamais l’effet d’un miroir.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour transformer une figure par une rotation : repérer le centre, l’angle et le sens, construire l’image de chaque point, contrôler. Des exemples corrigés pour chaque cas (dixième de tour, quart de tour sur quadrillage et dans un repère, angles du triangle isocèle, rosace de 20 motifs) et les pièges les plus fréquents.

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