Rotation : construire et propriétés

Complète par « symétrie axiale », « demi-tour » ou « translation ».

1. La figure image est décalée et garde exactement la même orientation :
   Tous les points glissent du même déplacement, sans tourner : c’est une translation.
2. La figure image est retournée, comme un reflet dans un miroir :
   Un pliage le long d’un axe retourne la figure : c’est une symétrie axiale.
3. Un point $O$ est le milieu de chaque segment qui joint un point à son image :
   $O$ milieu de $[MM\prime ]$ : c’est le demi-tour de centre $O$ (symétrie centrale).
4. Tous les points d’une droite sont invariants :
   Seule la symétrie axiale laisse immobiles tous les points d’une droite, son axe. Le demi-tour n’a qu’un point invariant, la translation aucun.

Dans un repère d’origine $O$, donne les coordonnées demandées.

1. Symétrique de $M(-4;1,5)$ par rapport à $O$ : ( ; )
   $O$ est le milieu de $[MM\prime ]$ : on change le signe des deux coordonnées, $M\prime (4;-1,5)$.
2. La translation qui transforme $A(2;-1)$ en $B(-1;3)$ transforme $C(0;0)$ en ( ; )
   Déplacement : $-1-2=-3$ et $3-(-1)=4$, soit $3$ vers la gauche et $4$ vers le haut. $C$ arrive en $(-3;4)$.
3. Par cette même translation, l’antécédent de $D\prime (5;5)$ est ( ; )
   Déplacement inverse : $5+3=8$ et $5-4=1$. $D(8;1)$.
4. Symétrique de $N(3;-2)$ par rapport à l’axe des ordonnées : ( ; )
   $N$ est à $3$ unités à droite de l’axe des ordonnées ; son symétrique est sur la même horizontale, à $3$ unités à gauche : $N\prime (-3;-2)$.

Utilise les propriétés conservées.

1. Par le demi-tour de centre $O$, la droite $(AB)$ a pour image la droite $(A\prime B\prime )$. Ces deux droites sont
   Par un demi-tour, l’image d’une droite est une droite parallèle.
2. Un triangle d’aire $12,4$ cm² a pour image par une symétrie axiale un triangle d’aire cm²
   La symétrie axiale conserve les aires : $12,4$ cm², même si la figure est retournée.
3. La translation qui transforme $R$ en $S$ transforme $T$ en $U$. Si $RT=6,5$ cm, alors $SU=$ cm
   $[SU]$ est l’image de $[RT]$ par la translation, qui conserve les longueurs : $SU=RT=6,5$ cm.

Donne l’angle en degrés.

1. Deux cinquièmes de tour : °
   Un tour fait $360°$ : $360\times 2÷5=144°$.
2. Un manège fait un tour complet en $40$ secondes. En $15$ secondes, il tourne de °
   En $1$ s, il tourne de $360÷40=9°$ ; en $15$ s, de $15\times 9=135°$.
3. Une rotation de $110°$ dans le sens horaire équivaut à une rotation de ° dans le sens anti-horaire
   Les deux rotations font un tour complet ensemble : $360-110=250°$.
4. Une roue de loterie a $24$ cases identiques. Pour passer d’une case à la suivante, elle tourne de °
   $24$ cases se partagent le tour complet : $360÷24=15°$.

Les huit points $A$, $B$, …, $H$ sont régulièrement répartis sur le cercle de centre $O$, dans le sens anti-horaire. Complète avec une lettre ou un nombre.

1. Image de $A$ par la rotation de centre $O$, d’angle $90°$, dans le sens anti-horaire :
   Deux points voisins sont séparés de $360÷8=45°$. $90°$, c’est $2$ intervalles dans le sens anti-horaire : de $A$, on passe par $B$ et on arrive en $C$.
2. Image de $B$ par la rotation de centre $O$, d’angle $135°$, dans le sens horaire :
   $135÷45=3$ intervalles dans le sens horaire, c’est-à-dire à rebours de l’ordre des lettres : $B$, $A$, $H$, $G$. C’est $G$.
3. Image de $D$ par le demi-tour de centre $O$ :
   $180°$, c’est $4$ intervalles, dans un sens ou dans l’autre : le point diamétralement opposé à $D$ est $H$.
4. La rotation de centre $O$, dans le sens anti-horaire, qui transforme $A$ en $F$ a pour angle °
   De $A$ à $F$ dans le sens anti-horaire : $5$ intervalles, soit $5\times 45=225°$.

Raisonne sur le triangle formé par le centre, un point et son image.

1. Une rotation de centre $A$ transforme $B$ en $C$. Le triangle $ABC$ est en $A$
   Par définition de la rotation, $AC=AB$ : le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
2. Une rotation de centre $A$ et d’angle $60°$ transforme $B$ en $C$. Le triangle $ABC$ est
   Il est isocèle en $A$ avec $BAC=60°$ ; ses deux autres angles mesurent $(180-60)÷2=60°$ : il est équilatéral.
3. Une rotation de centre $O$ transforme $M$ en $M\prime$, avec $OM=3,8$ cm. $OM\prime =$ cm
   Par définition de la rotation, $OM\prime =OM=3,8$ cm : $M\prime$ est sur le cercle de centre $O$ qui passe par $M$.

Sur un quadrillage, on compte les carreaux à partir du centre $O$. Complète.

1. De $O$ à $A$ : $3$ carreaux à droite et $1$ vers le haut. Par le quart de tour anti-horaire de centre $O$, de $O$ à $A\prime$ : carreau(x) vers la gauche et vers le haut
   Dans le sens anti-horaire, « $3$ à droite, $1$ en haut » devient « $1$ à gauche, $3$ en haut » : les nombres s’échangent.
2. De $O$ à $B$ : $2$ carreaux à gauche et $5$ vers le haut. Par le quart de tour horaire de centre $O$, de $O$ à $B\prime$ : carreaux vers la droite et vers le haut
   Dans le sens horaire, le haut tourne vers la droite et la gauche vers le haut : « $2$ à gauche, $5$ en haut » devient « $5$ à droite, $2$ en haut ». Contrôle dans un repère : $(-2;5)\mapsto (5;2)$.
3. De $O$ à $C$ : $6$ carreaux à droite. Par le demi-tour de centre $O$, de $O$ à $C\prime$ : carreaux vers la gauche
   $O$ est le milieu de $[CC\prime ]$ : on refait le trajet de l’autre côté, $6$ carreaux vers la gauche.

Dans un repère d’origine $O$, donne les coordonnées de l’image.

1. Image de $(-4;7)$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $180°$ : ( ; )
   Le demi-tour de centre $O$ est la symétrie de centre $O$ : on change les deux signes, $(4;-7)$.
2. Image de $(3;0)$ par le quart de tour anti-horaire de centre $O$ : ( ; )
   Le point de l’axe des abscisses passe sur l’axe des ordonnées, à la même distance de $O$ : $(0;3)$.
3. Image de $(2;5)$ par le quart de tour anti-horaire de centre $O$ : ( ; )
   $(x;y)\mapsto (-y;x)$ : $(-5;2)$. « $2$ à droite, $5$ en haut » devient « $5$ à gauche, $2$ en haut ».
4. Image de $(-1;6)$ par le quart de tour horaire de centre $O$ : ( ; )
   $(x;y)\mapsto (y;-x)$ : $(6;1)$.

Antécédent, cercle, enchaînement (repère d’origine $O$).

1. Le quart de tour anti-horaire de centre $O$ transforme $N$ en $N\prime (-3;4)$. Coordonnées de $N$ : ( ; )
   Pour revenir en arrière, on tourne d’un quart de tour dans l’autre sens (horaire) : $(x;y)\mapsto (y;-x)$, donc $N(4;3)$. Vérification : $(4;3)\mapsto (-3;4)$.
2. Le cercle de centre $K(2;-3)$ et de rayon $4$ a pour image, par le quart de tour anti-horaire de centre $O$, le cercle de centre ( ; ) et de rayon
   Le centre a pour image $K\prime (3;2)$, car $(x;y)\mapsto (-y;x)$ ; le rayon est conservé : $4$.
3. $R(1;-2)$ subit la translation qui ajoute $2$ aux abscisses et $3$ aux ordonnées, puis le demi-tour de centre $O$. Point d’arrivée : ( ; )
   Après la translation : $(1+2;-2+3)=(3;1)$. Après le demi-tour : $(-3;-1)$.

Donne la valeur demandée.

1. Un triangle de périmètre $17,4$ cm a pour image par une rotation un triangle de périmètre cm
   Une rotation conserve les longueurs, donc le périmètre : $17,4$ cm.
2. Un angle de $37°$ a pour image par une rotation un angle de °
   Une rotation conserve les mesures d’angles : $37°$.
3. Un cercle de rayon $2,5$ cm a pour image par une rotation un cercle de rayon cm
   L’image d’un cercle est un cercle de même rayon : $2,5$ cm.
4. Un rectangle a une aire de $24$ cm². Son image par un quart de tour a une aire de cm²
   Une rotation conserve les aires : $24$ cm², même si le rectangle « couché » devient « debout ».

$M\prime$ est l’image de $M$ par une rotation de centre $O$.

1. Rotation d’angle $50°$ : l’angle $\widehat{OMM\prime }$ mesure °
   $OMM\prime$ est isocèle en $O$ avec $\widehat{MOM\prime }=50°$ : $(180-50)÷2=65°$.
2. Rotation d’angle $140°$ : l’angle $\widehat{OM\prime M}$ mesure °
   $(180-140)÷2=20°$.
3. Rotation d’angle $60°$ avec $OM=6,3$ cm : $MM\prime =$ cm
   Isocèle avec un angle de $60°$ : le triangle $OMM\prime$ est équilatéral, $MM\prime =OM=6,3$ cm.
4. Quart de tour avec $OM=4$ cm : $MM\prime \approx$ cm (au dixième)
   $OMM\prime$ est rectangle isocèle en $O$. Pythagore : $M{M}^{\prime 2}=4^2+4^2=32$, donc $MM\prime =\sqrt{32}\approx 5,7$ cm.

$ABCD$ est un carré de centre $O$ (figure). On considère le quart de tour de centre $O$ qui transforme $A$ en $B$.

1. Il transforme $B$ en
   Ce quart de tour tourne dans le sens anti-horaire (de $A$ vers $B$) : chaque sommet passe au suivant, $B$ va en $C$.
2. Il transforme le segment $[CD]$ en le segment
   $C$ va en $D$ et $D$ va en $A$ : l’image de $[CD]$ est $[DA]$.
3. Le carré a une aire de $36$ cm². Le triangle $OAB$ a une aire de cm²
   Le quart de tour transforme $OAB$ en $OBC$, puis en $OCD$ et en $ODA$ : ces $4$ triangles ont la même aire et remplissent le carré. $36÷4=9$ cm².
4. La droite $(AC)$ et son image par ce quart de tour sont
   Un quart de tour transforme une droite en une droite perpendiculaire. Ici, l’image de $(AC)$ est $(BD)$ : les diagonales du carré sont perpendiculaires.

Le drapeau noir est le départ. Par quelle transformation obtient-on chaque drapeau bleu ? Réponds par « translation », « rotation », « symétrie axiale » ou « demi-tour ».

1. Drapeau ① :
   Le drapeau est couché, le haut du mât vers la droite, le fanion au-dessous, sans effet miroir : il a tourné d’un quart de tour dans le sens horaire. C’est une rotation.
2. Drapeau ② :
   Le mât est toujours vers le haut, mais le fanion est passé à gauche : le drapeau est retourné, c’est une symétrie axiale.
3. Drapeau ③ :
   Le haut du mât est vers le bas et le fanion à gauche : tête en bas, sans effet miroir. C’est un demi-tour (rotation de $180°$).
4. Drapeau ④ :
   Même orientation que le départ, simplement décalé vers la droite : c’est une translation.

Rosaces et frises : les motifs sont identiques ; dans une rosace, ils sont régulièrement répartis autour du centre.

1. Une rosace est formée de $9$ motifs. Angle entre deux motifs voisins : °
   $360÷9=40°$.
2. Les motifs d’une rosace se déduisent les uns des autres par une rotation de $30°$. Nombre de motifs :
   $360÷30=12$ motifs.
3. Dans une rosace de $18$ motifs numérotés dans le sens anti-horaire, le motif ⑥ est l’image du motif ② par une rotation d’angle ° (sens anti-horaire)
   Angle entre deux voisins : $360÷18=20°$. Du motif ② au motif ⑥ : $6-2=4$ rotations, soit $4\times 20=80°$.
4. Dans une frise, les motifs sont alternativement « debout » et « tête en bas », sans effet miroir. On passe d’un motif au suivant par la transformation :
   Tête en bas, sans effet miroir : on passe d’un motif au suivant par un demi-tour (rotation de $180°$), dont le centre est entre les deux motifs. Deux motifs « debout » se déduisent l’un de l’autre par une translation.

Enchaîner des rotations, compléter un pavage.

1. On applique une rotation de $150°$, puis une seconde rotation de même centre et de même sens. Pour que la figure revienne à sa place, la seconde doit mesurer °
   Il faut un tour complet : $150+210=360°$.
2. Un motif tourne de $135°$ à chaque fois, autour du même centre et dans le même sens. Il revient à sa place pour la première fois après rotations
   Multiples de $135$ : $135$, $270$, $405$, $540$, $675$, $810$, $945$, $1080$. Le premier multiple de $360$ est $1080=3\times 360$, atteint après $8$ rotations.
3. Une rotation de $65°$ puis une rotation de $50°$, de même centre et de même sens, font une rotation de °
   Deux rotations de même centre et de même sens s’enchaînent en une seule : $65+50=115°$.
4. Autour d’un sommet, on assemble un hexagone régulier ($120°$), deux carrés et un polygone régulier. L’angle de ce polygone mesure °
   Les angles font $360°$ en tout : $360-120-2\times 90=60°$. C’est un triangle équilatéral.