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Rotation : construire et propriétés
Rappels de 6e, 5e et 4e (symétrie axiale, demi-tour, translation, image et antécédent), rotation de centre O, d’angle et de sens donnés (OM′ = OM, angle au centre, quart de tour, demi-tour), construire l’image d’un point et d’une figure au rapporteur et au compas, sur quadrillage et dans un repère, propriétés conservées et calculs dans le triangle OMM′, rosaces, pavages et reconnaissance des transformations.
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Rappels de 6e, 5e et 4e : symétries et translation
Avant la rotation, tu as vu trois transformations du plan : la symétrie axiale en 6e, la symétrie centrale (le demi-tour) en 5e et la translation en 4e. La rotation prolonge le demi-tour : au lieu de tourner d’un demi-tour, on tourne d’un angle choisi. Commençons par revoir le vocabulaire et ces trois transformations.
• Symétrie axiale d’axe (d) (6e) : (d) est la médiatrice du segment [MM′] (elle le coupe perpendiculairement en son milieu). C’est un pliage : la figure image est retournée, comme dans un miroir. Les points de (d) sont invariants.
• Symétrie centrale de centre O, ou demi-tour (5e) : O est le milieu du segment [MM′]. La figure image a la tête en bas, sans effet miroir. Seul O est invariant.
• Translation qui transforme A en B (4e) : chaque point glisse comme A vers B (même direction, même sens, même longueur) ; si M n’est pas sur la droite (AB), ABM′M est un parallélogramme. La figure garde la même orientation, et aucun point n’est invariant.
Ces trois transformations conservent les longueurs, les mesures d’angles, les aires, l’alignement, les milieux et le parallélisme : la figure image est superposable à la figure de départ. Par un demi-tour ou une translation, l’image d’une droite est une droite parallèle.
Sur un quadrillage, l’axe (d) est horizontal et le point A est 3 carreaux au-dessus de (d). Son symétrique A′ est sur la même verticale, 3 carreaux au-dessous de (d) : AA′ = 6 carreaux.
Dans un repère d’origine O, le symétrique de C(−3 ; 5) par rapport à O est C′(3 ; −5) : O est le milieu de [CC′], on change le signe des deux coordonnées.
La translation qui transforme E(1 ; 2) en F(4 ; 0) fait glisser chaque point de 3 vers la droite et de 2 vers le bas : l’image de G(−2 ; 3) est G′(1 ; 1).
Le segment [KL] mesure 4,6 cm : son image par une symétrie (axiale ou centrale) ou par une translation mesure aussi 4,6 cm.
Réflexe — image retournée comme dans un miroir : symétrie axiale ; image la tête en bas, sans effet miroir : demi-tour ; image décalée avec la même orientation : translation.
Attention — l’image, c’est le point d’arrivée ; l’antécédent, le point de départ. Pour le demi-tour, O est le milieu de [MM′] ; pour la symétrie axiale, (d) coupe [MM′] perpendiculairement en son milieu.
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La rotation : centre, angle et sens
L’image d’un point M (autre que O) est le point M′ tel que :
• OM′ = OM : M′ est sur le cercle de centre O qui passe par M ;
• l’angle est égal à l’angle de la rotation, tourné dans le sens indiqué.
Le centre O est sa propre image : il ne bouge pas. Comme OM′ = OM, le triangle OMM′ est toujours isocèle en O.
Les rotations à connaître
• 90° : le quart de tour ; le triangle OMM′ est rectangle isocèle en O.
• 180° : le demi-tour de 5e, c’est-à-dire la symétrie de centre O ; le sens ne compte plus.
• 360° : un tour complet ; chaque point revient à sa place.
• 60° : le triangle OMM′ est isocèle en O avec un angle de 60°, ses deux autres angles mesurent (180° − 60°) ÷ 2 = 60° : il est équilatéral, donc MM′ = OM.
Rotation de centre O, d’angle 70°, dans le sens anti-horaire, avec OM = 3,2 cm (figure) : OM′ = 3,2 cm et l’angle mesure 70°.
Un tour complet fait 360° : un seizième de tour fait 360 ÷ 16 = 22,5°.
La grande aiguille d’une horloge tourne autour du centre du cadran, dans le sens horaire : 360° en 60 min, soit 360 ÷ 60 = 6° par minute. En 10 min, elle tourne de 10 × 6 = 60°.
Tourner de 40° dans le sens horaire, c’est tourner de 360 − 40 = 320° dans le sens anti-horaire : on arrive au même point, et l’angle mesuré au rapporteur vaut 40° dans les deux cas (un angle tracé ne dépasse pas 180°).
La rotation de centre A d’angle 60° transforme B en C, avec AB = 5 cm : AC = AB = 5 cm et l’angle mesure 60°, donc le triangle ABC est équilatéral et BC = 5 cm.
Réflexe — pour une rotation, je donne toujours ses trois éléments : centre, angle, sens. Pour contrôler une image : OM′ = OM et l’angle est l’angle de la rotation.
Attention — le sens compte : 90° dans le sens horaire et 90° dans le sens anti-horaire donnent deux images différentes (seul le demi-tour n’a pas besoin de sens). Et l’angle se lit au centre : c’est l’angle , de sommet O, pas un angle de sommet M.
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Construire l’image d’un point et d’une figure
1. je trace le segment [OM] ;
2. au rapporteur (centre sur O, zéro sur la demi-droite [OM)), je trace la demi-droite d’origine O qui fait l’angle voulu avec [OM), du côté qui correspond au sens demandé ;
3. au compas (pointe sur O, écartement OM), je reporte le point M′ sur cette demi-droite.
Image d’une figure : je construis l’image de chaque sommet, puis je relie les images dans le même ordre. Pour un cercle, il suffit de construire l’image du centre : le rayon ne change pas.
Image de M par la rotation de centre O d’angle 50° dans le sens anti-horaire : ① je trace [OM] ; ② je place le rapporteur sur O, je compte 50° à partir de [OM) en tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, et je trace la demi-droite ; ③ au compas, je reporte la longueur OM sur cette demi-droite : c’est M′. Contrôle : OM′ = OM.
Sur un quadrillage : le quart de tour
Pour un quart de tour, le rapporteur est inutile : je compte les carreaux de O jusqu’au point, puis je les fais tourner. Dans le sens anti-horaire, « a carreaux à droite et b en haut » devient « b carreaux à gauche et a en haut » ; dans le sens horaire, il devient « b carreaux à droite et a en bas ». Les deux nombres s’échangent, et l’angle en O est droit.
De O à A : 4 carreaux à droite et 1 en haut. Par le quart de tour de centre O dans le sens anti-horaire, de O à A′ : 1 carreau à gauche et 4 en haut.
De même, B (5 à droite, 3 en haut) a pour image B′ (3 à gauche, 5 en haut), et C (2 à droite, 2 en haut) a pour image C′ (2 à gauche, 2 en haut). On relie A′, B′ et C′ : c’est l’image du triangle ABC.
Dans un repère, autour de l’origine O
Le même échange donne les coordonnées de l’image du point M(x ; y) : par le demi-tour, (−x ; −y) ; par le quart de tour anti-horaire, (−y ; x) ; par le quart de tour horaire, (y ; −x).
P(5 ; 2) : 5 à droite et 2 en haut. Par le quart de tour anti-horaire de centre O : 2 à gauche et 5 en haut, soit : revoir la symétrie axiale, le demi-tour et la translation ; transformer une figure par rotation (centre, angle, sens), à la main sur quadrillage ou au rapporteur et au compas ; faire le lien entre angle et rotation ; connaître l’effet d’une rotation sur les longueurs, les angles et les aires et s’en servir pour calculer ; identifier des transformations dans des frises, des pavages et des rosaces. Par le quart de tour horaire : 2 à droite et 5 en bas, soit (2 ; −5). Par le demi-tour : (−5 ; −2).
Réflexe — je construis l’image point par point : même distance au centre (compas), angle voulu au centre (rapporteur), dans le bon sens. Sur un quadrillage, pour un quart de tour, j’échange les deux nombres de carreaux.
Attention — le rapporteur se centre sur O, pas sur M. Et un quart de tour n’est pas une symétrie : « 4 à droite et 1 en haut » ne devient pas « 4 à gauche et 1 en haut ».
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Les propriétés conservées
• les longueurs, donc les périmètres ;
• les mesures d’angles ;
• les aires ;
• l’alignement, les milieux et le parallélisme.
L’image d’un segment est un segment de même longueur ; l’image d’un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est l’image du centre. Ce qui change : la position et l’orientation (la figure a tourné). La figure n’est jamais retournée comme dans un miroir.
A′B′C′ est l’image de ABC par la rotation de centre O d’angle 120° dans le sens anti-horaire (figure). AB = 3 cm, donc A′B′ = 3 cm ; l’angle mesure 48°, donc l’angle mesure aussi 48°.
Un triangle de périmètre 15,8 cm et d’aire 11,2 cm² a pour image, par n’importe quelle rotation, un triangle de périmètre 15,8 cm et d’aire 11,2 cm².
Le cercle de centre K et de rayon 2,7 cm a pour image le cercle de centre K′ (l’image de K) et de rayon 2,7 cm.
Justifier avec une propriété
On sait que A′B′C′ est l’image de ABC par une rotation.
Or une rotation conserve les longueurs et les mesures d’angles.
Donc A′B′ = AB = 3 cm et l’angle mesure 48°, comme l’angle .
Calculer dans le triangle OMM′
Comme OM′ = OM, le triangle OMM′ est isocèle en O ; son angle en O est l’angle de la rotation. Ses deux autres angles, et , sont égaux : chacun mesure (180° − angle de la rotation) ÷ 2.
Rotation d’angle 40° : les angles et mesurent (180 − 40) ÷ 2 = 70°.
Quart de tour, OM = 3 cm : le triangle OMM′ est rectangle isocèle en O. Par le théorème de Pythagore, MM′² = 3² + 3² = 18, donc MM′ = √18 ≈ 4,2 cm.
Un quart de tour fait tourner toutes les directions de 90° : il transforme une droite en une droite perpendiculaire.
Réflexe — une mesure de la figure image se lit sur la figure de départ. Pour justifier : « On sait que … est l’image de … par une rotation. Or une rotation conserve … Donc … ».
Attention — « conserver » ne veut pas dire « ne pas bouger » : la figure tourne, mais ses mesures restent les mêmes. Et MM′ n’est égal à OM que pour un angle de 60°.
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Rosaces, frises, pavages : quelle transformation ?
Un motif qu’on tourne plusieurs fois du même angle, autour du même centre, revient exactement à sa place quand l’angle total est un multiple de 360°. Deux rotations de même centre et de même sens s’enchaînent en une seule : on additionne les angles.
Une frise répète un motif par une même translation ; entre deux motifs voisins, on trouve parfois aussi un demi-tour (motifs alternativement debout et tête en bas) ou une symétrie axiale (motifs alternativement retournés). Un pavage recouvre le plan sans trou ni chevauchement, en répétant des motifs par des translations, des rotations ou des symétries. Autour d’un sommet d’un pavage, les angles des polygones font 360° en tout.
Rosace de 5 motifs : 360 ÷ 5 = 72°. Le motif ④ est l’image du motif ① par la rotation de centre O d’angle 3 × 72 = 216°, dans le sens anti-horaire (du motif ① au motif ④, il y a 3 rotations).
Un motif tourne de 80° à chaque fois : 80, 160, 240, 320, 400, 480, 560 et 640 ne sont pas des multiples de 360, mais 9 × 80 = 720 = 2 × 360. Il revient à sa place après 9 rotations (2 tours complets).
Autour d’un sommet, on peut assembler 6 triangles équilatéraux (6 × 60° = 360°), 4 carrés (4 × 90° = 360°) ou 3 hexagones réguliers (3 × 120° = 360°). Avec des pentagones réguliers (angles de 108°), c’est impossible : 3 × 108° = 324° ne suffit pas et 4 × 108° = 432° dépasse 360°.
Quelle transformation ?
Pour reconnaître la transformation qui fait passer d’un motif à un autre, je regarde son orientation :
| J’observe | Transformation | Je précise |
|---|---|---|
| décalé, même orientation | translation | un point et son image |
| tourné autour d’un point | rotation | le centre, l’angle, le sens |
| retourné, comme dans un miroir | symétrie axiale | l’axe |
| tête en bas, sans miroir | demi-tour (rotation de 180°) | le centre |
① a la même orientation que le drapeau de départ, simplement décalé : c’est une translation.
② est couché, le haut du mât vers la gauche, le fanion au-dessus : le drapeau a tourné d’un quart de tour dans le sens anti-horaire, c’est une rotation d’angle 90°.
③ a son fanion de l’autre côté du mât : il est retourné, c’est une symétrie axiale. ④ a la tête en bas, sans effet miroir : c’est un demi-tour.
Une rotation de 35° puis une rotation de 55°, de même centre et de même sens, font une rotation de 35 + 55 = 90° : un quart de tour.
Réflexe — rosace de n motifs : rotations de 360° ÷ n. Pour reconnaître une transformation, je regarde le motif : décalé, tourné, retourné ou tête en bas ?
Attention — du motif ① au motif ④, il y a 3 rotations, pas 4. Un motif « tourné » n’est pas « retourné » : retourné veut dire vu dans un miroir. Et quand on enchaîne une translation et une rotation, l’ordre compte : en général, on n’arrive pas au même point.
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Pour aller plus loin
Agrandir ou réduire — une rotation ne change aucune longueur. Pour agrandir ou réduire une figure en gardant sa forme, on utilise une homothétie (un centre et un rapport) : voir Homothétie : agrandissement et réduction.
Triangles égaux, triangles semblables — un triangle et son image par une rotation ont les mêmes longueurs et les mêmes angles. Si l’on enchaîne une rotation et une homothétie, on obtient un triangle de même forme, de taille différente : voir Triangles semblables.
- Symétrie axiale (figure retournée), demi-tour (tête en bas) et translation (même orientation) conservent les longueurs, les angles et les aires.
- Une rotation est donnée par son centre O, son angle et son sens (horaire ou anti-horaire) : OM′ = OM et l’angle MOM′ est l’angle de la rotation.
- Construire : segment [OM], rapporteur centré sur O dans le bon sens, compas de rayon OM ; sur un quadrillage, un quart de tour échange les deux nombres de carreaux.
- Une rotation conserve les longueurs, les angles, les aires, l’alignement, les milieux et le parallélisme ; le triangle OMM′ est isocèle en O.
- Rosace de n motifs : rotations de 360° ÷ n ; un motif tourné plusieurs fois du même angle revient à sa place quand le total est un multiple de 360°.
Questions fréquentes
Quelles transformations a-t-on vues avant la rotation ?
La symétrie axiale (6e) retourne une figure comme dans un miroir, la symétrie centrale ou demi-tour (5e) la met la tête en bas, la translation (4e) la fait glisser sans la tourner. Toutes les trois conservent les longueurs, les angles et les aires, comme la rotation.
Qu’est-ce qu’une rotation en 3e ?
C’est faire tourner une figure autour d’un point O, d’un angle donné, dans un sens donné (horaire ou anti-horaire). L’image M′ d’un point M vérifie OM′ = OM, et l’angle MOM′ est égal à l’angle de la rotation. Le demi-tour de 5e est la rotation d’angle 180°.
Comment construire l’image d’un point par une rotation ?
On trace [OM], on construit au rapporteur la demi-droite qui fait l’angle voulu avec [OM) dans le bon sens, puis on reporte la longueur OM au compas. Sur un quadrillage, un quart de tour échange les nombres de carreaux : « 3 à droite et 2 en haut » devient « 2 à gauche et 3 en haut » dans le sens anti-horaire.
Que conserve une rotation ?
Les longueurs, les angles, les aires, l’alignement, les milieux et le parallélisme : l’image est superposable à la figure de départ. Seules la position et l’orientation changent ; la figure n’est jamais retournée comme dans un miroir.
Comment trouver l’angle d’une rosace ?
Pour n motifs régulièrement répartis autour du centre, chaque motif est l’image du précédent par une rotation d’angle 360° ÷ n : 60° pour 6 motifs. Pour reconnaître une transformation, on regarde si le motif est décalé, tourné, retourné ou tête en bas.
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