Rotation : construire et propriétés

1. a)$O$ est le milieu de $[AA\prime ]$ : $A\prime (2;-3)$ (1)
2. b)Déplacement de $A$ à $B$ : $4-(-2)=6$ et $1-3=-2$. $D(1+6;-2-2)=D(7;-4)$ (1)
3. c)$D$ est l’image de $C$ par la translation qui transforme $A$ en $B$, et $C$ n’est pas sur $(AB)$ : $ABDC$ est un parallélogramme ($[CD]$ est parallèle à $[AB]$ et de même longueur) (1)
4. d)Tête en bas sans effet miroir : un demi-tour (symétrie centrale). Retournée comme dans un miroir : une symétrie axiale (1)

Méthode — Demi-tour : on change les deux signes ; translation : on ajoute le même déplacement à chaque point.

1. a)Un centre, un angle et un sens (horaire ou anti-horaire) (1)
2. b)$OM\prime =OM$ et $\widehat{MOM\prime }={60}^{\circ }$ : le triangle est isocèle en $O$ avec un angle de ${60}^{\circ }$, ses deux autres angles mesurent $(180-60)÷2={60}^{\circ }$. Il est équilatéral : $MM\prime =4,5$ cm (1)
3. c)$OP=OM$ et $MOP={90}^{\circ }$ : triangle rectangle isocèle en $O$. Pythagore : $M{P}^2=4,5^2+4,5^2=40,5$, donc $MP=\sqrt{40,5}\approx 6,4$ cm (1)
4. d)Demi-tour : $(3,5;-2)$. Quart de tour anti-horaire, $(x;y)\mapsto (-y;x)$ : $(-2;-3,5)$ (1)

Repère — Le triangle $OMM\prime$ est toujours isocèle en $O$ ; il est équilatéral pour $60°$ et rectangle isocèle pour $90°$.

1. a)Dans le sens horaire, « $a$ à droite, $b$ en haut » devient « $b$ à droite, $a$ en bas ». $E$ ($2$ à droite, $1$ en haut) donne $E\prime$ : $1$ à droite, $2$ en bas ; $F$ ($4$ à droite, $1$ en haut) donne $F\prime$ : $1$ à droite, $4$ en bas ; $G$ ($4$ à droite, $4$ en haut) donne $G\prime$ : $4$ à droite, $4$ en bas. On relie $E\prime$, $F\prime$, $G\prime$ (1)
2. b)Une rotation conserve les longueurs et les angles : $E\prime F\prime G\prime$ est rectangle en $F\prime$, avec $E\prime F\prime =2$ carreaux et $F\prime G\prime =3$ carreaux. Il est superposable à $EFG$ (1)
3. c)① Je trace $[OR]$. ② Rapporteur centré sur $O$, zéro sur $[OR)$ : je compte ${70}^{\circ }$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et je trace la demi-droite. ③ Compas, pointe sur $O$, écartement $OR=5$ cm : je reporte $R\prime$ sur cette demi-droite. Contrôle : $OR\prime =5$ cm (1)
4. d)$OR\prime =OR=5$ cm : le triangle $ORR\prime$ est isocèle en $O$, avec $\widehat{ROR\prime }={70}^{\circ }$. Ses deux autres angles sont égaux : $\widehat{ORR\prime }=(180-70)÷2={55}^{\circ }$ (1)

Méthode — Sur quadrillage, un quart de tour échange les deux nombres de carreaux ; sur feuille blanche, on enchaîne segment, rapporteur et compas.

1. a)Vrai : un demi-tour autour de $O$ place $M\prime$ à l’opposé de $M$, avec $OM\prime =OM$ ; $O$ est le milieu de $[MM\prime ]$ (1)
2. b)Faux : une rotation fait tourner la figure sans la retourner ; seule une symétrie axiale fait l’effet d’un miroir (1)
3. c)Vrai : une rotation conserve les longueurs (le rayon) et l’image du centre est le centre de l’image (1)
4. d)Faux : c’est vrai seulement pour un angle de ${60}^{\circ }$. Pour un quart de tour, $M{M}^{\prime 2}=O{M}^2+O{M}^2$, donc $MM\prime$ est plus grand que $OM$ (1)

Le point clé — Une rotation conserve toutes les mesures ; elle change la position et l’orientation, jamais le « sens de lecture » de la figure.

1. a)$360÷8={45}^{\circ }$ (1)
2. b)Du motif ③ au motif ⑦ : $7-3=4$ rotations, soit $4\times 45={180}^{\circ }$. C’est un demi-tour, la symétrie de centre $O$ (1)
3. c)Il faut que $150\times n$ soit un multiple de $360$. $150\times 12=1800=5\times 360$, et aucun $n$ plus petit ne convient ($150$, $300$, $450$, $600$, $750$, $900$, $1050$, $1200$, $1350$, $1500$ et $1650$ ne sont pas des multiples de $360$) : $12$ rotations (1)
4. d)$2\times 150+60={360}^{\circ }$ : les trois angles remplissent exactement le tour du sommet. $3\times 150={450}^{\circ }$ dépasse ${360}^{\circ }$ : trois dodécagones se chevaucheraient (1)

Méthode — Une rosace de $n$ motifs tourne de $360°÷n$ ; un motif revient à sa place quand l’angle total est un multiple de $360°$.