Rotation : construire et propriétés

Rappels de 6e, 5e et 4e (symétrie axiale, demi-tour, translation, image et antécédent), rotation de centre O, d’angle et de sens donnés (OM′ = OM, angle au centre, quart de tour, demi-tour), construire l’image d’un point et d’une figure au rapporteur et au compas, sur quadrillage et dans un repère, propriétés conservées et calculs dans le triangle OMM′, rosaces, pavages et reconnaissance des transformations.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés où la rotation sert à calculer : un vitrail en rosace, une grande roue, les aiguilles d’une horloge, un carrelage d’octogones et de carrés, trois transformations à la suite dans un repère et un hexagone formé de triangles équilatéraux.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère la transformation : un centre et un angle (rotation), un motif répété autour d’un point (rosace), un glissement (translation).
Je fais une figure à main levée et je note le centre, l’angle et le sens de chaque rotation.
J’utilise les propriétés : $O M' = O M$ , l’angle au centre, la conservation des longueurs, des angles et des aires, $360 ° \div n$ pour une rosace.
Je calcule dans l’ordre de l’énoncé (un résultat sert souvent à la question suivante), puis je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Le vitrail en rosace★★★Facile

Le vitrail d’une chapelle est une rosace de

6

pétales identiques autour d’un point

O

: chaque pétale est l’image du précédent par une même rotation de centre

O

. Les pétales sont numérotés de ① à ⑥ dans le sens anti-horaire. Un pétale a un périmètre de

64

cm et une aire de

175

cm².

1. Angle de la rotation qui envoie un pétale sur le suivant : °
Les $6$ pétales se partagent le tour complet : $360 \div 6 = 60 °$ .
2. Périmètre du pétale ③ : cm
Le pétale ③ est l’image du pétale ① par une rotation, qui conserve les longueurs : $64$ cm.
3. Aire totale des $6$ pétales : cm²
Une rotation conserve les aires : chaque pétale a une aire de $175$ cm². $6 \times 175 = 1 050$ cm².
4. Le pétale ④ est l’image du pétale ① par une rotation de ° : c’est le
Du pétale ① au pétale ④ : $3$ rotations, soit $3 \times 60 = 180 °$ . Une rotation de $180 °$ est le demi-tour (symétrie de centre $O$ ) : le pétale ④ a la tête en bas par rapport au pétale ①.

Problème 2 · La grande roue★★★Facile

Une grande roue de rayon

20

m porte

12

nacelles régulièrement réparties. Elle tourne autour de son centre

O

, situé à

22

m du sol. On suit la nacelle qui part du point le plus bas.

1. Angle de rotation entre deux nacelles voisines : °
$12$ nacelles se partagent le tour complet : $360 \div 12 = 30 °$ .
2. Hauteur de la nacelle après une rotation de $90 °$ : m
Après un quart de tour, la nacelle est sur l’horizontale du centre : à $22$ m du sol.
3. Hauteur de la nacelle après une rotation de $180 °$ : m
Après un demi-tour, elle est au point le plus haut : $22 + 20 = 42$ m.
4. Distance parcourue par la nacelle en un tour complet, arrondie au dixième de mètre : m
Pendant la rotation, la nacelle reste sur le cercle de centre $O$ et de rayon $20$ m : elle parcourt $2 \times π \times 20 = 40 π \approx 125, 7$ m.
5. Un tour dure $8$ min. Vitesse moyenne de la nacelle, arrondie au dixième : m/min
$40 π \div 8 = 5 π \approx 15, 7$ m/min.

Problème 3 · Les aiguilles de l’horloge★★★Moyen

Sur une horloge, la petite aiguille fait un tour en

12

h et la grande aiguille un tour en

60

min. Les deux aiguilles tournent autour du centre

O

du cadran, dans le sens horaire.

1. Angle parcouru par la petite aiguille en $1$ h : °
$360 \div 12 = 30 °$ par heure.
2. Angle parcouru par la petite aiguille entre $14$ h et $17$ h $30$ : °
$3$ h $30$ min $= 3, 5$ h, et $3, 5 \times 30 = 105 °$ .
3. Angle parcouru par la grande aiguille en $25$ min : °
La grande aiguille tourne de $360 \div 60 = 6 °$ par minute : $25 \times 6 = 150 °$ .
4. À $15$ h $40$ , quel est le plus petit angle formé par les deux aiguilles ? °
La petite aiguille tourne de $30 \div 60 = 0, 5 °$ par minute. Depuis la position de midi : petite aiguille $3 \times 30 + 40 \times 0, 5 = 110 °$ , grande aiguille $40 \times 6 = 240 °$ . L’écart vaut $240 - 110 = 130 °$ (l’autre angle mesure $360 - 130 = 230 °$ ).
5. Entre $15$ h et $16$ h, les deux aiguilles se superposent à $15$ h min s (à la seconde près)
Au bout de $t$ minutes après $15$ h : petite aiguille $90 + 0, 5 t$ , grande aiguille $6 t$ (en degrés depuis midi). $6 t = 90 + 0, 5 t$ donne $5, 5 t = 90$ , soit $t = \frac{180}{11} \approx 16, 364$ min. $0, 364$ min $\approx 21, 8$ s : vers $15$ h $16$ min $22$ s.

Problème 4 · Le carrelage octogonal★★★Moyen

Un carrelage associe des octogones réguliers et des carrés. Un octogone régulier de centre

O

se découpe en

8

triangles isocèles identiques de sommet

O

; chacun est l’image du précédent par une rotation de centre

O

1. Angle au sommet $O$ de chaque triangle : °
Les $8$ triangles font le tour de $O$ : $360 \div 8 = 45 °$ .
2. Mesure de chacun des deux autres angles d’un triangle : °
Le triangle est isocèle en $O$ : $(180 - 45) \div 2 = 67, 5 °$ .
3. Un angle de l’octogone est formé de deux de ces angles côte à côte. Il mesure °
$2 \times 67, 5 = 135 °$ .
4. Autour d’un sommet du carrelage, on place deux octogones. L’angle qui reste mesure °
$360 - 2 \times 135 = 90 °$ : c’est la place d’un carré.
5. Trois octogones autour d’un même sommet dépasseraient $360 °$ de °
$3 \times 135 = 405 °$ , soit $405 - 360 = 45 °$ de trop : c’est impossible.

Problème 5 · Trois transformations à la suite★★★Difficile

Dans un repère d’origine

O

, on part du point

M (2; 1)

. On lui applique, dans cet ordre : la translation qui ajoute

3

aux abscisses et

4

aux ordonnées, puis le quart de tour de centre

O

dans le sens anti-horaire, puis le demi-tour de centre

O

1. Coordonnées après la translation : ( ; )
$(2 + 3; 1 + 4) = (5; 5)$ .
2. Coordonnées après le quart de tour : ( ; )
$(x; y) \mapsto (- y; x)$ : $(5; 5) \mapsto (- 5; 5)$ .
3. Coordonnées après le demi-tour : ( ; )
On change les deux signes : $(5; - 5)$ .
4. Si l’on fait d’abord le quart de tour, puis la translation, on arrive en ( ; )
Quart de tour : $(2; 1) \mapsto (- 1; 2)$ ; translation : $(- 1 + 3; 2 + 4) = (2; 6)$ . Ce n’est pas le point $(- 5; 5)$ : l’ordre des transformations compte.

Problème 6 · L’hexagone de triangles équilatéraux★★★Difficile

A B C

est un triangle équilatéral de côté

4

cm. On lui applique la rotation de centre

A

d’angle

60 °

dans le sens anti-horaire : son image est le triangle

A C D

. On recommence avec chaque nouveau triangle, toujours autour de

A

1. Combien de triangles, en comptant $A B C$ , faut-il pour faire le tour complet du point $A$ ?
Chaque triangle occupe un angle de $60 °$ en $A$ : $360 \div 60 = 6$ triangles. La sixième rotation ramène sur $A B C$ .
2. Ces triangles forment un hexagone. Son périmètre : cm
Chaque triangle est l’image de $A B C$ par une rotation : tous ses côtés mesurent $4$ cm. Le bord de l’hexagone est formé de $6$ côtés de $4$ cm : $6 \times 4 = 24$ cm.
3. Hauteur d’un triangle équilatéral de côté $4$ cm, arrondie au centième : cm
La hauteur issue de $C$ coupe $[A B]$ en son milieu $H$ : $A H = 2$ cm. Pythagore dans $A H C$ rectangle en $H$ : $C H^{2} = 4^{2} - 2^{2} = 12$ , donc $C H = \sqrt{12} \approx 3, 46$ cm.
4. Aire de l’hexagone, arrondie au cm² : cm²
Aire d’un triangle : $4 \times \sqrt{12} \div 2 = 2 \sqrt{12} \approx 6, 93$ cm². Les $6$ triangles ont la même aire (une rotation conserve les aires) : $6 \times 2 \sqrt{12} = 12 \sqrt{12} \approx 41, 6$ cm², soit environ $42$ cm².

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