Triangles semblables

Q: Que faut-il savoir de 4e pour étudier les triangles semblables ?

La somme des angles d’un triangle (180°), les triangles égaux et leurs éléments homologues, et l’agrandissement ou la réduction de coefficient k : toutes les longueurs sont multipliées par k, les angles ne changent pas et les aires sont multipliées par k². Par exemple, un côté de 2,5 cm agrandi de coefficient 2 devient un côté de 5 cm.

Q: Comment savoir si deux triangles sont semblables avec les angles ?

Il suffit de trouver deux angles de l’un égaux à deux angles de l’autre : le troisième angle est alors égal aussi, puisque la somme vaut 180°. Un triangle d’angles 54° et 38° a un troisième angle de 88° ; il est semblable à tout triangle qui a des angles de 38° et 88°. Sur une figure, on cherche un angle droit, un angle commun, des angles opposés par le sommet ou des angles formés par des parallèles.

Q: Que veut dire « les côtés sont proportionnels » ?

Les côtés de l’un s’obtiennent en multipliant les côtés homologues de l’autre par un même nombre k. Pour les triangles de côtés 2 ; 5 ; 6 et 5 ; 12,5 ; 15, les quotients 5 ÷ 2, 12,5 ÷ 5 et 15 ÷ 6 valent tous 2,5 : les triangles sont semblables, de coefficient 2,5. C’est aussi une façon de démontrer que deux triangles sont semblables (réciproque).

Q: Comment trouver les côtés homologues de deux triangles semblables ?

Un côté a pour homologue le côté opposé à l’angle égal. On écrit les triangles dans l’ordre des homologues (« ABC et MPN » si A ↔ M, B ↔ P, C ↔ N) et on lit les côtés lettre à lettre : AB ↔ MP, BC ↔ PN, AC ↔ MN. Sans les angles, on range les côtés : le plus petit de l’un correspond au plus petit de l’autre.

Q: Comment calculer une longueur avec des triangles semblables ?

On calcule le coefficient k avec deux côtés homologues connus, puis on multiplie par k (ou on divise par k pour revenir au premier triangle). Si un côté de 3,5 cm a pour homologue un côté de 14 cm, k = 4 : un côté de 5 cm a pour homologue un côté de 20 cm, et l’aire est multipliée par 4² = 16.

Rappels de 4e (somme des angles, triangles égaux, agrandissement et réduction de coefficient k), triangles semblables définis par des angles deux à deux égaux (deux angles suffisent), côtés homologues proportionnels et réciproque, repérer les sommets et les côtés homologues, calculer une longueur, un périmètre ou une aire (aire multipliée par k²).

À propos de cette page

Ce cours de maths de 3e sur les triangles semblables commence par les rappels de 4e (somme des angles, triangles égaux, agrandissement et réduction de coefficient k), puis définit les triangles semblables par leurs angles, montre que leurs côtés homologues sont proportionnels et réciproquement, apprend à repérer les sommets et côtés homologues et à calculer une longueur, un périmètre ou une aire.

Rappels de 4e : angles, triangles égaux, agrandissement et réduction

Les triangles semblables réunissent deux idées vues en 4e : les angles d’un triangle et l’agrandissement ou la réduction d’une figure. On les reprend d’abord.

Ce qu’il faut savoir Somme des angles : dans un triangle, la somme des trois angles vaut 180°. Deux angles connus donnent le troisième. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux ; dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60° ; dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont pour somme 90°.
Triangles égaux : deux triangles superposables ont leurs côtés homologues de même longueur et leurs angles homologues de même mesure. Pour le prouver, il faut l’un des trois cas d’égalité (trois côtés ; un angle compris entre deux côtés ; un côté et ses deux angles adjacents). Trois angles égaux ne suffisent pas : ils fixent la forme du triangle, pas sa taille.
Agrandissement et réduction : agrandir ou réduire une figure de coefficient

k

(

k > 0

), c’est multiplier toutes ses longueurs par

k

. Si

k > 1

, c’est un agrandissement ; si

0 < k < 1

, une réduction. Les angles ne changent pas ; les aires sont multipliées par

k^{2}

(et les volumes par

k^{3}

).
Triangles emboîtés (Thalès) : si

M

est sur

[A B]

N

sur

[A C]

(M N) ∥ (B C)

, le triangle

A M N

est une réduction du triangle

A B C

, de coefficient

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

Exemples

Dans le triangle $R S V$ , $S R V$ $= 38 °$ et $R S V$ $= 67 °$ . Donc $R V S$ $= 180 - (38 + 67) = 180 - 105 = 75 °$ .

Le triangle $K L M$ est rectangle en $K$ et $K L M$ $= 29 °$ : l’autre angle aigu mesure $K M L$ $= 90 - 29 = 61 °$ .

Un triangle rectangle de côtés $2, 4$ cm, $3, 2$ cm et $4$ cm est agrandi de coefficient $1, 5$ (figure) : ses côtés deviennent $2, 4 \times 1, 5 = 3, 6$ cm, $3, 2 \times 1, 5 = 4, 8$ cm et $4 \times 1, 5 = 6$ cm. Il reste rectangle : ses angles n’ont pas changé.

Dans une réduction, un côté de $7, 5$ cm devient $3$ cm : $k = 3 \div 7, 5 = 0, 4$ , plus petit que $1$ . Une aire de $50$ cm² devient $50 \times 0, 4^{2} = 50 \times 0, 16 = 8$ cm².

Réflexe — deux angles connus : je calcule le troisième avec 180° ; « agrandir de coefficient $k$ » : je multiplie toutes les longueurs par $k$ , jamais les angles.

Attention — ajouter la même longueur à chaque côté, ce n’est pas agrandir : un triangle de côtés $2$ , $3$ et $4$ cm devenu $4$ , $5$ et $6$ cm change de forme, car $4 \div 2 = 2$ mais $5 \div 3 \approx 1, 67$ . Et une aire est multipliée par $k^{2}$ , pas par $k$ .

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Triangles semblables : des angles deux à deux égaux

Ce qu’il faut savoir Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure. Ils ont la même forme, mais pas forcément la même taille ni la même position : l’un peut être tourné ou retourné par rapport à l’autre.
Deux angles suffisent : si deux angles de l’un sont égaux à deux angles de l’autre, les troisièmes angles sont égaux aussi, car la somme des angles vaut 180° dans les deux triangles.
Les sommets des angles égaux sont dits homologues.
Pour démontrer que deux triangles sont semblables, on cherche deux paires d’angles égaux : un angle droit dans chacun, un angle commun, des angles opposés par le sommet, des angles alternes-internes ou correspondants formés par des droites parallèles, les angles à la base d’un triangle isocèle, ou un calcul avec 180°.
Deux triangles égaux sont semblables ; deux triangles semblables ne sont pas forcément égaux.

Exemples

Dans $A B C$ : $B A C$ $= 40 °$ et $A B C$ $= 60 °$ . Dans $P Q R$ : $P Q R$ $= 60 °$ et $P R Q$ $= 80 °$ .
On complète : $A C B$ $= 180 - 40 - 60 = 80 °$ et $Q P R$ $= 180 - 60 - 80 = 40 °$ . Les deux triangles ont des angles de $40 °$ , $60 °$ et $80 °$ : ils sont semblables, avec $A \leftrightarrow P$ , $B \leftrightarrow Q$ , $C \leftrightarrow R$ .

Les droites $(A E)$ et $(B D)$ se coupent en $C$ , et $(A B) ∥ (D E)$ (figure). Les angles $A C B$ et $E C D$ sont opposés par le sommet, donc égaux. Les angles $B A C$ et $D E C$ sont alternes-internes, formés par les parallèles $(A B)$ et $(D E)$ et la sécante $(A E)$ , donc égaux. Deux paires d’angles égaux : les triangles $A B C$ et $E D C$ sont semblables ( $A \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow D$ , $C \leftrightarrow C$ ).

Triangles emboîtés : si $M \in [A B]$ , $N \in [A C]$ et $(M N) ∥ (B C)$ , les triangles $A M N$ et $A B C$ ont l’angle $M A N$ en commun, et $A M N$ $=$ $A B C$ (angles correspondants). Ils sont semblables : c’est pour cela que $A M N$ est une réduction de $A B C$ .

$A B C$ est rectangle en $A$ et $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ (figure). Les triangles $H B A$ et $A B C$ ont chacun un angle droit ( $A H B$ et $B A C$ ) et l’angle $A B C$ en commun : ils sont semblables ( $H \leftrightarrow A$ , $B \leftrightarrow B$ , $A \leftrightarrow C$ ). De même, $H A C$ et $A B C$ ont un angle droit et l’angle $A C B$ en commun.

Cas toujours semblables : deux triangles équilatéraux (trois angles de $60 °$ ) ; deux triangles rectangles isocèles ( $90 °$ , $45 °$ , $45 °$ ) ; deux triangles rectangles qui ont un angle aigu de même mesure ; deux triangles isocèles qui ont le même angle au sommet.

Réflexe — je cherche deux paires d’angles égaux sur la figure (angle droit, angle commun, angles opposés par le sommet, parallèles) ; sinon, je calcule les troisièmes angles avec 180°.

Attention — deux triangles rectangles ne sont pas toujours semblables ( $90 °$ , $20 °$ , $70 °$ et $90 °$ , $45 °$ , $45 °$ ) : il faut aussi un angle aigu égal. Un seul angle égal ne suffit pas : deux triangles isocèles qui ont un angle de $40 °$ peuvent avoir pour angles $40 °$ , $70 °$ , $70 °$ et $40 °$ , $40 °$ , $100 °$ .

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Des côtés homologues proportionnels : le coefficient k

Ce qu’il faut savoir Propriété : si deux triangles sont semblables, les longueurs de leurs côtés homologues (opposés aux angles égaux) sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité

k

(

k > 0

) est le coefficient d’agrandissement ou de réduction du premier triangle vers le second : chaque côté du second est égal au côté homologue du premier multiplié par

k

.
Si

A B C

D E F

sont semblables, avec

A

B

C

homologues de

D

E

F

\frac{D E}{A B} = \frac{E F}{B C} = \frac{D F}{A C} = k

.
•

k > 1

D E F

est un agrandissement de

A B C

; •

0 < k < 1

: une réduction ; •

k = 1

: les triangles sont égaux. Du second vers le premier, le coefficient est

\frac{1}{k}

.
Réciproque : si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles, alors les triangles sont semblables.
Méthode par les côtés : je range les trois longueurs de chaque triangle dans l’ordre croissant (le plus petit côté de l’un est homologue du plus petit côté de l’autre, le plus grand du plus grand), je calcule les trois quotients dans le même sens et je compare.

Côtés de $A B C$	$A B = 4$	$B C = 6$	$A C = 7$
Côtés de $D E F$	$D E = 10$	$E F = 15$	$D F = 17, 5$
Quotient	$10 \div 4 = 2, 5$	$15 \div 6 = 2, 5$	$17, 5 \div 7 = 2, 5$

Exemples

Le tableau ci-dessus est un tableau de proportionnalité de coefficient $2, 5$ : $D E F$ est un agrandissement de $A B C$ , et $A B C$ une réduction de $D E F$ de coefficient $\frac{1}{2, 5} = 0, 4$ .

Triangle 1 : $5$ ; $7$ ; $9$ . Triangle 2 : $7, 5$ ; $10, 5$ ; $13, 5$ . On calcule $\frac{7, 5}{5} = 1, 5$ , $\frac{10, 5}{7} = 1, 5$ et $\frac{13, 5}{9} = 1, 5$ . Les trois quotients sont égaux : les triangles sont semblables, de coefficient $1, 5$ .

Triangle 1 : $5$ ; $7$ ; $9$ . Triangle 3 : $6$ ; $8, 4$ ; $11$ . $\frac{6}{5} = 1, 2$ et $\frac{8, 4}{7} = 1, 2$ , mais $\frac{11}{9} \approx 1, 22$ : un quotient diffère, les triangles ne sont pas semblables.

Un quotient peut ne pas tomber juste : pour $6$ ; $9$ ; $12$ et $8$ ; $12$ ; $16$ , on a $\frac{8}{6} = \frac{12}{9} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$ (on simplifie chaque fraction). Les triangles sont semblables, de coefficient $k = \frac{4}{3}$ : on garde la fraction, pas une valeur approchée.

Réflexe — je range les côtés, je calcule les trois quotients dans le même sens (second triangle sur premier) ; trois quotients égaux : semblables ; un seul différent : pas semblables.

Attention — deux quotients égaux ne suffisent pas : il faut vérifier le troisième. Les côtés comparés doivent être homologues (on range d’abord) et exprimés dans la même unité.

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Repérer les sommets et les côtés homologues

Ce qu’il faut savoir Dans deux triangles semblables :
• les sommets homologues sont les sommets des angles égaux ;
• les côtés homologues sont les côtés opposés (en face) aux angles égaux. C’est aussi le côté qui joint deux sommets homologues : si

A \leftrightarrow M

B \leftrightarrow P

, alors

[A B] \leftrightarrow [M P]

.
On écrit les deux triangles dans l’ordre des homologues : «

A B C

M P N

sont semblables » (dans cet ordre) veut dire

A \leftrightarrow M

B \leftrightarrow P

C \leftrightarrow N

. Les côtés homologues se lisent alors lettre à lettre :

A B \leftrightarrow M P

B C \leftrightarrow P N

A C \leftrightarrow M N

, et

\frac{M P}{A B} = \frac{P N}{B C} = \frac{M N}{A C}

.
Si l’on ne connaît que les longueurs, on range les côtés : comme toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre

k

, le plus petit côté de l’un est homologue du plus petit côté de l’autre, le moyen du moyen, le plus grand du plus grand.

Exemples

Dans $A B C$ : $B A C$ $= 30 °$ et $A B C$ $= 100 °$ . Dans $M N P$ : $M N P$ $= 50 °$ et $M P N$ $= 100 °$ (figure). On complète : $A C B$ $= 180 - 30 - 100 = 50 °$ et $N M P$ $= 180 - 50 - 100 = 30 °$ .
Homologues : $A \leftrightarrow M$ ( $30 °$ ), $B \leftrightarrow P$ ( $100 °$ ), $C \leftrightarrow N$ ( $50 °$ ). On écrit : $A B C$ et $M P N$ sont semblables.

Le côté $[B C]$ est opposé à l’angle de sommet $A$ ; son homologue est opposé à l’angle de sommet $M$ : c’est $[P N]$ . De même $[A B] \leftrightarrow [M P]$ (opposés aux angles de $50 °$ ) et $[A C] \leftrightarrow [M N]$ (opposés aux angles de $100 °$ ).

Sans figure : $E F G$ a pour côtés $E F = 3$ , $F G = 5$ , $E G = 4$ et $X Y Z$ , semblable, a pour côtés $X Y = 8$ , $Y Z = 6$ , $X Z = 10$ . Rangés : $3 < 4 < 5$ et $6 < 8 < 10$ , donc $[E F] \leftrightarrow [Y Z]$ , $[E G] \leftrightarrow [X Y]$ , $[F G] \leftrightarrow [X Z]$ (quotients $2$ ).

Réflexe — je cherche les angles égaux, j’écris les deux triangles dans l’ordre des homologues, puis je lis les côtés lettre à lettre.

Attention — la position sur la figure trompe : deux côtés dessinés « en bas » ne sont pas forcément homologues quand un triangle est tourné ou retourné. Et l’ordre des lettres d’un énoncé ne donne les homologues que s’il est précisé « dans cet ordre » ou « avec $A$ , $B$ , $C$ homologues de… ».

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Calculer une longueur, un périmètre ou une aire

Ce qu’il faut savoir Méthode : ① je justifie que les triangles sont semblables et je repère les homologues ; ② je calcule

k

avec deux côtés homologues connus :

k

= côté du second triangle ÷ côté homologue du premier ; ③ je multiplie par

k

pour obtenir un côté du second, je divise par

k

pour revenir au premier ; ④ je contrôle : dans un agrandissement, les longueurs trouvées sont plus grandes, et l’ordre des côtés (petit, moyen, grand) est conservé.
Périmètre et aire : si un triangle est agrandi ou réduit de coefficient

k

, son périmètre est multiplié par

k

et son aire par

k^{2}

. Si l’on connaît le rapport des aires,

k

est le nombre positif dont le carré vaut ce rapport.
Situations classiques : configuration de Thalès (triangles emboîtés ou papillon), hauteur issue de l’angle droit d’un triangle rectangle, miroir posé au sol (le rayon lumineux fait des angles égaux avec le sol), deux triangles rectangles qui ont un angle aigu égal.

Exemples

Les triangles $D E F$ et $R S T$ sont semblables, dans cet ordre ( $D \leftrightarrow R$ , $E \leftrightarrow S$ , $F \leftrightarrow T$ ). $E F = 5$ cm et $S T = 9$ cm, donc $k = \frac{S T}{E F} = \frac{9}{5} = 1, 8$ .
$D E = 6$ cm : son homologue mesure $R S = 6 \times 1, 8 = 10, 8$ cm.
$R T = 12, 6$ cm : son homologue mesure $D F = 12, 6 \div 1, 8 = 7$ cm (on revient au premier triangle : on divise).

Deux triangles rectangles ont un angle aigu égal : ils sont semblables. Dans le premier, le côté opposé à cet angle mesure $4, 8$ cm et l’hypoténuse $8$ cm ; dans le second, l’hypoténuse mesure $12$ cm. $k = \frac{12}{8} = 1, 5$ , donc le côté opposé à l’angle mesure $4, 8 \times 1, 5 = 7, 2$ cm dans le second.

Un triangle de périmètre $12$ cm et d’aire $6$ cm² est agrandi de coefficient $k = 2, 5$ : le nouveau périmètre vaut $12 \times 2, 5 = 30$ cm et la nouvelle aire $6 \times 2, 5^{2} = 6 \times 6, 25 = 37, 5$ cm².

Deux triangles semblables ont pour aires $20$ cm² et $180$ cm² : $k^{2} = \frac{180}{20} = 9$ , donc $k = 3$ (car $3^{2} = 9$ ). Les côtés du grand sont $3$ fois plus longs.

Réflexe — $k$ = côté d’arrivée ÷ côté homologue de départ ; $\times k$ à l’aller, $\div k$ au retour ; périmètre $\times k$ , aire $\times k^{2}$ .

Attention — « le périmètre double » ne veut pas dire « l’aire double » : l’aire est multipliée par $2^{2} = 4$ . Et $k$ se calcule avec deux côtés homologues, jamais avec deux côtés pris au hasard.

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Pour aller plus loin

Thalès — dans une configuration de Thalès (triangles emboîtés ou papillon), les deux triangles sont semblables : l’égalité des trois rapports est la proportionnalité de leurs côtés homologues. Configuration papillon, réciproque et contraposée : voir Théorème de Thalès : configuration papillon et réciproque.

Homothétie — l’image d’un triangle par une homothétie de rapport $k$ est un triangle semblable : les angles sont conservés et les longueurs multipliées par $k$ si $k > 0$ , par $- k$ si $k < 0$ (par exemple par $2$ pour un rapport $- 2$ ). Les volumes d’un solide agrandi sont multipliés par $k^{3}$ : voir Homothétie : agrandissement et réduction.

Trigonométrie — deux triangles rectangles qui ont un angle aigu égal sont semblables : les quotients de leurs côtés sont les mêmes, c’est pourquoi le cosinus, le sinus et la tangente ne dépendent que de l’angle. Voir Trigonométrie : cosinus, sinus, tangente.

À retenir

Deux triangles sont semblables quand leurs angles sont deux à deux égaux ; deux paires d’angles égaux suffisent, car la somme des angles vaut 180°.
Si deux triangles sont semblables, leurs côtés homologues sont proportionnels, et réciproquement : k = côté du second ÷ côté homologue du premier (k > 1 agrandissement, k < 1 réduction, k = 1 triangles égaux).
Par les côtés : je range les longueurs, je calcule les trois quotients ; un seul quotient différent suffit pour conclure que les triangles ne sont pas semblables.
Les côtés homologues sont opposés aux angles égaux ; j’écris les triangles dans l’ordre des homologues pour les lire lettre à lettre.
Pour calculer : longueur × k (ou ÷ k pour revenir), périmètre × k, aire × k².

Questions fréquentes

Que faut-il savoir de 4e pour étudier les triangles semblables ?

La somme des angles d’un triangle (180°), les triangles égaux et leurs éléments homologues, et l’agrandissement ou la réduction de coefficient k : toutes les longueurs sont multipliées par k, les angles ne changent pas et les aires sont multipliées par k². Par exemple, un côté de 2,5 cm agrandi de coefficient 2 devient un côté de 5 cm.

Comment savoir si deux triangles sont semblables avec les angles ?

Il suffit de trouver deux angles de l’un égaux à deux angles de l’autre : le troisième angle est alors égal aussi, puisque la somme vaut 180°. Un triangle d’angles 54° et 38° a un troisième angle de 88° ; il est semblable à tout triangle qui a des angles de 38° et 88°. Sur une figure, on cherche un angle droit, un angle commun, des angles opposés par le sommet ou des angles formés par des parallèles.

Que veut dire « les côtés sont proportionnels » ?

Les côtés de l’un s’obtiennent en multipliant les côtés homologues de l’autre par un même nombre k. Pour les triangles de côtés 2 ; 5 ; 6 et 5 ; 12,5 ; 15, les quotients 5 ÷ 2, 12,5 ÷ 5 et 15 ÷ 6 valent tous 2,5 : les triangles sont semblables, de coefficient 2,5. C’est aussi une façon de démontrer que deux triangles sont semblables (réciproque).

Comment trouver les côtés homologues de deux triangles semblables ?

Un côté a pour homologue le côté opposé à l’angle égal. On écrit les triangles dans l’ordre des homologues (« ABC et MPN » si A ↔ M, B ↔ P, C ↔ N) et on lit les côtés lettre à lettre : AB ↔ MP, BC ↔ PN, AC ↔ MN. Sans les angles, on range les côtés : le plus petit de l’un correspond au plus petit de l’autre.

Comment calculer une longueur avec des triangles semblables ?

On calcule le coefficient k avec deux côtés homologues connus, puis on multiplie par k (ou on divise par k pour revenir au premier triangle). Si un côté de 3,5 cm a pour homologue un côté de 14 cm, k = 4 : un côté de 5 cm a pour homologue un côté de 20 cm, et l’aire est multipliée par 4² = 16.

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