Qu'est-ce que deux triangles semblables ?

Deux triangles sont semblables si leurs angles sont deux à deux de même mesure. Il suffit que deux angles soient égaux, car le troisième se déduit de la somme des angles (180°). Deux triangles semblables ont la même forme, pas forcément la même taille.

Quelle propriété ont les côtés de deux triangles semblables ?

Les longueurs des côtés homologues (opposés aux angles égaux) sont proportionnelles : chaque côté de l'un est égal au côté correspondant de l'autre multiplié par un même nombre $k$, le coefficient d'agrandissement ($k > 1$) ou de réduction ($k < 1$). Réciproquement, si les trois côtés sont proportionnels, les triangles sont semblables.

Comment démontrer que deux triangles sont semblables ?

Soit on montre que deux angles de l'un sont égaux à deux angles de l'autre, soit on vérifie que les quotients des longueurs des côtés, rangés du plus petit au plus grand, sont tous égaux.

Que devient l'aire d'un triangle agrandi de coefficient k ?

Les longueurs sont multipliées par $k$, le périmètre aussi, mais l'aire est multipliée par $k^2$. Un triangle agrandi de coefficient 3 a une aire 9 fois plus grande.

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Triangles semblables

Q: Comment démontrer que deux triangles sont semblables ?

Soit on montre que deux angles de l'un sont égaux à deux angles de l'autre, soit on vérifie que les quotients des longueurs des côtés, rangés du plus petit au plus grand, sont tous égaux.

Q: Que devient l'aire d'un triangle agrandi de coefficient k ?

Les longueurs sont multipliées par $k$, le périmètre aussi, mais l'aire est multipliée par $k^2$. Un triangle agrandi de coefficient 3 a une aire 9 fois plus grande.

Définition par les angles, côtés homologues proportionnels, coefficient d'agrandissement ou de réduction, démontrer que deux triangles sont semblables, lien avec Thalès et l'homothétie, effet sur les aires (programme de 3e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en troisième sur « Triangles semblables » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Définition : des angles deux à deux égaux, Les côtés homologues sont proportionnels, Démontrer que deux triangles sont semblables, Repérer les côtés homologues et calculer une longueur. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.

Définition : des angles deux à deux égaux

Définition. Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure. Ils ont la même forme, mais pas nécessairement la même taille ni la même position.

Propriété. Il suffit que deux angles de l'un soient égaux à deux angles de l'autre : le troisième angle est alors égal aussi, car la somme des angles d'un triangle vaut

180 °

Exemple. Un triangle

A B C

a des angles de

40 °

60 °

; un triangle

P Q R

a des angles de

60 °

80 °

. Le troisième angle de

A B C

vaut

180 - 40 - 60 = 80 °

; celui de

P Q R

vaut

180 - 60 - 80 = 40 °

. Les deux triangles ont les mêmes angles (

40 °

60 °

80 °

) : ils sont semblables.

Vocabulaire. Les sommets où se trouvent des angles égaux sont dits homologues ; les côtés opposés à des angles égaux sont des côtés homologues.

Attention ! Deux triangles semblables peuvent être tournés ou retournés l'un par rapport à l'autre : on repère les angles égaux, pas la position.

Les côtés homologues sont proportionnels

Propriété. Si deux triangles sont semblables, les longueurs de leurs côtés homologues sont proportionnelles : il existe un nombre

k > 0

tel que chaque côté du second est égal au côté homologue du premier multiplié par

k

.
• Si

k > 1

: le second est un agrandissement du premier.
• Si

k < 1

: c'est une réduction.
• Si

k = 1

: les triangles sont superposables (égaux).

Exemple.

A B C

D E F

semblables avec

A

B

C

homologues de

D

E

F

Côtés de $A B C$	$A B = 4$	$B C = 6$	$A C = 7$
Côtés de $D E F$	$D E = 10$	$E F = 15$	$D F = 17, 5$
Quotient	$2, 5$	$2, 5$	$2, 5$

Réciproque. Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles (les trois quotients sont égaux), alors les triangles sont semblables.

Astuce. Les côtés homologues se correspondent aussi par la taille : le plus petit côté de l'un est homologue du plus petit côté de l'autre, le plus grand du plus grand.

Démontrer que deux triangles sont semblables

Deux méthodes.
① Par les angles : montrer que deux angles de l'un sont égaux à deux angles de l'autre (angle droit, angles alternes-internes, angles opposés par le sommet, angle commun, calcul avec

180 °

…).
② Par les côtés : ranger les trois côtés de chaque triangle du plus petit au plus grand, calculer les trois quotients ; s'ils sont égaux, les triangles sont semblables.

Exemple (côtés). Triangle 1 :

5

;

7

;

9

. Triangle 2 :

7, 5

;

10, 5

;

13, 5

. On calcule

\frac{7, 5}{5} = 1, 5

\frac{10, 5}{7} = 1, 5

\frac{13, 5}{9} = 1, 5

. Les quotients sont égaux : les triangles sont semblables, de coefficient

1, 5

Exemple (angles).

A B C

est rectangle en

A

\hat{B} = 35 °

;

D E F

est rectangle en

D

\hat{F} = 55 °

. Alors

\hat{E} = 35 °

: les deux triangles ont un angle droit et un angle de

35 °

, ils sont semblables.

Attention ! Un seul quotient différent suffit pour conclure que les triangles ne sont pas semblables :

\frac{6}{5} = 1, 2

\frac{8, 4}{7} = 1, 2

mais

\frac{11}{9} \approx 1, 22

: non semblables.

Repérer les côtés homologues et calculer une longueur

Méthode. ① Identifier les angles égaux et donc les sommets homologues. ② Le côté homologue de

[B C]

est le côté opposé à l'angle homologue de

\hat{A}

. ③ Calculer le coefficient

k

avec deux côtés homologues connus. ④ Multiplier (ou diviser) par

k

Exemple. Dans

A B C

\hat{A} = 30 °

\hat{B} = 100 °

. Dans

M N P

\hat{N} = 50 °

\hat{P} = 100 °

. On complète :

\hat{C} = 50 °

\hat{M} = 30 °

. Homologues :

A \leftrightarrow M

B \leftrightarrow P

C \leftrightarrow N

.
Le côté

[B C]

(opposé à

\hat{A}

) est homologue de

[P N]

(opposé à

\hat{M}

). Si

B C = 6

cm et

P N = 9

cm, alors

k = 1, 5

; si

A B = 4

cm, son homologue

M P

(opposé à

\hat{N}

, homologue de

\hat{C}

) mesure

4 \times 1, 5 = 6

cm.

Astuce. Écris les deux triangles en respectant l'ordre des sommets homologues (

A B C

M P N

) : les côtés homologues se lisent alors lettre à lettre (

A B \leftrightarrow M P

B C \leftrightarrow P N

A C \leftrightarrow M N

Lien avec le théorème de Thalès et l'homothétie

Configuration de Thalès. Si

M \in [A B]

N \in [A C]

(M N) ∥ (B C)

, les triangles

A M N

A B C

sont semblables : ils ont l'angle

\hat{A}

en commun et

\hat{A M N} = \hat{A B C}

(angles correspondants). L'égalité des rapports

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

est exactement la proportionnalité des côtés homologues.

Homothétie. L'image d'un triangle par une homothétie de rapport

k

est un triangle semblable, de coefficient

| k |

: les angles sont conservés, les longueurs multipliées par

| k |

Ce que les triangles semblables ajoutent. Thalès et l'homothétie donnent des triangles semblables « bien placés » (côtés parallèles). Deux triangles semblables peuvent être n'importe où : tournés, retournés, sans côtés parallèles. Le miroir posé au sol, la hauteur issue de l'angle droit, deux triangles rectangles ayant un angle aigu commun en sont des exemples.

Astuce. Face à deux triangles non alignés, cherche d'abord les angles égaux (angle droit, angle commun, angles opposés par le sommet) avant tout calcul.

Effet sur le périmètre et sur l'aire

Propriété. Si un triangle est agrandi (ou réduit) de coefficient

k

:
• chaque longueur est multipliée par

k

, donc le périmètre est multiplié par

k

;
• l'aire est multipliée par

k^{2}

Exemple. Un triangle de périmètre

12

cm et d'aire

6

cm² est agrandi avec

k = 2, 5

: le nouveau périmètre vaut

30

cm et la nouvelle aire

6 \times 2, 5^{2} = 37, 5

cm².

Retrouver $k$ à partir des aires. Deux triangles semblables ont pour aires

20

cm² et

180

cm² :

k^{2} = 9

, donc

k = 3

Attention ! « Le périmètre double » ne signifie pas « l'aire double » : l'aire est multipliée par

4

Méthodes et erreurs fréquentes

Les quatre erreurs classiques.
① Comparer des côtés qui ne sont pas homologues (toujours ranger du plus petit au plus grand, ou repérer les angles opposés).
② Croire que deux triangles rectangles sont toujours semblables : il faut aussi un angle aigu commun.
③ Multiplier l'aire par

k

au lieu de

k^{2}

.
④ Conclure « semblables » avec un seul quotient : il en faut trois égaux (ou deux angles égaux).

Contrôle du résultat. Dans un agrandissement, toutes les longueurs trouvées doivent être plus grandes ; l'ordre des côtés (petit, moyen, grand) est conservé.

En bref

Triangles semblables = angles deux à deux égaux (deux angles suffisent).
Côtés homologues (opposés aux angles égaux) proportionnels : coefficient $k$ d'agrandissement ( $k > 1$ ) ou de réduction ( $k < 1$ ).
Démontrer : deux angles égaux, ou trois quotients de côtés égaux (rangés du plus petit au plus grand).
Thalès et homothétie produisent des triangles semblables ; mais des triangles semblables peuvent être tournés ou retournés.
Périmètre $\times k$ ; aire $\times k^{2}$ .

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