Quel est l'énoncé du théorème de Thalès en 3e ?

Si deux droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en un point $A$, et si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors les longueurs sont proportionnelles : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$. Ces trois rapports égaux permettent de calculer une longueur manquante par produit en croix.

À quoi sert le théorème de Thalès ?

Il sert à calculer une longueur que l'on ne peut pas mesurer directement, dès que l'on reconnaît deux droites parallèles dans une figure (configuration en triangle ou en papillon). Par exemple, il permet de trouver la hauteur d'un arbre ou la largeur d'une rivière à partir de mesures plus simples.

Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?

Le théorème de Thalès part du parallélisme pour obtenir l'égalité des rapports : on connaît le parallélisme, on calcule une longueur. La réciproque part de l'égalité des rapports (dans le bon ordre, points alignés) pour démontrer que deux droites sont parallèles : on connaît les longueurs, on prouve le parallélisme.

Comment savoir si deux droites sont parallèles avec Thalès ?

On utilise la réciproque : on vérifie d'abord que les points $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre, puis on calcule séparément $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$. Si ces deux rapports sont égaux, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Collège · 3ᵉ · Mathématiques

Le théorème de Thalès

Configuration de Thalès, égalité des rapports, calcul de longueurs et réciproque pour prouver le parallélisme (programme de 3e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en troisième sur « Le théorème de Thalès » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître une configuration de Thalès, Le théorème de Thalès : l'égalité des rapports, Méthode : calculer une longueur manquante, La configuration « papillon ». Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.

Reconnaître une configuration de Thalès

Le théorème de Thalès relie des longueurs dès qu'une figure contient deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes. Avant tout calcul, il faut savoir reconnaître la configuration et nommer correctement les points.

Configuration de Thalès. Deux droites sont sécantes en $A$. La première porte les points $M$ et $B$, la seconde les points $N$ et $C$. Si $(MN)\,//\,(BC)$, on dit que les points $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ forment une configuration de Thalès.

Dans la configuration « en triangles emboîtés », $M$ est sur le segment $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ : le petit triangle $AMN$ est contenu dans le grand triangle $ABC$, et les deux triangles ont le sommet $A$ en commun.

Attention ! Trois conditions sont indispensables : les droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $A$, les points sont alignés ($A$, $M$, $B$ d'une part, $A$, $N$, $C$ d'autre part) et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. Sans parallélisme, aucune égalité de rapports n'est possible.

Réflexe. Commence toujours par repérer le sommet commun $A$ : c'est le point de départ de toutes les longueurs qui entrent dans les rapports.

Le théorème de Thalès : l'égalité des rapports

Théorème de Thalès. Soit deux droites sécantes en $A$, la première portant $M$ et $B$, la seconde portant $N$ et $C$. Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors :
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

Chaque rapport compare une longueur du petit triangle $AMN$ (numérateur) à la longueur correspondante du grand triangle $ABC$ (dénominateur). Les deux premiers rapports sont pris sur les sécantes, le troisième sur les côtés parallèles.

Sur la 1^re sécante	$AM$ (petit) et $AB$ (grand)
Sur la 2^e sécante	$AN$ (petit) et $AC$ (grand)
Sur les parallèles	$MN$ (petit) et $BC$ (grand)

Exemple. $AM = 3$ cm, $AB = 7{,}5$ cm et $AN = 2{,}8$ cm. Le rapport de réduction vaut $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{7{,}5} = 0{,}4$. Donc $\dfrac{AN}{AC} = 0{,}4$, d'où $AC = \dfrac{2{,}8}{0{,}4} = 7$ cm.

Astuce pour ne pas mélanger. Écris d'abord les trois rapports avec les lettres, en partant de $A$ à chaque fois, puis remplace par les valeurs. Un rapport « $\dfrac{AM}{BC}$ » est forcément faux : il mélange une sécante et une parallèle.

Méthode : calculer une longueur manquante

C'est l'usage principal du théorème. La rédaction attendue au brevet suit toujours les mêmes étapes.

Étape 1	Citer les hypothèses : « $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et $(MN)\,//\,(BC)$ ».
Étape 2	« D'après le théorème de Thalès : » écrire l'égalité des trois rapports avec les lettres.
Étape 3	Garder les deux rapports utiles : celui qui contient l'inconnue et un rapport dont les deux longueurs sont connues.
Étape 4	Faire le produit en croix, donner la valeur exacte, puis arrondir si l'énoncé le demande.

Exemple rédigé. $AM = 4{,}5$ cm, $AB = 12$ cm, $BC = 9{,}2$ cm ; on cherche $MN$.
Les points $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés et $(MN)\,//\,(BC)$. D'après le théorème de Thalès : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$, soit $\dfrac{4{,}5}{12} = \dfrac{MN}{9{,}2}$.
Donc $MN = \dfrac{4{,}5 \times 9{,}2}{12} = \dfrac{41{,}4}{12} = 3{,}45$ cm.

Attention ! Si l'énoncé donne $MB$ et non $AB$, il faut d'abord calculer $AB = AM + MB$ : les rapports utilisent toujours les longueurs à partir de $A$. Vérifie aussi que toutes les longueurs sont dans la même unité avant le produit en croix.

La configuration « papillon »

Les deux triangles peuvent être placés de part et d'autre du point $A$ : la figure ressemble alors à un nœud papillon. Le point $A$ est entre $M$ et $B$, et entre $N$ et $C$.

Configuration papillon. Les points sont alignés dans l'ordre $M$, $A$, $B$ sur une droite et $N$, $A$, $C$ sur l'autre. Si $(MN)\,//\,(BC)$, alors on a toujours $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.

Rien ne change dans l'égalité : les longueurs partent encore toutes de $A$. Seule la position des triangles diffère. On rencontre cette configuration dans les problèmes de visée (un observateur regarde par-dessus un obstacle) ou de projection (une lampe projette l'ombre d'un objet sur un mur).

Exemple. Dans un papillon, $AM = 6$ cm, $AB = 10{,}5$ cm et $MN = 4{,}4$ cm. Alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$ donne $\dfrac{6}{10{,}5} = \dfrac{4{,}4}{BC}$, donc $BC = \dfrac{10{,}5 \times 4{,}4}{6} = 7{,}7$ cm.

Astuce. Emboîtée ou papillon, la question à se poser est la même : « quels points se correspondent ? ». $M$ correspond à $B$ (même sécante), $N$ à $C$, et $[MN]$ à $[BC]$.

La réciproque : prouver un parallélisme

Le théorème de Thalès suppose le parallélisme et en déduit des longueurs. La réciproque fait le chemin inverse : à partir des longueurs, elle démontre que deux droites sont parallèles.

Réciproque du théorème de Thalès. Si les points $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre, et si $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},$$ alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Étape 1	Vérifier l'alignement des points dans le même ordre (les deux emboîtés, ou les deux en papillon).
Étape 2	Calculer séparément $\dfrac{AM}{AB}$ puis $\dfrac{AN}{AC}$, avec des valeurs exactes (fractions simplifiées ou décimaux exacts).
Étape 3	Comparer. Si les deux rapports sont égaux : « d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\,//\,(BC)$ ».

Exemple rédigé. $AM = 5{,}6$, $AB = 8$, $AN = 4{,}2$, $AC = 6$, points alignés dans le même ordre.
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{5{,}6}{8} = 0{,}7$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4{,}2}{6} = 0{,}7$. Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\,//\,(BC)$.

Attention ! Le rapport $\dfrac{MN}{BC}$ ne sert jamais dans la réciproque : il n'a de sens que si l'on sait déjà que les droites sont parallèles.

La contraposée : prouver que deux droites ne sont pas parallèles

Si les deux rapports calculés sont différents, le théorème de Thalès ne peut pas s'appliquer : les droites ne sont donc pas parallèles. C'est la contraposée du théorème.

Contraposée du théorème de Thalès. Si les points $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre et si $\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}$, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Exemple. $AM = 3{,}6$, $AB = 5{,}4$, $AN = 2{,}8$, $AC = 4{,}5$. On a $\dfrac{3{,}6}{5{,}4} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{2{,}8}{4{,}5} = \dfrac{28}{45}$. Or $\dfrac{2}{3} = \dfrac{30}{45} \neq \dfrac{28}{45}$ : les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Attention aux arrondis ! $\dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$ et $\dfrac{28}{45} \approx 0{,}62$ : des valeurs proches ne sont pas égales. Compare des valeurs exactes (fractions au même dénominateur ou produits en croix $AM \times AC$ et $AN \times AB$), jamais des arrondis.

Bon réflexe. Pour comparer $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$, compare les produits $a \times d$ et $b \times c$ : ils sont égaux si et seulement si les rapports le sont.

Réduction, agrandissement et mesures inaccessibles

Dans une configuration de Thalès, le triangle $AMN$ est une réduction du triangle $ABC$ de rapport $k = \dfrac{AM}{AB}$ (si $k \lt 1$) ou un agrandissement (si $k \gt 1$).

Propriétés d'une réduction ou d'un agrandissement de rapport $k$. Les longueurs sont multipliées par $k$, les angles sont conservés, les aires sont multipliées par $k^2$.

Exemple. Si $AM = 2$ cm et $AB = 5$ cm, alors $k = 0{,}4$ : le périmètre de $AMN$ vaut $0{,}4$ fois celui de $ABC$, et son aire $0{,}4^2 = 0{,}16$ fois celle de $ABC$.

Le théorème permet aussi de mesurer des longueurs inaccessibles : un bâton planté au sol et son ombre forment un triangle réduit de celui formé par un arbre et son ombre, car les rayons du soleil sont parallèles. Le rapport hauteur/ombre est le même pour les deux.

Exemple. Un bâton de $1{,}2$ m projette une ombre de $1{,}5$ m tandis que l'ombre d'un arbre mesure $7{,}5$ m. Le rapport hauteur/ombre vaut $\dfrac{1{,}2}{1{,}5} = 0{,}8$, donc l'arbre mesure $0{,}8 \times 7{,}5 = 6$ m.

En bref

Configuration : deux droites sécantes en $A$, points alignés, et $(MN)\,//\,(BC)$.
Théorème : si $(MN)\,//\,(BC)$, alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ (numérateurs = petit triangle, tout part de $A$).
Calculer une longueur : hypothèses → théorème → deux rapports utiles → produit en croix → valeur exacte.
Réciproque : points dans le même ordre et $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ ⟹ $(MN)\,//\,(BC)$.
Contraposée : rapports différents ⟹ droites non parallèles (comparer des valeurs exactes).
Réduction de rapport $k$ : longueurs × $k$, angles conservés, aires × $k^2$.

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