Théorème de Thalès : configuration papillon et réciproque

En 4ᵉ, le théorème de Thalès a été étudié dans des triangles emboîtés. Cette partie reprend tout ce qu’il faut en savoir ; la 3ᵉ ajoute la configuration papillon (cas 2) et la réciproque dans les deux configurations (cas 3).

Réflexe — je repère le sommet commun, puis j’écris les trois rapports avec les lettres, en partant de ce sommet : côtés du triangle $AMN$ en haut, côtés correspondants du triangle $ABC$ en bas. Ensuite seulement, je remplace par les valeurs.

Attention — sans droites parallèles, pas de théorème de Thalès. ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}$ n’est pas un rapport de Thalès (l’égalité ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{AN}{NC}}$ est vraie aussi, mais ce n’est pas celle du théorème), et un rapport comme ${\displaystyle \frac{AM}{BC}}$ mélange une sécante et un côté parallèle : il est faux. Toutes les longueurs doivent être dans la même unité avant le produit en croix.

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Les angles $MAN$ et $BAC$ sont opposés par le sommet, donc égaux ; comme $(MN)\parallel (BC)$, les angles alternes-internes $AMN$ et $ABC$ sont égaux eux aussi. Le triangle $AMN$ est une réduction ou un agrandissement du triangle $ABC$ : en papillon, l’un ou l’autre peut être le plus grand, et le rapport ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ peut dépasser 1.

Emboîtée ou papillon ?

Réflexe — je cherche le point où se coupent les deux droites : c’est $A$, le point de départ de toutes les longueurs. Puis je me demande « quels points se correspondent ? » : ceux qui sont sur la même droite issue de $A$.

Attention — en papillon, $MB$ n’est pas $AB-AM$ : c’est $MA+AB$, car $A$ est entre $M$ et $B$. Et le triangle $AMN$ n’est pas toujours le plus petit : je contrôle mon résultat avec le rapport (si ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ est plus grand que 1, $MN$ est plus long que $BC$).

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Pourquoi l’ordre des points compte

Sur la figure, $M\in [AB]$ avec $AM=2$ cm et $AB=5$ cm, mais $N$ est de l’autre côté de $A$ que $C$, avec $AN=3,2$ cm et $AC=8$ cm. Les rapports sont égaux ($2÷5=0,4$ et $3,2÷8=0,4$), et pourtant $(MN)$ n’est pas parallèle à $(BC)$ : la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe la droite $(AC)$ en un seul point, le point $P$ de $[AC]$ tel que $AP=3,2$ cm, et non en $N$. Les points ne sont pas dans le même ordre ($A$, $M$, $B$ d’un côté, $N$, $A$, $C$ de l’autre) : la réciproque ne s’applique pas.

Les milieux. Si $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$, alors ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et les points sont dans le même ordre : d’après la réciproque, $(MN)\parallel (BC)$.

Réflexe — pour prouver un parallélisme, je vérifie d’abord l’ordre des points, puis je compare ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ et ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ en valeurs exactes : égaux, j’utilise la réciproque ; différents, la contraposée.

Attention — le rapport ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}$ ne sert pas : on ne sait pas encore que les droites sont parallèles. Et des valeurs approchées égales ne prouvent rien : ${\displaystyle \frac{2}{3}}\approx 0,67$ et ${\displaystyle \frac{67}{100}}=0,67$, pourtant ${\displaystyle \frac{2}{3}}\ne {\displaystyle \frac{67}{100}}$.

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Un peu d’histoire. Thalès de Milet est un savant grec du VIᵉ siècle avant J.-C. D’après Diogène Laërce, qui cite Hiéronymos de Rhodes, il aurait mesuré la hauteur des pyramides d’Égypte en attendant le moment où son ombre était égale à sa taille ; Plutarque en donne une version plus romancée, avec un bâton planté au bout de l’ombre de la pyramide. Aucun texte ancien ne lui attribue pourtant le théorème. Ce nom n’est d’ailleurs pas utilisé partout : en Allemagne, on parle du Strahlensatz (« théorème des demi-droites »), dans les pays de langue anglaise de l’intercept theorem, et le « théorème de Thalès » y désigne souvent une autre propriété : un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle.

Réflexe — je fais un schéma, j’y place les lettres de l’énoncé, je repère le point commun et les deux parallèles, puis je décide : emboîtés ou papillon ?

Attention — toutes les longueurs dans la même unité, l’arrondi seulement à la fin, et un résultat plausible : deux bouées à $45$ m, pas à $4,5$ m.

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