Quel est l'énoncé du théorème de Thalès en 3e ?

Si deux droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en un point $A$, et si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors les longueurs sont proportionnelles : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$. Ces trois rapports égaux permettent de calculer une longueur manquante par produit en croix.

À quoi sert le théorème de Thalès ?

Il sert à calculer une longueur que l'on ne peut pas mesurer directement, dès que l'on reconnaît deux droites parallèles dans une figure (configuration en triangle ou en papillon). Par exemple, il permet de trouver la hauteur d'un arbre ou la largeur d'une rivière à partir de mesures plus simples.

Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?

Le théorème de Thalès part du parallélisme pour obtenir l'égalité des rapports : on connaît le parallélisme, on calcule une longueur. La réciproque part de l'égalité des rapports (dans le bon ordre, points alignés) pour démontrer que deux droites sont parallèles : on connaît les longueurs, on prouve le parallélisme.

Comment savoir si deux droites sont parallèles avec Thalès ?

On utilise la réciproque : on vérifie d'abord que les points $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre, puis on calcule séparément $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$. Si ces deux rapports sont égaux, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

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Mathématiques · Classe de 3ᵉ

Le théorème de Thalès

Configuration de Thalès, égalité des rapports, calcul de longueurs et réciproque pour prouver le parallélisme (programme de 3e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en troisième sur « Le théorème de Thalès » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître une configuration de Thalès, Le théorème de Thalès : l'égalité des rapports, Méthode : calculer une longueur manquante, La configuration « papillon ». Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.

Au programme

1 · Reconnaître une configuration de Thalès

2 · Le théorème de Thalès : l'égalité des rapports

3 · Méthode : calculer une longueur

4 · La configuration « papillon »

5 · La réciproque : prouver le parallélisme

6 · Contraposée : prouver que deux droites ne sont pas parallèles

7 · Thalès dans la vie réelle

1Reconnaître une configuration de Thalès

Le théorème de Thalès relie des longueurs lorsqu'une figure contient deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes. Avant tout calcul, il faut savoir reconnaître la configuration.

La configuration de Thalès. On part d'un point $A$ par lequel passent deux droites. La première coupe la figure aux points $B$ et $M$, la seconde aux points $C$ et $N$. Si la droite $(MN)$ est parallèle à la droite $(BC)$, on dit qu'on est dans une configuration de Thalès.

Le schéma ci-dessous montre la configuration « en triangle » : le petit triangle $AMN$ est emboîté dans le grand triangle $ABC$, et $(MN)\ \text{//}\ (BC)$.

Attention ! Pour appliquer Thalès, il faut trois conditions : les droites $(BM)$ et $(CN)$ doivent être sécantes en $A$, les points doivent être alignés ($A$, $M$, $B$ d'un côté et $A$, $N$, $C$ de l'autre), et les droites $(MN)$ et $(BC)$ doivent être parallèles.

2Le théorème de Thalès : l'égalité des rapports

Théorème de Thalès. Soit deux droites sécantes en $A$. La première contient les points $M$ et $B$, la seconde les points $N$ et $C$.
Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors :
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

Les trois rapports sont égaux. Chaque rapport compare une longueur du petit triangle $AMN$ à la longueur correspondante du grand triangle $ABC$. Il faut bien respecter l'ordre des points : au numérateur les sommets du petit triangle, au dénominateur ceux du grand triangle.

Astuce pour écrire les rapports. Lis chaque rapport en suivant un côté : $\dfrac{\text{petit}}{\text{grand}}$. Place toujours le sommet commun $A$ en premier dans chaque longueur : $AM$ et $AB$ sur une droite, $AN$ et $AC$ sur l'autre, puis $MN$ et $BC$ pour les côtés parallèles.

Exemple. Si $AM = 3$ cm, $AB = 6$ cm et $AN = 4$ cm, on a $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$. Donc $\dfrac{AN}{AC} = 0{,}5$ aussi : on en déduit que $AC = \dfrac{AN}{0{,}5} = \dfrac{4}{0{,}5} = 8$ cm.

3Méthode : calculer une longueur manquante

Le théorème sert surtout à calculer une longueur qu'on ne connaît pas. On suit toujours les mêmes étapes.

Étape 1	Vérifier (ou citer) que $(MN)\ \text{//}\ (BC)$ et que les points sont alignés.
Étape 2	Écrire l'égalité de Thalès : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.
Étape 3	Garder seulement les deux rapports utiles (celui avec l'inconnue et un rapport entièrement connu).
Étape 4	Faire le produit en croix et isoler l'inconnue.

Exemple résolu. On donne $AM = 4$ cm, $AB = 10$ cm, $BC = 15$ cm. On cherche $MN$.
Comme $(MN)\ \text{//}\ (BC)$, Thalès donne $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$, soit $\dfrac{4}{10} = \dfrac{MN}{15}$.
Produit en croix : $MN = \dfrac{4 \times 15}{10} = \dfrac{60}{10} = 6$ cm.

Attention ! Ne mélange jamais les longueurs de deux droites différentes dans un même produit en croix. Choisis le rapport contenant l'inconnue, et un second rapport dont les deux longueurs sont connues.

4La configuration « papillon »

Parfois les deux triangles sont placés de part et d'autre du point $A$ : la figure ressemble alors à un papillon (ou un nœud papillon). Le théorème s'applique exactement de la même façon.

Configuration papillon. Les points sont alignés ainsi : $M$, $A$, $B$ sur une droite et $N$, $A$, $C$ sur l'autre, avec $A$ entre les triangles. Si $(MN)\ \text{//}\ (BC)$, alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.

Les deux situations possibles sont résumées ci-dessous :

Exemple. Dans un papillon, $AM = 5$, $AB = 8$ et $AN = 7{,}5$. On calcule $AC$ : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ donne $\dfrac{5}{8} = \dfrac{7{,}5}{AC}$, donc $AC = \dfrac{8 \times 7{,}5}{5} = 12$.

Astuce. Que la figure soit « emboîtée » ou « papillon », l'égalité des rapports est identique. Concentre-toi sur les couples de points qui se correspondent, pas sur l'apparence du dessin.

5La réciproque : prouver le parallélisme

Le théorème de Thalès suppose le parallélisme pour calculer des longueurs. La réciproque fait l'inverse : à partir des longueurs, elle démontre que deux droites sont parallèles.

Réciproque du théorème de Thalès. Si les points $A$, $M$, $B$ sont alignés et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre, et si $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},$$ alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Étape 1	Vérifier que les points sont alignés dans le même ordre sur les deux droites.
Étape 2	Calculer séparément $\dfrac{AM}{AB}$ puis $\dfrac{AN}{AC}$.
Étape 3	Comparer : si les deux résultats sont égaux, conclure que $(MN)\ \text{//}\ (BC)$.

Exemple résolu. $AM = 3$, $AB = 4{,}5$, $AN = 2$, $AC = 3$, points alignés dans le même ordre.
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{2}{3}$. Les rapports sont égaux, donc $(MN)\ \text{//}\ (BC)$.

6Contraposée : prouver que deux droites ne sont pas parallèles

La réciproque a une cousine très utile : la contraposée. Elle permet de prouver que deux droites ne sont pas parallèles.

Contraposée. Si les points sont alignés dans le même ordre mais que $$\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC},$$ alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Exemple. $AM = 2$, $AB = 5$, $AN = 3$, $AC = 7$. On compare : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{7} \approx 0{,}43$. Comme $0{,}4 \neq 0{,}43$, les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Le graphique compare les deux rapports : s'ils ont la même hauteur, les droites sont parallèles ; sinon, non.

Attention ! Pour comparer deux fractions, mets-les sous forme décimale ou réduis-les. Une petite différence (comme $0{,}4$ contre $0{,}43$) suffit à conclure que les droites ne sont pas parallèles.

7Thalès dans la vie réelle

Le théorème de Thalès permet de mesurer des longueurs inaccessibles : la hauteur d'un immeuble, la largeur d'un lac, la taille d'une montagne… On crée deux triangles semblables grâce à des mesures simples au sol.

Exemple : la hauteur d'un arbre. Un piquet de $1{,}5$ m projette une ombre de $2$ m au même moment où un arbre projette une ombre de $10$ m. Les rayons du soleil sont parallèles, donc Thalès s'applique : $\dfrac{1{,}5}{2} = \dfrac{h}{10}$, d'où $h = \dfrac{1{,}5 \times 10}{2} = 7{,}5$ m.

Le graphique illustre la proportionnalité entre la taille d'un objet et son ombre, au même instant :

Astuce. Dès qu'une situation contient deux longueurs proportionnelles et des droites parallèles (rayons du soleil, fils tendus, visées), pense à Thalès pour retrouver une mesure manquante.