Configuration, calcul de longueurs, réciproque et agrandissement
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Le théorème de Thalès » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : La configuration de Thalès, L'énoncé du théorème de Thalès, Calculer une longueur avec Thalès — méthode pas à pas, Choisir la bonne fraction selon l'inconnue. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · La configuration de Thalès (triangle)
2 · L'énoncé du théorème
3 · Calculer une longueur (produit en croix)
4 · Choisir la bonne fraction
5 · La configuration papillon
6 · La réciproque : prouver le parallélisme
7 · La contraposée : prouver le non-parallélisme
8 · Thalès et l'agrandissement-réduction
9 · Problèmes de type brevet
1La configuration de Thalès
Le théorème de Thalès s'utilise dans une configuration bien précise : deux droites sécantes (qui se croisent en un point) coupées par deux droites parallèles.
La configuration « triangle ». Deux droites se coupent en un point A. Une première parallèle coupe ces droites en B et C ; une seconde parallèle (parallèle à la première) les coupe en M et N. On obtient deux triangles « emboîtés » de sommet commun A.
Ici (MN) est parallèle à (BC). On dit que M et N sont sur les côtés [AB] et [AC] du triangle ABC, et que (MN) est parallèle au troisième côté (BC).
⚠️ Pour appliquer Thalès, il faut impérativement deux choses : des droites sécantes (un point commun A) et des droites parallèles (MN)//(BC). S'il n'y a pas de parallèles, le théorème ne s'applique pas.
💡 Il existe aussi la configuration « papillon » (ou « nœud papillon ») : le point A est entre les deux parallèles. On la verra à la carte 5.
2L'énoncé du théorème de Thalès
Théorème de Thalès. Soit deux droites sécantes en A. Soit B et M sur l'une, C et N sur l'autre. Si les points A, B, M sont alignés, A, C, N sont alignés, et si (BC) // (MN), alors les longueurs des trois côtés sont proportionnelles :
AMAB = ANAC = MNBC
Ces trois fractions forment une égalité de rapports (une proportion). Chaque fraction compare un côté du petit triangle (AMN) au côté correspondant du grand triangle (ABC).
Comment retenir les fractions ?
On lit toujours petit triangle sur grand triangle, en suivant les trois sommets dans le même ordre :
Sur le 1ᵉʳ côté
Sur le 2ᵉ côté
Entre les parallèles
AMAB
ANAC
MNBC
💡 Au numérateur, les longueurs qui contiennent M et N (le petit triangle proche de A). Au dénominateur, celles qui contiennent B et C (le grand triangle).
⚠️ Erreur classique : écrire AMMB. Au dénominateur on prend AB (le côté entier), pas le morceau MB. On compare des côtés complets « de A jusqu'au bout ».
3Calculer une longueur avec Thalès — méthode pas à pas
Le théorème sert surtout à calculer une longueur manquante quand on connaît les autres. Voici la méthode en 4 étapes.
Méthode. 1. Vérifier la configuration : points alignés + droites parallèles. 2. Écrire l'égalité des trois rapports de Thalès. 3. Ne garder que les deux fractions utiles (celle avec l'inconnue + une où tout est connu). 4. Faire le produit en croix pour trouver l'inconnue.
Exemple modèle
Dans la configuration de la carte 1, on donne : AM = 3 cm, AB = 5 cm, AN = 4,2 cm. On cherche AC.
Étape 2 — l'égalité :
AMAB = ANAC = MNBC
Étape 3 — on remplace dans les deux fractions utiles (celle avec AC inconnue) :
35 = 4,2AC
Étape 4 — produit en croix : on multiplie en croix, puis on divise.
AC = 5 × 4,23 = 213 = 7 cm
💡 Le produit en croix : de ab = cd on tire a × d = b × c. Ici l'inconnue AC est en bas, donc AC = 5 × 4,23.
4Choisir la bonne fraction selon l'inconnue
L'inconnue peut être à des endroits différents. On choisit toujours les deux fractions qui contiennent l'inconnue et des longueurs connues.
Cas 1 — l'inconnue est sur un côté du triangle
On donne AM = 2 cm, AB = 6 cm, AC = 9 cm. Trouver AN.
AMAB = ANAC → 26 = AN9 → AN = 2 × 96 = 3 cm
Cas 2 — l'inconnue est le segment entre les parallèles
On donne AM = 4 cm, AB = 10 cm, BC = 15 cm. Trouver MN.
AMAB = MNBC → 410 = MN15 → MN = 4 × 1510 = 6 cm
⚠️ Quand l'inconnue est au numérateur, on multiplie les deux nombres connus et on divise par le dernier : MN = AM × BCAB.
💡 Astuce : repère où est l'inconnue (en haut ou en bas de sa fraction) et applique le produit en croix. Si elle est en bas, elle « passe en haut » de l'autre côté.
5La configuration « papillon »
Quand le point de croisement A est entre les deux droites parallèles, la figure ressemble à un nœud papillon. Le théorème s'applique exactement de la même façon.
Ici A est le sommet commun, B et M sont sur une droite (de part et d'autre de A), C et N sur l'autre. Avec (BC) // (MN), on a toujours :
AMAB = ANAC = MNBC
💡 La méthode et les fractions ne changent pas. Seul le dessin est différent (les triangles sont « tête-bêche » autour de A).
6La réciproque : prouver que deux droites sont parallèles
Jusqu'ici, on savait que les droites étaient parallèles. La réciproque fait l'inverse : à partir des longueurs, on démontre que deux droites sont parallèles.
Réciproque du théorème de Thalès. Soit deux droites sécantes en A, avec B et M alignés avec A, et C et N alignés avec A (dans le même ordre). SiAMAB = ANACet si les points sont placés dans le même ordre sur les deux droites, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Méthode pour montrer que (MN)//(BC)
1. Calculer séparément les deux rapports AMAB et ANAC. 2. Comparer les deux résultats. 3. Vérifier que les points sont dans le même ordre (alignement). 4. Conclure : s'ils sont égaux → parallèles ; s'ils sont différents → PAS parallèles.
Exemple modèle
On donne AM = 3, AB = 5, AN = 4,8, AC = 8, avec A, M, B alignés et A, N, C alignés dans le même ordre. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
AMAB = 35 = 0,6 et ANAC = 4,88 = 0,6
Les deux rapports sont égaux (0,6 = 0,6) et les points sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (BC).
⚠️ Pour la réciproque, on n'utilise que les deux premiers rapports (ceux des côtés). Le rapport MNBC ne sert jamais à prouver le parallélisme.
7La contraposée : prouver que ce N'EST PAS parallèle
Si on calcule les deux rapports et qu'ils sont différents, alors les droites ne sont pas parallèles. C'est ce qu'on appelle la contraposée.
Règle. Si AMAB ≠ ANAC , alors (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
Exemple modèle
AM = 2, AB = 3, AN = 5, AC = 8 (points alignés dans le même ordre). (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
AMAB = 23 ≈ 0,67 et ANAC = 58 = 0,625
Les deux rapports sont différents. Donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
💡 Pour comparer deux fractions proprement, on peut les mettre au même dénominateur ou les écrire en écriture décimale. Ici 23 = 1624 et 58 = 1524 : 16 ≠ 15, donc différents.
8Thalès et l'agrandissement-réduction
Le théorème de Thalès est lié à la notion d'agrandissement-réduction. Le petit triangle AMN est une réduction du grand triangle ABC (ou ABC est un agrandissement de AMN).
Le coefficient k. Le rapport commun de Thalès est le coefficient d'agrandissement (ou de réduction) :
k = AMAB = ANAC = MNBC
Si k < 1 : AMN est une réduction de ABC (plus petit).
Si k > 1 : c'est un agrandissement (plus grand).
Toutes les longueurs sont multipliées par k, mais les angles ne changent pas.
⚠️ Les longueurs sont multipliées par k ; mais l'aire est multipliée par k². Exemple : si k = 2 (longueurs ×2), l'aire est ×4.
Exemple. Si AMN est une réduction de coefficient k = 0,5 de ABC, alors chaque longueur de AMN vaut la moitié de celle de ABC, et l'aire de AMN vaut 0,25 (= 0,5²) fois celle de ABC.
9Conseils pour les problèmes de type brevet
Au brevet, Thalès sert souvent à calculer une distance impossible à mesurer (hauteur d'un arbre, largeur d'une rivière, ombre…). Voici une démarche fiable.
Méthode « problème ». 1. Repérer (ou dessiner) la configuration de Thalès : où sont les deux triangles ? 2. Nommer les points et écrire les parallèles (souvent deux verticales : « sol », poteau, arbre…). 3. Écrire l'égalité des rapports, remplacer par les valeurs connues. 4. Produit en croix, calcul, puis phrase de conclusion avec l'unité.
Rédaction attendue (modèle court)
« Les points A, M, B sont alignés, A, N, C sont alignés et (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès :AMAB = ANAC = MNBC. On remplace… puis produit en croix… Donc MN = … cm. »
🎓 Récap express : configuration = sécantes + parallèles · théorème : AMAB = ANAC = MNBC (petit sur grand) · calculer une longueur = produit en croix · réciproque : 2 rapports égaux + même ordre → parallèles · 2 rapports différents → pas parallèles · Thalès = agrandissement-réduction de coefficient k (aire ×k²).