Fiche de révision : racines carrées

Définition de √a, produit et quotient (√(ab) = √a × √b démontré), forme simplifiée et sommes de racines, développements et dénominateurs sans racine, √(a²) = |a|, comparaison et encadrement.

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benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Racines carrées

Fiche méthode

(Mathématiques 2nde · Nombres et calculs · Racines carrées)

La démarche face à un calcul avec des racines

1. Je vérifie que chaque nombre sous une racine est positif ou nul.

2. Je simplifie chaque racine : carré parfait, produit ou quotient regroupé, forme $k \sqrt{b}$ .

3. Je calcule : je regroupe les termes ayant la même racine, je développe, j’enlève la racine du dénominateur.

4. Je conclus avec une valeur exacte ; je ne donne une valeur approchée (≈) que si on la demande, et je compare ou j’encadre avec les carrés.

Le réflexe — une valeur exacte garde ses racines ; une égalité √a = b se justifie par les deux conditions b ≥ 0 et b² = a.

Cas 1 · Calculer une racine carrée

Réflexe — je cherche le nombre positif dont le carré vaut a ; (√a)² = a pour a ≥ 0.

Exemple. Questions types : « Calculer sans calculatrice », « Justifier que $\sqrt{a} = b$ ». Exemple : $\sqrt{1, 44}$ et ${(\sqrt{23})}^{2}$ .

$1, 2^{2} = 1, 44$ et $1, 2 ⩾ 0$ , donc $\sqrt{1, 44} = 1, 2$ .

$23 ⩾ 0$ , donc par définition ${(\sqrt{23})}^{2} = 23$ .

Attention — √a n’est jamais négatif ; √(−4) n’existe pas, −√4 = −2 existe.

Cas 2 · Produit et quotient

Réflexe — je regroupe sous une seule racine : √a × √b = √(ab), √a / √b = √(a/b).

Exemple. Questions types : « Calculer et donner un entier ou une fraction ». Exemple : $\sqrt{6} \times \sqrt{24}$ et $\sqrt{\frac{25}{49}}$ .

$6 ⩾ 0$ et $24 ⩾ 0$ : $\sqrt{6} \times \sqrt{24}$ $= \sqrt{144}$ $= 12$ .

$\sqrt{\frac{25}{49}}$ $= \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}}$ $= \frac{5}{7}$ .

Attention — la règle demande a ≥ 0 et b ≥ 0 ; elle ne vaut jamais pour une somme.

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Cas 3 · Simplifier et additionner

Réflexe — je sors le plus grand carré parfait : √(k²b) = k√b ; puis je regroupe les mêmes racines.

Exemple. Questions types : « Écrire sous la forme $a \sqrt{b}$ ». Exemple : $\sqrt{52} + \sqrt{117}$ .

$52 = 4 \times 13$ , donc $\sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ .

$117 = 9 \times 13$ , donc $\sqrt{117} = 3 \sqrt{13}$ .

$\sqrt{52} + \sqrt{117}$ $= 2 \sqrt{13} + 3 \sqrt{13}$ $= 5 \sqrt{13}$ .

Attention — √(a + b) ≠ √a + √b ; 2√3 = √12, pas √6.

Cas 4 · Développer, dénominateur sans racine

Réflexe — je multiplie en haut et en bas par √b ou par le conjugué ; (x + y)(x − y) = x² − y².

Exemple. Questions types : « Écrire sans racine au dénominateur ». Exemple : $\frac{4}{\sqrt{5} + 1}$ .

Le conjugué de $\sqrt{5} + 1$ est $\sqrt{5} - 1$ .

$\frac{4}{\sqrt{5} + 1}$ $= \frac{4 (\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1) (\sqrt{5} - 1)}$ $= \frac{4 (\sqrt{5} - 1)}{5 - 1}$ .

Donc $\frac{4}{\sqrt{5} + 1} = \sqrt{5} - 1$ .

Attention — on multiplie le numérateur ET le dénominateur ; (√a + √b)² ≠ a + b.

Cas 5 · Racine d’un carré

Réflexe — √(A²) = |A| : je cherche le signe de A.

Exemple. Questions types : « Écrire sans racine ». Exemple : $\sqrt{{(3 - \sqrt{10})}^{2}}$ .

$9 < 10$ , donc $3 < \sqrt{10}$ et $3 - \sqrt{10} < 0$ .

Donc $\sqrt{{(3 - \sqrt{10})}^{2}}$ $= - (3 - \sqrt{10})$ $= \sqrt{10} - 3$ .

Attention — √(a²) = a seulement si a ≥ 0.

Cas 6 · Comparer, encadrer

Réflexe — nombres positifs : je compare les carrés ; pour encadrer √a, je cherche les carrés qui encadrent a.

Exemple. Questions types : « Comparer sans calculatrice », « Encadrer au dixième ». Exemple : $2 \sqrt{6}$ et $3 \sqrt{3}$ , puis $\sqrt{40}$ .

Nombres positifs : ${(2 \sqrt{6})}^{2} = 24$ et ${(3 \sqrt{3})}^{2} = 27$ . Comme $24 < 27$ , $2 \sqrt{6} < 3 \sqrt{3}$ .

$6, 3^{2} = 39, 69$ et $6, 4^{2} = 40, 96$ : $39, 69 < 40 < 40, 96$ , donc $6, 3 < \sqrt{40} < 6, 4$ .

Attention — seulement pour des nombres positifs : −3 < 2 mais 9 > 4.

Les pièges

√(a + b) ≠ √a + √b : √(9 + 16) = 5 mais √9 + √16 = 7.
√a ≥ 0 toujours : √49 = 7, jamais « ±7 ».
√(a²) = |a| : si a < 0, le résultat est −a.
Forme a√b pas finie si le nombre sous la racine contient encore un carré (2√18 → 6√2).
Une valeur approchée (1,414) ne remplace pas une valeur exacte (√2).
Comparer par les carrés : seulement des nombres positifs.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode sur les racines carrées donne la démarche face à un calcul avec des racines, puis une question type rédigée pour chacun des six cas : calculer √a, regrouper un produit ou un quotient, simplifier et additionner, enlever une racine du dénominateur, écrire √(A²) sans racine, comparer et encadrer. Elle se termine par les pièges classiques, comme √(a + b) ≠ √a + √b.

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