Fiche de révision : inégalités et inéquations

Comparer deux nombres par différence ou par quotient, calculer avec des inégalités et des encadrements, résoudre les inéquations du premier degré et mettre un problème en inéquation.

Télécharger la fiche PDF

benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Inégalités et inéquations

Fiche méthode

(Mathématiques 2nde · Nombres et calculs · Algèbre)

La démarche face à une inégalité

1. Je repère la question : comparer deux nombres, encadrer une expression, résoudre une inéquation, ou traduire un énoncé.

2. Je choisis l’outil : différence $A - B$ (cas général), quotient $\frac{A}{B}$ (nombres strictement positifs avec produits ou puissances), règles opératoires (encadrements, inéquations).

3. À chaque multiplication ou division, je regarde le signe du nombre : négatif, je change le sens.

4. Je conclus par une phrase : « donc $A ⩾ B$ », « $S = \dots$ », ou la réponse à la question posée.

Le réflexe — chaque changement de sens se justifie : « on divise par

- 2 < 0

, le sens change ». Sans cette phrase, la réponse n’est pas complète.

Cas 1 · Comparer par la différence

Réflexe — je calcule A − B, je simplifie (même dénominateur, carré), je conclus sur le signe.

Exemple. Questions types : « Comparer $A$ et $B$ », « Montrer que pour tout réel $x$ , … ». Exemple : comparer $3 x^{2} + 12$ et $12 x$ .

$(3 x^{2} + 12) - 12 x = 3 (x^{2} - 4 x + 4) = 3 (x - 2)^{2}$ .

Un carré est positif ou nul et $3 > 0$ , donc la différence est positive ou nulle.

Conclusion : pour tout réel $x$ , $3 x^{2} + 12 ⩾ 12 x$ , avec égalité seulement pour $x = 2$ .

Attention — un carré est positif ou nul, pas forcément strictement positif ; tester des valeurs ne prouve rien.

Cas 2 · Comparer par le quotient

Réflexe — nombres strictement positifs avec produits ou puissances : je calcule A/B et je le compare à 1.

Exemple. Questions types : « Comparer deux puissances », « Combien de fois plus grand ? ». Exemple : $A = 9 \times 2^{20}$ et $B = 2^{23}$ .

$A$ et $B$ sont strictement positifs. $\frac{A}{B} = \frac{9 \times 2^{20}}{2^{23}} = \frac{9}{2^{3}} = \frac{9}{8} = 1, 125$ .

Comme $1, 125 > 1$ , $A > B$ .

Interprétation : $A$ vaut $1, 125$ fois $B$ , il est $12, 5 %$ plus grand.

Attention — jamais avec des négatifs ; un rapport se lit dans un sens précis.

1 / 2

benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Cas 3 · Encadrer une expression

Réflexe — j’applique les opérations une par une aux bornes ; facteur négatif : je retourne et je remets dans l’ordre.

Exemple. Questions types : « Encadrer $k x + p$ », « Encadrer $a + b$ ou $a - b$ ». Exemple : $- 1 < x ⩽ 3$ , encadrer $4 - 5 x$ .

On multiplie par $- 5 < 0$ , le sens change : $5 > - 5 x ⩾ - 15$ , soit $- 15 ⩽ - 5 x < 5$ .

On ajoute $4$ : $- 11 ⩽ 4 - 5 x < 9$ .

Contrôle : la fonction $x \mapsto 4 - 5 x$ est décroissante, la borne $3$ donne $- 11$ .

Attention — on ne soustrait pas deux encadrements : on encadre −b, puis on additionne.

Cas 4 · Résoudre une inéquation du premier degré

Réflexe — termes en x d’un côté, nombres de l’autre ; j’entoure le coefficient de x avant de diviser.

Exemple. Questions types : « Résoudre dans $ℝ$ », « Donner l’ensemble des solutions ». Exemple : $3 (2 x - 1) > 8 x + 5$ .

On développe : $6 x - 3 > 8 x + 5$ , puis $6 x - 8 x > 5 + 3$ , soit $- 2 x > 8$ .

On divise par $- 2 < 0$ , le sens change : $x < - 4$ .

$S =] - \infty; - 4 [$ . Contrôle avec $x = - 5$ : $- 33 > - 35$ , vrai.

Attention — la réponse est un ensemble ; crochet ouvert pour une inégalité stricte et toujours vers l’infini.

Cas 5 · Mettre un problème en inéquation

Réflexe — inconnue, traduction des mots, résolution, retour à la question (entier, phrase).

Exemple. Questions types : « À partir de combien… ? », « Au plus combien… ? ». Exemple : un parking coûte $3$ € à l’entrée puis $1, 50$ € par heure entamée ; avec au plus $20$ €, combien d’heures au maximum ?

Pour $n$ heures : $3 + 1, 5 n ⩽ 20$ , donc $1, 5 n ⩽ 17$ et $n ⩽ \frac{34}{3} \approx 11, 3$ .

$n$ est entier : $n = 11$ convient ( $3 + 16, 5 = 19, 5$ €), $n = 12$ non ( $21$ €).

On peut stationner au plus $11$ heures.

Attention — arrondir dans le bon sens et vérifier le cas d’égalité.

Les pièges

Diviser par un nombre négatif sans changer le sens : c’est l’erreur la plus fréquente.
Soustraire ou multiplier deux inégalités membre à membre : ce n’est pas permis.
Comparer deux négatifs par leur quotient : la règle exige des nombres strictement positifs.
Donner « x = … » comme réponse d’une inéquation : on attend l’ensemble S.
Multiplier par x (ou une expression) sans connaître son signe.
Arrondir n ≤ 12,5 à 13 : un nombre entier d’objets s’arrondit dans le sens de l’inégalité.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

2 / 2

À propos de cette page

La fiche méthode des inégalités et inéquations de 2nde : la démarche face à une inégalité, puis un exemple corrigé pour chacun des cinq cas (différence, quotient, encadrement, inéquation du premier degré, mise en inéquation) et la liste des pièges, comme le changement de sens oublié. Elle tient en deux pages et se télécharge en PDF.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs