Fiche de révision : généralités sur les fonctions

Fonction, image et antécédent, ensemble de définition, courbe d’équation y = f(x), résolution graphique de f(x) = k, f(x) < k, f(x) = g(x) et f(x) < g(x).

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benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Généralités sur les fonctions

Fiche méthode

(Maths 2nde · Fonctions · Représentation algébrique et graphique)

La démarche face à une fonction

1. Je repère comment la fonction est donnée : formule, tableau de valeurs, courbe, programme de calcul.

2. Je fixe l’ensemble de définition : valeurs interdites, racines, contraintes de la situation.

3. Je traduis la question : image (je calcule $f (a)$ ), antécédent (je résous $f (x) = k$ ), point de la courbe (je compare $b$ et $f (a)$ ).

4. Je résous graphiquement (abscisses lues sur l’axe) ou par le calcul, et je conclus par une phrase ou par $S = \dots$

Le réflexe — on lit toujours les solutions d’une équation ou d’une inéquation sur l’axe des abscisses : la réponse est un ensemble de valeurs de x, avec des crochets choisis borne par borne.

Cas 1 · Image et antécédents

Réflexe — image : je remplace x ; antécédents : je résous f(x) = k et je les donne tous.

Exemple. Questions types : « Calculer l’image de… », « Déterminer les antécédents de… ». Exemple : $v (x) = x^{2} - 8 x + 12$ , image de $5$ et antécédents de $12$ .

$v (5) = 25 - 40 + 12 = - 3$ : l’image de $5$ est $- 3$ .

$v (x) = 12$ équivaut à $x^{2} - 8 x = 0$ , soit $x (x - 8) = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = 8$ .

Le nombre $12$ a deux antécédents : $0$ et $8$ .

Attention — f(a) = b : a est un antécédent de b, b est l’image de a.

Cas 2 · Ensemble de définition

Réflexe — dénominateur ≠ 0, expression sous la racine ≥ 0, puis je réunis les conditions.

Exemple. Questions types : « Déterminer l’ensemble de définition ». Exemple : $f (x) = \sqrt{6 - 2 x} + \frac{1}{x}$ .

Racine : $6 - 2 x ⩾ 0$ , soit $6 ⩾ 2 x$ , soit $x ⩽ 3$ .

Quotient : $x \neq 0$ .

$D_{f} =] - \infty; 0 [\cup] 0; 3]$ .

Attention — on cherche les valeurs interdites sur l’expression de départ, jamais après simplification.

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Cas 3 · Point d’une courbe

Réflexe — M(a ; b) est sur la courbe si a est dans D_f et f(a) = b.

Exemple. Questions types : « Le point $A$ appartient-il à $𝒞_{f}$ ? », « Coordonnées du point d’abscisse… ». Exemple : $A (- 1; 4)$ et $f (x) = 2 x^{2} - x + 1$ .

$f (- 1) = 2 \times 1 + 1 + 1 = 4$ : c’est l’ordonnée de $A$ , donc $A \in 𝒞_{f}$ .

$f (0) = 1$ : $𝒞_{f}$ coupe l’axe des ordonnées en $(0; 1)$ .

Attention — un point lu sur un dessin ne prouve rien : on calcule f(a).

Cas 4 · f(x) = k et f(x) < k

Réflexe — je trace y = k, je lis les abscisses des intersections, puis où la courbe est au-dessus ou au-dessous.

Exemple. Questions types : « Résoudre graphiquement ». Exemple : sur $[- 3; 5]$ , $𝒞_{f}$ coupe la droite $y = - 2$ en $x = - 1$ et $x = 2$ seulement, et elle est au-dessous de cette droite entre $- 1$ et $2$ .

$f (x) = - 2$ : $S = {- 1; 2}$ .

$f (x) < - 2$ : $S =] - 1; 2 [$ (inégalité stricte : bornes exclues).

$f (x) ⩾ - 2$ : $S = [- 3; - 1] \cup [2; 5]$ .

Attention — stricte : crochets ouverts aux intersections ; large : crochets fermés.

Cas 5 · f(x) = g(x) et f(x) < g(x)

Réflexe — je lis les abscisses des points d’intersection des deux courbes, puis laquelle est au-dessus.

Exemple. Questions types : « Résoudre graphiquement, puis par le calcul ». Exemple : $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 2$ sur $ℝ$ .

$f (x) = g (x)$ équivaut à $x^{2} - x - 2 = 0$ , soit $(x - 2) (x + 1) = 0$ : $x = 2$ ou $x = - 1$ .

Entre $- 1$ et $2$ , la parabole est au-dessous de la droite : $f (x) < g (x)$ pour $x \in] - 1; 2 [$ .

Attention — on compare les deux courbes entre elles, pas une courbe et l’axe.

Les pièges

Confondre image et antécédent : « calculer f(3) » donne un nombre, « résoudre f(x) = 3 » donne un ensemble, parfois vide.
Croire qu’un antécédent est unique : seule l’image l’est.
Oublier une condition : un quotient ET une racine donnent deux conditions à réunir.
Répondre k (une ordonnée) au lieu des abscisses lues sur l’axe.
Mettre un crochet fermé en une valeur interdite ou pour une inégalité stricte.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à une fonction, puis un exemple rédigé pour chaque situation : calculer une image et chercher des antécédents, déterminer un ensemble de définition, vérifier qu’un point est sur une courbe, résoudre graphiquement f(x) = k, f(x) < k et f(x) < g(x). Elle se termine par cinq pièges classiques et se télécharge en PDF.

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