Fiche de révision : fonctions affines

Fonctions affines f(x) = mx + p : coefficient directeur et taux d’accroissement, ordonnée à l’origine, droite représentative, variations (démonstration), signe de mx + p, modélisation d’une variation constante.

Télécharger la fiche PDF

benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Fonctions affines

Fiche méthode

(Maths 2nde · Fonctions · Fonctions affines)

La démarche face à une fonction affine

1. J’écris $f (x) = m x + p$ après avoir développé et réduit : je lis $m$ (le nombre devant $x$ ) et $p$ (le nombre seul).

2. Si $f$ n’est pas donnée, je la retrouve : deux images, deux points d’une droite ou une situation (valeur de départ et variation par unité).

3. Je réponds avec le bon outil : signe de $m$ pour les variations, racine $- \frac{p}{m}$ et signe de $m$ pour le signe, équation $m x + p = k$ pour un antécédent.

4. Je justifie en citant la propriété (« $f$ est affine de coefficient directeur … ») et je vérifie avec une valeur.

Le réflexe — le sens de variation et le signe se justifient toujours par le signe de m écrit noir sur blanc : « m = −4 < 0, donc… ». Sans cette phrase, la réponse n’est pas démontrée.

Cas 1 · Reconnaître et lire m et p

Réflexe — je développe, je réduis, j’écris mx + p ; linéaire si p = 0, constante si m = 0.

Exemple. Questions types : « La fonction est-elle affine ? Donner m et p », « Calculer une image, un antécédent ». Exemple : $f (x) = 3 (2 - x) + 4 x$ .

On développe : $f (x) = 6 - 3 x + 4 x = x + 6$ .

C’est la forme $m x + p$ avec $m = 1$ et $p = 6$ : $f$ est affine, ni linéaire ni constante.

Antécédent de $- 4$ : $x + 6 = - 4 ⟺ x = - 10$ .

Attention — dans 7 − 2x, m = −2 et p = 7 : m est le nombre qui multiplie x, avec son signe.

Cas 2 · Retrouver f avec deux images

Réflexe — m = (f(x₂) − f(x₁)) ÷ (x₂ − x₁), même ordre en haut et en bas ; puis p = f(x₁) − m x₁ ; je vérifie.

Exemple. Questions types : « $f$ est affine, $f (a) = \dots$ et $f (b) = \dots$ : déterminer $f (x)$ ». Exemple : $f (- 3) = 7$ et $f (5) = 3$ .

$m = \frac{3 - 7}{5 - (- 3)} = \frac{- 4}{8} = - 0, 5$ .

$p = f (5) - (- 0, 5) \times 5 = 3 + 2, 5 = 5, 5$ .

Donc $f (x) = - 0, 5 x + 5, 5$ . Vérification : $f (- 3) = 1, 5 + 5, 5 = 7$ .

Attention — avec x₁ − x₂ en bas et f(x₂) − f(x₁) en haut, on obtient −m.

1 / 2

benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Cas 3 · Lire une droite

Réflexe — p sur l’axe des ordonnées ; m = déplacement vertical ÷ déplacement horizontal entre deux points bien lisibles.

Exemple. Questions types : « Déterminer la fonction affine représentée », « Tracer la droite de $f$ ». Exemple : la droite passe par $(0; 1)$ et $(3; - 5)$ .

Elle coupe l’axe des ordonnées en $(0; 1)$ : $p = 1$ .

De $(0; 1)$ à $(3; - 5)$ : on avance de $3$ et on descend de $6$ , donc $m = \frac{- 6}{3} = - 2$ .

La droite représente $f (x) = - 2 x + 1$ .

Attention — une droite qui descend a un m négatif ; p ne se lit pas sur l’axe des abscisses.

Cas 4 · Variations

Réflexe — je donne le signe de m et je cite le théorème ; pour démontrer, je calcule f(v) − f(u) = m(v − u) avec u < v.

Exemple. Questions types : « Démontrer que $f$ est croissante », « Comparer deux images », « Dresser le tableau de variations ». Exemple : $f (x) = 1, 2 x - 7$ sur $[0; 5]$ .

Soient $u < v$ : $f (v) - f (u) = 1, 2 (v - u)$ . Or $v - u > 0$ et $1, 2 > 0$ , donc $f (v) - f (u) > 0$ : $f$ est strictement croissante.

$f (0) = - 7$ et $f (5) = 6 - 7 = - 1$ : $f$ croît de $- 7$ à $- 1$ sur $[0; 5]$ .

Attention — m < 0 : la fonction renverse l’ordre, mais elle peut prendre des valeurs positives.

Cas 5 · Signe et inéquation

Réflexe — racine −p/m ; signe de m à droite, signe contraire à gauche ; je lis l’inéquation dans le tableau.

Exemple. Questions types : « Dresser le tableau de signes », « Résoudre $m x + p ⩾ 0$ ». Exemple : $- 5 x + 8$ .

$- 5 x + 8 = 0 ⟺ x = \frac{8}{5} = 1, 6$ .

$m = - 5 < 0$ : l’expression est positive avant $1, 6$ , nulle en $1, 6$ , négative après.

Donc $- 5 x + 8 ⩾ 0 ⟺ x ⩽ 1, 6$ : $S =] - \infty; 1, 6]$ .

Attention — diviser par un négatif change le sens de l’inégalité ; « − puis + » n’est vrai que si m > 0.

Cas 6 · Modéliser

Réflexe — p = valeur de départ, m = variation pour une unité (avec l’unité) ; je donne l’intervalle où le modèle a un sens.

Exemple. Questions types : « Exprimer … en fonction de … », « Interpréter $m$ et $p$ », « La situation est-elle proportionnelle ? ». Exemple : un colis pèse $300$ g d’emballage plus $45$ g par livre.

Pour $n$ livres : $M (n) = 45 n + 300$ (en g).

$m = 45$ g par livre ; $p = 300$ g, la masse de l’emballage vide.

Comme $p \neq 0$ , la masse n’est pas proportionnelle au nombre de livres.

Attention — une hausse de 5 % par an n’est pas une variation constante : ce n’est pas un modèle affine.

Les pièges

m est le nombre qui multiplie x, même s’il est écrit en second : dans 7 − 2x, m = −2.
Même ordre en haut et en bas dans le calcul de m, sinon on trouve −m.
Le signe de m donne le sens de variation, pas le signe de f(x).
p se lit sur l’axe des ordonnées ; la droite coupe l’axe des abscisses en −p/m.
Affine n’est pas proportionnel : avec p ≠ 0, doubler x ne double pas f(x).

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

2 / 2

À propos de cette page

Cette fiche méthode des fonctions affines donne la démarche à suivre, puis un exemple rédigé pour chacun des six cas : lire m et p, retrouver f avec deux images, lire une droite, démontrer un sens de variation, dresser un tableau de signes, modéliser. Elle finit par cinq pièges classiques et se télécharge en PDF.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs