Fiche de révision : étude de signe et tableaux de signes

Signe d’une expression affine ax + b, règle des signes et tableau de signes d’un produit ou d’un quotient, valeurs interdites, inéquations produit et quotient, lecture graphique du signe et position relative de deux courbes.

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benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Étude de signe et tableaux de signes

Fiche méthode

(Maths 2nde · Fonctions · Étude de signe)

La démarche pour étudier un signe ou résoudre une inéquation

1. Je repère les valeurs interdites s’il y a un quotient.

2. Je compare à $0$ : tout dans un membre, puis je factorise ou je réduis au même dénominateur.

3. Je dresse le tableau : valeurs rangées, une ligne par facteur (signe de $a$ à droite de la racine), règle des signes.

4. Je lis la réponse avec les bons crochets : zéros inclus si l’inégalité est large, valeurs interdites toujours exclues.

Le réflexe — on ne multiplie ni ne divise jamais par une expression en x : on compare à 0 et on fait un tableau.

Cas 1 · Signe de ax + b

Réflexe — racine −b/a, puis signe de a à droite, signe contraire à gauche.

Exemple. Questions types : « Étudier le signe de… ». Exemple : signe de $4 - \frac{2}{3} x$ .

$4 - \frac{2}{3} x$ $= 0 ⟺ x$ $= 4 \times \frac{3}{2}$ $= 6$ .

Coefficient $- \frac{2}{3} < 0$ : positif sur $] - \infty; 6 [$ , négatif sur $] 6; + \infty [$ .

Contrôle : en $0$ , l’expression vaut $4 > 0$ .

Attention — le coefficient a est le nombre devant x, même s’il est écrit en second.

Cas 2 · Produit

Réflexe — une ligne par facteur, valeurs rangées, je compte les « − ».

Exemple. Questions types : « Dresser le tableau de signes de… ». Exemple : $(x + 6) (5 - 2 x)$ .

$x + 6$ s’annule en $- 6$ (négatif puis positif) ; $5 - 2 x$ en $\frac{5}{2}$ (positif puis négatif).

Produit : $-$ sur $] - \infty; - 6 [$ , $0$ , $+$ sur $] - 6; \frac{5}{2} [$ , $0$ , $-$ sur $] \frac{5}{2}; + \infty [$ .

Attention — ranger les valeurs avant de remplir le tableau ; un carré ajoute un 0 sans changer le signe.

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Cas 3 · Quotient

Réflexe — valeurs interdites d’abord ; double barre sous elles dans la dernière ligne.

Exemple. Questions types : « Donner l’ensemble de définition, puis le signe de… ». Exemple : $\frac{2 x + 8}{x - 1}$ .

Valeur interdite : $1$ . Le numérateur s’annule en $- 4$ .

Quotient : $+$ sur $] - \infty; - 4 [$ , $0$ en $- 4$ , $-$ sur $] - 4; 1 [$ , ‖ en $1$ , $+$ sur $] 1; + \infty [$ .

Attention — le signe d’un quotient ne se lit pas sur le numérateur seul.

Cas 4 · Inéquation produit ou quotient

Réflexe — je compare à 0, je factorise, tableau, puis crochets.

Exemple. Questions types : « Résoudre ». Exemple : $\frac{x + 3}{x + 1} < 2$ .

Valeur interdite : $- 1$ . Pour $x \neq - 1$ : $\frac{x + 3}{x + 1} - 2$ $= \frac{x + 3 - 2 x - 2}{x + 1}$ $= \frac{1 - x}{x + 1}$ .

Signes : $-$ avant $- 1$ , $+$ entre $- 1$ et $1$ , $-$ après $1$ .

$S =] - \infty; - 1 [\cup] 1; + \infty [$ .

Attention — multiplier par x + 1 changerait le sens de l’inégalité pour x < −1.

Cas 5 · Position de deux courbes

Réflexe — au-dessus = différence positive.

Exemple. Questions types : « Étudier la position relative de $C_{f}$ et $C_{g}$ ». Exemple : $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 4 x - 3$ .

$f (x) - g (x)$ $= x^{2} - 4 x + 3$ $= (x - 1) (x - 3)$ (on vérifie en développant).

$C_{f}$ est au-dessus sur $] - \infty; 1 [\cup] 3; + \infty [$ , au-dessous sur $] 1; 3 [$ .

Intersections : $(1; 1)$ et $(3; 9)$ .

Attention — les zéros de la différence sont les abscisses des points d’intersection.

Les pièges

Diviser par x (ou par une expression en x) fait perdre des solutions : on factorise.
Une valeur interdite n’est jamais solution : crochet ouvert, même avec ⩾ ou ⩽.
Avec ⩾ ou ⩽, on garde les zéros du numérateur ; avec > ou <, on les enlève.
Un facteur carré crée un zéro isolé à ne pas oublier, ou un point à retirer.
Dans 1 − x, le coefficient de x est −1 : positif avant 1.
Un tableau de signes donne le signe, pas la valeur : f(x) > 0 ne dit pas f(x) > 1.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode résume la démarche pour étudier un signe ou résoudre une inéquation en 2nde, puis donne un exemple rédigé par type : expression affine, produit, quotient avec valeur interdite, inéquation quotient, position de deux courbes. Elle finit par six pièges sur les crochets et la division par x, et se télécharge en PDF.

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