Étude de signe et tableaux de signes

Pour chaque expression, donne la valeur qui l’annule, puis le signe demandé. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3). Pour un signe, écris + ou −.

1. $A(x)=5x-15$ s’annule en ; pour $x$ plus grand que cette valeur, $A(x)$ est de signe
   $5x-15=0⟺x=3$. Le coefficient de $x$ vaut $5>0$ : $A(x)$ est négatif à gauche de $3$ et positif à droite.
2. $B(x)=-4x+18$ s’annule en ; pour $x$ plus petit que cette valeur, $B(x)$ est de signe
   $-4x+18=0$ $⟺x={\displaystyle \frac{18}{4}}$ $={\displaystyle \frac{9}{2}}$. Le coefficient vaut $-4<0$ : $B(x)$ est positif à gauche de ${\displaystyle \frac{9}{2}}$, négatif à droite.
3. $C(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}x+4$ s’annule en ; pour $x$ plus petit que cette valeur, $C(x)$ est de signe
   ${\displaystyle \frac{2}{3}}x+4$ $=0⟺x$ $=-4\times {\displaystyle \frac{3}{2}}$ $=-6$. Le coefficient ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ est positif : $C(x)$ est négatif avant $-6$, positif après.
4. $D(x)=7-0,5x$ s’annule en ; pour $x$ plus grand que cette valeur, $D(x)$ est de signe
   $7-0,5x$ $=0⟺x$ $={\displaystyle \frac{7}{0,5}}$ $=14$. Le coefficient de $x$ est $-0,5<0$ : $D(x)$ est positif avant $14$, négatif après. À chaque fois, la racine vaut $-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ et le signe à droite est celui de $a$.

Signe et droite représentative. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3). Pour un signe, écris + ou −.

1. La droite d’équation $y=2x-7$ est strictement au-dessus de l’axe des abscisses pour $x$ strictement supérieur à
   Le point d’abscisse $x$ est au-dessus de l’axe quand $2x-7>0$. Or $2x-7$ s’annule en ${\displaystyle \frac{7}{2}}$ et son coefficient $2$ est positif : il est positif à droite de ${\displaystyle \frac{7}{2}}$.
2. Une fonction affine $f$ vérifie $f(2)=0$ et $f(5)=6$. Signe de $f(0)$ :
   $f$ s’annule en $2$. Comme $f(5)=6>0$ avec $5>2$, $f$ est positive à droite de $2$ : son coefficient directeur est positif. Elle est donc négative à gauche de $2$, en particulier en $0$. (Ici $f(x)=2x-4$ et $f(0)=-4$.)
3. Le plus grand entier $n$ tel que $13-5n>0$ est
   $13-5n$ s’annule en ${\displaystyle \frac{13}{5}}=2,6$ et son coefficient $-5$ est négatif : il est positif pour $n<2,6$. Le plus grand entier qui convient est $2$ (contrôle : $13-10=3>0$ et $13-15=-2<0$).

Justifier, puis répondre. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3). Pour un signe, écris + ou −.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $-3x+9=-3(x-3)$, puis en déduire le signe de $-3x+9$ lorsque $x<3$ :
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $-3(x-3)=-3x+9$ (on développe). Si $x<3$, alors $x-3<0$ ; le produit de $-3$, négatif, par $x-3$, négatif, est positif. Donc $-3x+9>0$ pour $x<3$. De même, pour $x>3$, $x-3>0$ et $-3x+9<0$ : c’est la démonstration du cours avec $a=-3$.
2. ${\displaystyle \frac{5x-2}{3}}$ s’annule en
   Un quotient par $3$ est nul quand son numérateur l’est : $5x-2=0⟺x={\displaystyle \frac{2}{5}}$. C’est une expression affine de coefficient ${\displaystyle \frac{5}{3}}>0$ : négative avant ${\displaystyle \frac{2}{5}}$, positive après.
3. Valeur approchée au centième de la racine de $\sqrt{2}x-4$ :
   $\sqrt{2}x-4$ $=0⟺x$ $={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}}$ $={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{2}}$ $=2\sqrt{2}\approx 2,83$. Le coefficient $\sqrt{2}$ est positif : l’expression est négative avant $2\sqrt{2}$, positive après.

Retrouver une expression affine à partir de son signe. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3). Pour un signe, écris + ou −.

1. Une expression affine $ax+b$ vaut $6$ pour $x=0$ et s’annule pour $x=4$. Alors $a=$
   Pour $x=0$, l’expression vaut $b$ : donc $b=6$. Elle s’annule en $4$ : $4a+6=0$, d’où $a=-{\displaystyle \frac{6}{4}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.
2. Justifier, sans calculer d’image, que cette expression est strictement négative pour tout $x>4$. Valeur de l’expression pour $x=10$ :
   Rédaction attendue. L’expression $-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+6$ est affine, de coefficient $a=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, négatif, et elle s’annule en $4$. D’après la propriété du cours, elle est du signe de $a$ à droite de $4$ : elle est strictement négative pour tout $x>4$. Contrôle : $-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times 10+6=-15+6=-9<0$.
3. L’expression $(k+3)x-4$, où $k$ est un réel, est strictement négative pour tout réel $x$ pour une seule valeur de $k$ : $k=$
   Si $k+3\ne 0$, l’expression est affine non constante : elle s’annule en une valeur et elle est positive d’un côté de cette valeur. Elle n’est donc pas négative partout. Si $k=-3$, elle vaut $0\times x-4=-4$, négatif pour tout $x$. La seule valeur est $k=-3$.

On considère $P(x)=(x-6)(3x+2)$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3). Pour un signe, écris + ou −.

1. Les valeurs qui annulent $P(x)$, dans l’ordre croissant : et
   Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : $x-6=0$ ou $3x+2=0$, soit $x=6$ ou $x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$. On range $-{\displaystyle \frac{2}{3}}<6$.
2. Signe de $P(x)$ entre ses deux racines :
   Les deux facteurs ont un coefficient positif. Entre les racines, $3x+2>0$ et $x-6<0$ : un seul facteur négatif, le produit est négatif.

   $x$	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{2}{3}}$		$6$		$+\infty$
   $x-6$		$-$		$-$	$0$	$+$
   $3x+2$		$-$	$0$	$+$		$+$
   $P(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

3. Signe de $P(x)$ à droite de sa plus grande racine :
   À droite de $6$, les deux facteurs sont positifs : le produit est positif. À gauche de $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$, ils sont tous deux négatifs : deux facteurs négatifs, nombre pair, le produit est encore positif.

Règle des signes, sans calculatrice. Pour un signe, écris + ou −.

1. Signe de $(-3,7)\times 12\times (-0,5)\times (-8)$ :
   Trois facteurs négatifs : $-3,7$, $-0,5$ et $-8$. Le nombre de facteurs négatifs est impair : le produit est négatif.
2. Pour $x=2$, le nombre de facteurs négatifs du produit $(x-1)(x-4)(x+3)$ est
   Pour $x=2$ : $x-1=1>0$, $x-4=-2<0$ et $x+3=5>0$. Un seul facteur est négatif.
3. Signe de $(x-1)(x-4)(x+3)$ pour $x=5$ :
   Pour $x=5$ : $x-1=4>0$, $x-4=1>0$ et $x+3=8>0$ : aucun facteur négatif (nombre pair), le produit est positif. Contrôle : $4\times 1\times 8=32$.
4. Signe de $-5(x+1{)}^2$ pour $x=3$ :
   $(3+1{)}^2=16>0$ et $-5<0$ : le produit est négatif. En fait $-5(x+1{)}^2$ est négatif pour tout $x\ne -1$, et nul en $-1$.

On considère $R(x)=(2x+9)(x-2)(8-x)$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3). Pour un signe, écris + ou −.

1. Les valeurs qui annulent $R(x)$, dans l’ordre croissant : ; ;
   $2x+9=0⟺x=-{\displaystyle \frac{9}{2}}$ ; $x-2=0⟺x=2$ ; $8-x=0⟺x=8$. On range : $-{\displaystyle \frac{9}{2}}<2<8$.
2. Signe de $R(x)$ sur le deuxième intervalle du tableau (entre les deux plus petites racines) :
   $2x+9$ et $x-2$ ont un coefficient positif, $8-x$ un coefficient négatif.

   $x$	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{9}{2}}$		$2$		$8$		$+\infty$
   $2x+9$		$-$	$0$	$+$		$+$		$+$
   $x-2$		$-$		$-$	$0$	$+$		$+$
   $8-x$		$+$		$+$		$+$	$0$	$-$
   $R(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

   Sur $]-{\displaystyle \frac{9}{2}};2[$, seul $x-2$ est négatif : un facteur négatif, nombre impair, $R(x)<0$.
3. Justifier, à l’aide du tableau et sans calculer $R(\pi )$, le signe de $R(\pi )$ :
   Rédaction attendue. On sait que $3<\pi <4$, donc $\pi$ appartient à l’intervalle $]2;8[$. Sur cet intervalle, les trois facteurs sont positifs (dans la colonne correspondante, aucun « $-$ ») : le produit est positif. Donc $R(\pi )>0$.
4. Contrôle par le calcul : $R(-10)=$
   $R(-10)=(-20+9)(-10-2)(8+10)$ $=(-11)\times (-12)\times 18$ $=132\times 18$ $=2376$. Deux facteurs négatifs : le résultat est positif, comme l’indique le premier intervalle du tableau.

Facteurs carrés et facteurs constants. Pour un signe, écris + ou −.

1. Démontrer que $x^3-6x^2=x^2(x-6)$, puis donner le signe de $x^3-6x^2$ sur $]0;6[$ :
   Rédaction attendue. On met $x^2$ en facteur : $x^3-6x^2$ $=x^2\times x-x^2\times 6$ $=x^2(x-6)$. Pour $x\ne 0$, $x^2>0$ : le produit a le signe de $x-6$. Sur $]0;6[$, $x-6<0$, donc $x^3-6x^2<0$. L’expression s’annule en $0$ et en $6$ ; elle est négative aussi sur $]-\infty ;0[$ et positive sur $]6;+\infty [$.
2. Signe de $-2(x+4{)}^2(x-1)$ pour $x<-4$ :
   Pour $x<-4$ : $-2<0$, $(x+4{)}^2>0$ et $x-1<0$. Deux facteurs négatifs : le produit est positif.

   $x$	$-\infty$		$-4$		$1$		$+\infty$
   $-2$		$-$		$-$		$-$
   $(x+4{)}^2$		$+$	$0$	$+$		$+$
   $x-1$		$-$		$-$	$0$	$+$
   $-2(x+4{)}^2(x-1)$		$+$	$0$	$+$	$0$	$-$

3. Nombre de réels qui annulent $-2(x+4{)}^2(x-1)$ :
   Le produit est nul si $(x+4{)}^2=0$ ou $x-1=0$, soit $x=-4$ ou $x=1$ : deux réels. Le facteur $-2$ ne s’annule jamais.
4. Le plus petit entier $n$ tel que $-2(n+4{)}^2(n-1)<0$ est
   D’après le tableau, l’expression est strictement négative seulement sur $]1;+\infty [$ (en $-4$ elle est nulle, et de part et d’autre de $-4$ elle est positive). Le plus petit entier strictement supérieur à $1$ est $2$.

On considère $Q(x)={\displaystyle \frac{4-3x}{x+7}}$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3). Pour un signe, écris + ou −.

1. Valeur interdite de $Q$ :
   $x+7=0⟺x=-7$ : $Q(x)$ n’existe pas pour $x=-7$.
2. Valeur qui annule $Q(x)$ :
   Le quotient est nul quand son numérateur l’est (et le dénominateur non) : $4-3x=0⟺x={\displaystyle \frac{4}{3}}$, et ${\displaystyle \frac{4}{3}}\ne -7$.
3. Signe de $Q(x)$ à gauche de la valeur interdite :
   Pour $x<-7$ : $4-3x>0$ et $x+7<0$, signes contraires : le quotient est négatif.
4. Signe de $Q(x)$ entre la valeur interdite et la valeur qui annule $Q$ :

   $x$	$-\infty$		$-7$		${\displaystyle \frac{4}{3}}$		$+\infty$
   $4-3x$		$+$		$+$	$0$	$-$
   $x+7$		$-$	$0$	$+$		$+$
   $Q(x)$		$-$	||	$+$	$0$	$-$

   Sur $]-7;{\displaystyle \frac{4}{3}}[$, numérateur et dénominateur sont positifs : $Q(x)>0$. Contrôle : $Q(0)={\displaystyle \frac{4}{7}}>0$.

Tableau de signes de ${\displaystyle \frac{5-x}{2x+1}}$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3). Pour un signe, écris + ou −.

1. Dans la dernière ligne, la double barre est placée sous
   La double barre marque la valeur interdite : $2x+1=0⟺x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.
2. Dans la dernière ligne, le $0$ est placé sous
   Le quotient est nul quand le numérateur l’est : $5-x=0⟺x=5$.
3. Signe du quotient à droite de la valeur qui l’annule :

   $x$	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		$5$		$+\infty$
   $5-x$		$+$		$+$	$0$	$-$
   $2x+1$		$-$	$0$	$+$		$+$
   ${\displaystyle \frac{5-x}{2x+1}}$		$-$	||	$+$	$0$	$-$

   Pour $x>5$ : $5-x<0$ et $2x+1>0$ : le quotient est négatif.

On considère ${\displaystyle \frac{x(x+5)}{3-x}}$. Pour un signe, écris + ou −.

1. Les valeurs de la ligne des $x$ (sans $-\infty$ ni $+\infty$), dans l’ordre croissant : ; ;
   Le numérateur s’annule en $0$ et en $-5$ ; le dénominateur s’annule en $3$, valeur interdite. On range : $-5<0<3$.
2. Nombre de signes « + » dans la dernière ligne du tableau :

   $x$	$-\infty$		$-5$		$0$		$3$		$+\infty$
   $x+5$		$-$	$0$	$+$		$+$		$+$
   $x$		$-$		$-$	$0$	$+$		$+$
   $3-x$		$+$		$+$		$+$	$0$	$-$
   ${\displaystyle \frac{x(x+5)}{3-x}}$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	||	$-$

   Deux intervalles portent « $+$ » : $]-\infty ;-5[$ et $]0;3[$.
3. Justifier le signe du quotient sur l’intervalle $]0;3[$ :
   Rédaction attendue. Pour $0<x<3$ : $x>0$, $x+5>0$ (car $x>-5$) et $3-x>0$ (car $x<3$). Le numérateur, produit de deux positifs, est positif ; le dénominateur aussi. Le quotient de deux nombres positifs est positif.

On considère $T(x)={\displaystyle \frac{x^2-6x+9}{x^2-16}}$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. Démontrer que $T(x)={\displaystyle \frac{(x-3{)}^2}{(x-4)(x+4)}}$, puis donner les valeurs interdites dans l’ordre croissant : et
   Rédaction attendue. Avec l’identité $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ : $x^2-6x+9$ $=x^2-2\times x\times 3+3^2$ $=(x-3{)}^2$. Avec $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ : $x^2-16=x^2-4^2$ $=(x-4)(x+4)$. Le dénominateur s’annule si $x-4=0$ ou $x+4=0$ : les valeurs interdites sont $-4$ et $4$, et $T$ est défini sur $ℝ⧵\{-4;4\}$.
2. Le seul réel où $T(x)$ s’annule :
   Le numérateur $(x-3{)}^2$ s’annule seulement en $3$, qui n’est pas une valeur interdite.
3. Nombre d’intervalles de la dernière ligne sur lesquels $T(x)$ est négatif :

   $x$	$-\infty$		$-4$		$3$		$4$		$+\infty$
   $(x-3{)}^2$		$+$		$+$	$0$	$+$		$+$
   $x+4$		$-$	$0$	$+$		$+$		$+$
   $x-4$		$-$		$-$		$-$	$0$	$+$
   $T(x)$		$+$	||	$-$	$0$	$-$	||	$+$

   $T(x)$ est négatif sur $]-4;3[$ et sur $]3;4[$ : le carré ne change pas le signe, mais il crée un « trou » en $3$, où $T(x)=0$.

Inéquations produit : complète l’ensemble des solutions. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. $(x+8)(x-3)⩽0$ : $S=[$ $;$ $]$
   Racines $-8$ et $3$, deux coefficients positifs : le produit est négatif entre les racines, nul en $-8$ et en $3$. Inégalité large : crochets fermés, $S=[-8;3]$.
2. $(2x-3)(x+1)>0$ : $S=]-\infty ;$ $[\cup ]$ $;+\infty [$
   Racines $-1$ et ${\displaystyle \frac{3}{2}}$, coefficients positifs : le produit est positif à l’extérieur des racines. Inégalité stricte : $S=]-\infty ;-1[\cup ]{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty [$.
3. $(6-x)(x+2)⩾0$ : $S=[$ $;$ $]$

   $x$	$-\infty$		$-2$		$6$		$+\infty$
   $6-x$		$+$		$+$	$0$	$-$
   $x+2$		$-$	$0$	$+$		$+$
   $(6-x)(x+2)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

   Le facteur $6-x$ a un coefficient négatif : entre $-2$ et $6$, les deux facteurs sont positifs. $S=[-2;6]$.

Inéquations quotient : complète l’ensemble des solutions. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. ${\displaystyle \frac{x-7}{x+1}}<0$ : $S=]$ $;$ $[$
   Valeur interdite : $-1$. Numérateur et dénominateur ont un coefficient positif ; ils sont de signes contraires entre $-1$ et $7$. $S=]-1;7[$.
2. ${\displaystyle \frac{2x+6}{x-2}}⩾0$ : $S=]-\infty ;$ $]\cup ]$ $;+\infty [$

   $x$	$-\infty$		$-3$		$2$		$+\infty$
   $2x+6$		$-$	$0$	$+$		$+$
   $x-2$		$-$		$-$	$0$	$+$
   ${\displaystyle \frac{2x+6}{x-2}}$		$+$	$0$	$-$	||	$+$

   On garde les « $+$ » et le $0$ en $-3$ ; $2$ est une valeur interdite : crochet ouvert, même si l’inégalité est large. $S=]-\infty ;-3]\cup ]2;+\infty [$.

Factoriser avant de conclure. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. $x^2>7x$ : $S=]-\infty ;$ $[\cup ]$ $;+\infty [$
   On ne divise pas par $x$ : $x^2-7x>0⟺x(x-7)>0$. Racines $0$ et $7$, coefficients positifs : positif à l’extérieur. $S=]-\infty ;0[\cup ]7;+\infty [$. Diviser par $x$ aurait fait perdre tous les $x<0$.
2. Démontrer que $(4x-1{)}^2-(x+5{)}^2$ $=3(x-2)(5x+4)$, puis résoudre $(4x-1{)}^2⩽(x+5{)}^2$ : $S=[$ $;$ $]$
   Rédaction attendue. Avec $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ : $(4x-1{)}^2-(x+5{)}^2$ $=[(4x-1)-(x+5)][(4x-1)+(x+5)]$ $=(3x-6)(5x+4)$ $=3(x-2)(5x+4)$. L’inéquation équivaut à $3(x-2)(5x+4)⩽0$. Le facteur $3$ est positif ; $x-2$ et $5x+4$ ont un coefficient positif, de racines $2$ et $-{\displaystyle \frac{4}{5}}$ : le produit est négatif ou nul entre les racines. $S=[-{\displaystyle \frac{4}{5}};2]$.
3. $(2x+3)(x-7)⩾(2x+3)(1-x)$ : $S=]-\infty ;$ $]\cup [$ $;+\infty [$
   On passe tout à gauche et on met $2x+3$ en facteur : $(2x+3)[(x-7)-(1-x)]⩾0$ $⟺(2x+3)(2x-8)⩾0$. Racines $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ et $4$, coefficients positifs : positif à l’extérieur. Simplifier par $2x+3$ aurait donné $x⩾4$ seulement ; or $x=-2$ convient : $(-1)\times (-9)$ $=9⩾(-1)\times 3$ $=-3$.

On veut résoudre ${\displaystyle \frac{3x+1}{x-2}}⩽4$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. Démontrer que, pour $x$ différent de la valeur interdite, l’inéquation équivaut à ${\displaystyle \frac{9-x}{x-2}}⩽0$, puis compléter : $S=]-\infty ;$ $[\cup [$ $;+\infty [$
   Rédaction attendue. La valeur interdite est $2$. Pour $x\ne 2$ : ${\displaystyle \frac{3x+1}{x-2}}⩽4$ $⟺{\displaystyle \frac{3x+1}{x-2}}-4⩽0$ $⟺{\displaystyle \frac{3x+1-4(x-2)}{x-2}}⩽0$. Or $3x+1-4x+8=9-x$. L’inéquation équivaut bien à ${\displaystyle \frac{9-x}{x-2}}⩽0$.

   $x$	$-\infty$		$2$		$9$		$+\infty$
   $9-x$		$+$		$+$	$0$	$-$
   $x-2$		$-$	$0$	$+$		$+$
   ${\displaystyle \frac{9-x}{x-2}}$		$-$	||	$+$	$0$	$-$

   $S=]-\infty ;2[\cup [9;+\infty [$.
2. Un élève écrit : « $3x+1⩽4(x-2)$, donc $x⩾9$ ». Pour $x=0$, le quotient ${\displaystyle \frac{3x+1}{x-2}}$ vaut
   ${\displaystyle \frac{0+1}{0-2}}$ $=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, et $-{\displaystyle \frac{1}{2}}⩽4$ : $0$ est solution, alors que $0<9$. L’élève a multiplié par $x-2$ comme si ce nombre était positif ; pour $x<2$, il est négatif et le sens de l’inégalité change. Il a perdu tout l’intervalle $]-\infty ;2[$.

Soit $m$ un réel. On pose $f_m(x)=(x-m)(2x+5)$ et l’on étudie l’inéquation $f_m(x)⩽0$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. Pour $m=-4$, le nombre d’entiers solutions est
   $f_{-4}(x)=(x+4)(2x+5)$ : racines $-4$ et $-{\displaystyle \frac{5}{2}}$, avec $-4<-{\displaystyle \frac{5}{2}}$, coefficients positifs. Le produit est négatif ou nul entre les racines : $S=[-4;-{\displaystyle \frac{5}{2}}]$. Entiers solutions : $-4$ et $-3$, soit $2$.
2. Démontrer que, si $m>-{\displaystyle \frac{5}{2}}$, l’ensemble des solutions est $[-{\displaystyle \frac{5}{2}};m]$. Pour $m=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$, le nombre de solutions est
   Rédaction attendue. $x-m$ s’annule en $m$ et $2x+5$ en $-{\displaystyle \frac{5}{2}}$, tous deux avec un coefficient positif. Si $m>-{\displaystyle \frac{5}{2}}$, on range $-{\displaystyle \frac{5}{2}}<m$ : le produit est négatif entre les racines et nul en chacune, donc $S=[-{\displaystyle \frac{5}{2}};m]$. Si $m=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ : $f_m(x)=(x+{\displaystyle \frac{5}{2}})(2x+5)$ $=2{(x+{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2$, positif ou nul, nul seulement en $-{\displaystyle \frac{5}{2}}$. Une seule solution : $S=\{-{\displaystyle \frac{5}{2}}\}$.
3. $0$ est solution de $f_m(x)⩽0$ si et seulement si $m⩾$
   $f_m(0)=(0-m)(0+5)=-5m$. Or $-5m⩽0⟺m⩾0$. Cohérent avec la question précédente : pour $m⩾0$, $0$ appartient à $[-{\displaystyle \frac{5}{2}};m]$.
4. Pour $m=-6$, l’ensemble des solutions est $[$ $;$ $]$ (une fraction s’écrit avec « / »)
   $-6<-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ : le produit $(x+6)(2x+5)$ est négatif ou nul entre les racines rangées $m$ puis $-{\displaystyle \frac{5}{2}}$, soit $S=[-6;-{\displaystyle \frac{5}{2}}]$. Pour tout $m<-{\displaystyle \frac{5}{2}}$, $S=[m;-{\displaystyle \frac{5}{2}}]$.

Une fonction $f$ définie sur $[-6;8]$ a le tableau de signes suivant. Pour un signe, écris + ou −.

1. $f(x)>0$ : $S=[-6;$ $[\cup ]$ $;8]$
   On prend les intervalles « $+$ », sans les valeurs où $f$ s’annule. Les bornes $-6$ et $8$ appartiennent à l’ensemble de définition et $f$ y est positive : crochets fermés. $S=[-6;-1[\cup ]4;8]$.
2. Signe de $f(0)$ :
   $0$ appartient à $]-1;4[$, où $f$ est négative : $f(0)<0$.
3. Signe de $f(-5)\times f(6)$ :
   $-5\in [-6;-1[$ et $6\in ]4;8]$ : $f(-5)>0$ et $f(6)>0$. Le produit de deux positifs est positif.
4. Justifier que $f(x)-1$ est négatif sur $[-1;4]$. Sur cet intervalle, $f(x)-1$ est inférieur ou égal à
   Rédaction attendue. Sur $[-1;4]$, le tableau donne $f(x)⩽0$ ; en retranchant $1$ : $f(x)-1⩽-1<0$. Ailleurs, on sait seulement que $f(x)>0$ : $f(x)$ peut valoir $0,3$ comme $12$, donc le signe de $f(x)-1$ n’y est pas connu. Un tableau de signes ne donne pas les valeurs.

La courbe d’une fonction $g$ définie sur $[-5;6]$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse $-3$ et le touche au point d’abscisse $2$, sans le traverser. Elle est au-dessus de l’axe sur $[-5;-3[$, au-dessous sur $]-3;2[$ et sur $]2;6]$. Pour un signe, écris + ou −.

1. Nombre de solutions de l’équation $g(x)=0$ :
   $g(x)=0$ aux points où la courbe coupe ou touche l’axe : en $-3$ et en $2$.
2. Signe de $g(5)$ :
   $5\in ]2;6]$, où la courbe est au-dessous de l’axe : $g(5)<0$.
3. $g(x)⩾0$ : $S$ est la réunion de l’intervalle $[-5;-3]$ et du singleton $\{$ $\}$
   $g(x)⩾0$ : là où la courbe est au-dessus de l’axe, ou sur l’axe. $S=[-5;-3]\cup \{2\}$. La valeur isolée $2$ se perd facilement : la courbe y touche l’axe sans changer de côté.

On pose $f(x)=x^2+2x$ et $g(x)=3x+12$, de courbes $C_f$ et $C_g$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. Démontrer que $f(x)-g(x)=(x-4)(x+3)$. $C_f$ est au-dessous de $C_g$ sur $]$ $;$ $[$
   Rédaction attendue. $f(x)-g(x)$ $=x^2+2x-3x-12$ $=x^2-x-12$, et $(x-4)(x+3)$ $=x^2+3x-4x-12$ $=x^2-x-12$. Les deux facteurs ont un coefficient positif, de racines $-3$ et $4$ : le produit est négatif entre les racines. $C_f$ est au-dessous de $C_g$ quand $f(x)-g(x)<0$, c’est-à-dire sur $]-3;4[$, et au-dessus sur $]-\infty ;-3[\cup ]4;+\infty [$.
2. Ordonnée du point d’intersection d’abscisse positive :
   Les courbes se coupent quand $f(x)-g(x)=0$, en $-3$ et en $4$. Pour $x=4$ : $g(4)=12+12=24$, et $f(4)=16+8=24$. Le point est $(4;24)$.
3. Pour $x=-5$, l’écart $f(x)-g(x)$ vaut
   $(-5-4)(-5+3)$ $=(-9)\times (-2)$ $=18>0$ : en $-5$, $C_f$ est au-dessus de $C_g$. Contrôle : $f(-5)=25-10=15$ et $g(-5)=-3$.

Comparer $x$ et ${\displaystyle \frac{9}{x}}$ pour $x\ne 0$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. Démontrer que, pour $x\ne 0$, $x-{\displaystyle \frac{9}{x}}$ $={\displaystyle \frac{(x-3)(x+3)}{x}}$. Sur $]0;+\infty [$, on a $x>{\displaystyle \frac{9}{x}}$ si et seulement si $x>$
   Rédaction attendue. Pour $x\ne 0$ : $x-{\displaystyle \frac{9}{x}}$ $={\displaystyle \frac{x^2}{x}}-{\displaystyle \frac{9}{x}}$ $={\displaystyle \frac{x^2-9}{x}}$ $={\displaystyle \frac{(x-3)(x+3)}{x}}$. Sur $]0;+\infty [$, $x>0$ et $x+3>0$ : le quotient a le signe de $x-3$. Donc $x-{\displaystyle \frac{9}{x}}>0⟺x>3$.
2. Sur $]-\infty ;0[$, l’inégalité $x>{\displaystyle \frac{9}{x}}$ est vraie exactement sur $]$ $;0[$

   $x$	$-\infty$		$-3$		$0$		$3$		$+\infty$
   $x+3$		$-$	$0$	$+$		$+$		$+$
   $x-3$		$-$		$-$		$-$	$0$	$+$
   $x$		$-$		$-$	$0$	$+$		$+$
   $x-{\displaystyle \frac{9}{x}}$		$-$	$0$	$+$	||	$-$	$0$	$+$

   Sur $]-3;0[$, deux facteurs négatifs sur trois ($x-3$ et $x$) : le quotient est positif, donc $x>{\displaystyle \frac{9}{x}}$. Sur $]-\infty ;-3[$, les trois sont négatifs : quotient négatif.
3. Nombre d’entiers $n$ non nuls de $[-5;5]$ tels que $n<{\displaystyle \frac{9}{n}}$ :
   D’après le tableau, $n-{\displaystyle \frac{9}{n}}<0$ sur $]-\infty ;-3[\cup ]0;3[$. Entiers non nuls de $[-5;5]$ concernés : $-5$, $-4$, $1$ et $2$, soit $4$. Pour $n=3$ ou $n=-3$, il y a égalité.