Étude de signe et tableaux de signes

Signe d'une expression affine, d'un produit et d'un quotient, tableaux de signes, inéquations produit et quotient (thème Fonctions)

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Étude de signe et tableaux de signes » en seconde permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de seconde et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Signe de ax + b, Signe d'un produit et d'un quotient, Lecture graphique du signe. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser mathématiques en seconde.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Signe d'expressions affines

Facile

Pour chacune des expressions suivantes, déterminer la valeur qui l'annule, puis dresser son tableau de signes sur $ℝ$ .

a) $A (x) = 5 x - 15$
b) $B (x) = - 4 x + 18$
c) $C (x) = \frac{2}{3} x + 4$
d) $D (x) = 7 - 0, 5 x$

a) $5 x - 15 = 0 ⟺ x = 3$ . Le coefficient de $x$ vaut $5 > 0$ : $A (x)$ est négatif à gauche de $3$ , positif à droite.

$x$	$- \infty$		$3$		$+ \infty$
$A (x)$		−	0	+

b) $- 4 x + 18 = 0 ⟺ x = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ . Le coefficient vaut $- 4 < 0$ : $B (x)$ est positif à gauche de $\frac{9}{2}$ , négatif à droite.

$x$	$- \infty$		$\frac{9}{2}$		$+ \infty$
$B (x)$		+	0	−

c) $\frac{2}{3} x + 4 = 0 ⟺ x = - 4 \times \frac{3}{2} = - 6$ . Le coefficient $\frac{2}{3}$ est positif : négatif puis positif.

$x$	$- \infty$		$- 6$		$+ \infty$
$C (x)$		−	0	+

d) $7 - 0, 5 x = 0 ⟺ x = \frac{7}{0, 5} = 14$ . Le coefficient $- 0, 5$ est négatif : positif puis négatif.

$x$	$- \infty$		$14$		$+ \infty$
$D (x)$		+	0	−

À chaque fois : la racine vaut $- \frac{b}{a}$ et le signe à droite est celui de $a$ .

Exercice 2 — Lire un tableau de signes

Facile

Une fonction $f$ définie sur $[- 6; 8]$ a le tableau de signes suivant.

$x$	$- 6$		$- 1$		$4$		$8$
$f (x)$		+	0	−	0	+

a) Résoudre $f (x) > 0$ .
b) Résoudre $f (x) \leq 0$ .
c) Donner le signe de $f (0)$ , puis celui de $f (- 5) \times f (6)$ .
d) Peut-on déterminer le signe de $f (x) - 1$ sur $[- 6; 8]$ ? Justifier.

a) On prend les intervalles marqués « + », en excluant les valeurs où $f$ s'annule. Les bornes $- 6$ et $8$ appartiennent au domaine et $f$ y est positive : $S = [- 6; - 1 [\cup] 4; 8]$ .

b) On prend l'intervalle « − » et les zéros : $S = [- 1; 4]$ .

c) $0 \in] - 1; 4 [$ , donc $f (0) < 0$ . $- 5 \in [- 6; - 1 [$ et $6 \in] 4; 8]$ , donc $f (- 5) > 0$ et $f (6) > 0$ : produit de deux nombres positifs, $f (- 5) \times f (6) > 0$ .

d) Le tableau donne le signe de $f (x)$ , pas sa valeur. Sur $[- 1; 4]$ , $f (x) \leq 0$ , donc $f (x) - 1 \leq - 1 < 0$ : $f (x) - 1$ est négatif sur $[- 1; 4]$ . Sur $[- 6; - 1 [$ et sur $] 4; 8]$ , on sait seulement que $f (x) > 0$ : $f (x)$ peut valoir $0, 3$ comme $12$ , donc le signe de $f (x) - 1$ n'y est pas déterminé.

Exercice 3 — Produit de deux facteurs affines

Facile

On considère l'expression $P (x) = (x - 6) (3 x + 2)$ .

a) Résoudre l'équation $P (x) = 0$ .
b) Dresser le tableau de signes de $P (x)$ sur $ℝ$ .
c) Résoudre $P (x) < 0$ , puis $P (x) \geq 0$ .

a) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x - 6 = 0$ ou $3 x + 2 = 0$ , soit $x = 6$ ou $x = - \frac{2}{3}$ . $S = {- \frac{2}{3}; 6}$ .

b) $x - 6$ (coefficient $1 > 0$ ) est négatif avant $6$ ; $3 x + 2$ (coefficient $3 > 0$ ) est négatif avant $- \frac{2}{3}$ . On range $- \frac{2}{3} < 6$ .

$x$	$- \infty$		$- \frac{2}{3}$		$6$		$+ \infty$
$x - 6$		−		−	0	+
$3 x + 2$		−	0	+		+
$P (x)$		+	0	−	0	+

c) $P (x) < 0$ : colonne « − », bornes exclues : $S =] - \frac{2}{3}; 6 [$ .
$P (x) \geq 0$ : colonnes « + » et zéros : $S =] - \infty; - \frac{2}{3}] \cup [6; + \infty [$ .

Exercice 4 — Quotient de facteurs affines

Moyen

On considère l'expression $Q (x) = \frac{4 - 3 x}{x + 7}$ .

a) Pour quelle valeur de $x$ l'expression $Q (x)$ n'est-elle pas définie ?
b) Dresser le tableau de signes de $Q (x)$ .
c) Résoudre $Q (x) \leq 0$ .
d) Résoudre $Q (x) > 0$ .

a) $x + 7 = 0 ⟺ x = - 7$ : $Q$ n'est pas défini en $- 7$ , valeur interdite.

b) $4 - 3 x = 0 ⟺ x = \frac{4}{3}$ ; coefficient $- 3 < 0$ : positif puis négatif. $x + 7$ : coefficient $1 > 0$ , négatif avant $- 7$ . On range $- 7 < \frac{4}{3}$ .

$x$	$- \infty$		$- 7$		$\frac{4}{3}$		$+ \infty$
$4 - 3 x$		+		+	0	−
$x + 7$		−	0	+		+
$Q (x)$		−	‖	+	0	−

c) $Q (x) \leq 0$ : colonnes « − » et zéro du numérateur, jamais la valeur interdite : $S =] - \infty; - 7 [\cup [\frac{4}{3}; + \infty [$ .

d) $Q (x) > 0$ : $S =] - 7; \frac{4}{3} [$ . Contrôle : $Q (0) = \frac{4}{7} > 0$ et $0$ appartient bien à cet intervalle.

Exercice 5 — Produit de trois facteurs

Moyen

On considère $R (x) = (2 x + 9) (x - 2) (8 - x)$ .

a) Déterminer les valeurs qui annulent $R (x)$ et les ranger dans l'ordre croissant.
b) Dresser le tableau de signes de $R (x)$ .
c) Résoudre $R (x) \geq 0$ .
d) Donner, à l'aide du tableau, le signe de $R (π)$ et celui de $R (- 10)$ .

a) $2 x + 9 = 0 ⟺ x = - \frac{9}{2}$ ; $x - 2 = 0 ⟺ x = 2$ ; $8 - x = 0 ⟺ x = 8$ . Ordre : $- \frac{9}{2} < 2 < 8$ .

b) $2 x + 9$ et $x - 2$ ont un coefficient positif (négatifs puis positifs) ; $8 - x$ a un coefficient négatif (positif puis négatif).

$x$	$- \infty$		$- \frac{9}{2}$		$2$		$8$		$+ \infty$
$2 x + 9$		−	0	+		+		+
$x - 2$		−		−	0	+		+
$8 - x$		+		+		+	0	−
$R (x)$		+	0	−	0	+	0	−

Par exemple sur $] - \frac{9}{2}; 2 [$ : un seul facteur négatif, nombre impair, donc $R (x) < 0$ .

c) $R (x) \geq 0$ : $S =] - \infty; - \frac{9}{2}] \cup [2; 8]$ .

d) $π \approx 3, 14 \in] 2; 8 [$ : $R (π) > 0$ . $- 10 < - \frac{9}{2}$ : $R (- 10) > 0$ ; vérification : $(- 11) \times (- 12) \times 18 = 2 376 > 0$ .

Exercice 6 — Factoriser pour conclure

Moyen

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes.

a) $x^{2} < 20$
b) Factoriser $(4 x - 1)^{2} - (x + 5)^{2}$ , puis résoudre $(4 x - 1)^{2} \leq (x + 5)^{2}$ .
c) $(2 x + 3) (x - 7) \geq (2 x + 3) (1 - x)$

a) $x^{2} < 20 ⟺ x^{2} - 20 < 0 ⟺ (x - \sqrt{20}) (x + \sqrt{20}) < 0$ , avec $\sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \approx 4, 47$ . Les deux facteurs ont un coefficient positif : le produit est négatif entre les racines. $S =] - 2 \sqrt{5}; 2 \sqrt{5} [$ .

b) Avec $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ : $(4 x - 1)^{2} - (x + 5)^{2} = [(4 x - 1) - (x + 5)] [(4 x - 1) + (x + 5)] = (3 x - 6) (5 x + 4) = 3 (x - 2) (5 x + 4)$ .
L'inéquation équivaut à $(4 x - 1)^{2} - (x + 5)^{2} \leq 0$ , soit $(x - 2) (5 x + 4) \leq 0$ (division par $3 > 0$ ). Racines $- \frac{4}{5}$ et $2$ , coefficients positifs : négatif entre les racines. $S = [- \frac{4}{5}; 2]$ .

c) On passe tout à gauche et on factorise par $2 x + 3$ : $(2 x + 3) [(x - 7) - (1 - x)] \geq 0 ⟺ (2 x + 3) (2 x - 8) \geq 0$ . Racines $- \frac{3}{2}$ et $4$ , coefficients positifs : positif à l'extérieur des racines. $S =] - \infty; - \frac{3}{2}] \cup [4; + \infty [$ .
Simplifier par $2 x + 3$ aurait donné $x \geq 4$ seulement : or $x = - 2$ convient, car $(- 1) (- 9) = 9 \geq (- 1) \times 3 = - 3$ .

Exercice 7 — Inéquation quotient et erreur d'élève

Moyen

On veut résoudre l'inéquation $\frac{3 x + 1}{x - 2} \leq 4$ .

a) Déterminer la valeur interdite.
b) Montrer que, pour $x \neq 2$ , l'inéquation équivaut à $\frac{9 - x}{x - 2} \leq 0$ .
c) Résoudre l'inéquation.
d) Un élève écrit : « $3 x + 1 \leq 4 (x - 2)$ , donc $x \geq 9$ ». Expliquer son erreur et donner une valeur de $x$ qui la met en évidence.

a) $x - 2 = 0 ⟺ x = 2$ : la valeur interdite est $2$ .

b) Pour $x \neq 2$ : $\frac{3 x + 1}{x - 2} \leq 4 ⟺ \frac{3 x + 1}{x - 2} - 4 \leq 0 ⟺ \frac{3 x + 1 - 4 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$ . Or $3 x + 1 - 4 x + 8 = 9 - x$ . L'inéquation équivaut bien à $\frac{9 - x}{x - 2} \leq 0$ .

c) $9 - x$ s'annule en $9$ (coefficient $- 1 < 0$ ) ; $x - 2$ s'annule en $2$ (coefficient $1 > 0$ ).

$x$	$- \infty$		$2$		$9$		$+ \infty$
$9 - x$		+		+	0	−
$x - 2$		−	0	+		+
$\frac{9 - x}{x - 2}$		−	‖	+	0	−

$S =] - \infty; 2 [\cup [9; + \infty [$ .

d) Multiplier les deux membres par $x - 2$ ne conserve le sens de l'inégalité que si $x - 2 > 0$ . L'élève a supposé $x > 2$ sans le dire et a perdu tout l'intervalle $] - \infty; 2 [$ . Pour $x = 0$ : $\frac{1}{- 2} = - 0, 5 \leq 4$ est vrai, alors que $0 < 9$ . Son ensemble $[9; + \infty [$ est incomplet.

Exercice 8 — Fonctions de référence et signe

Difficile

Les questions sont indépendantes.

a) Étudier le signe de $x^{3} - 6 x^{2}$ sur $ℝ$ .
b) Résoudre $\frac{1}{x} > 3$ .
c) Résoudre $x^{3} \geq 9 x$ .
d) Résoudre $\sqrt{x} (x - 5) < 0$ .

a) $x^{3} - 6 x^{2} = x^{2} (x - 6)$ . Comme $x^{2} > 0$ pour $x \neq 0$ et $x^{2} = 0$ pour $x = 0$ , le signe est celui de $x - 6$ , avec un zéro supplémentaire en $0$ . $x^{3} - 6 x^{2} < 0$ sur $] - \infty; 0 [\cup] 0; 6 [$ , nul en $0$ et en $6$ , $> 0$ sur $] 6; + \infty [$ .

b) Valeur interdite $0$ . $\frac{1}{x} > 3 ⟺ \frac{1}{x} - 3 > 0 ⟺ \frac{1 - 3 x}{x} > 0$ .

$x$	$- \infty$		$0$		$\frac{1}{3}$		$+ \infty$
$1 - 3 x$		+		+	0	−
$x$		−	0	+		+
$\frac{1 - 3 x}{x}$		−	‖	+	0	−

$S =] 0; \frac{1}{3} [$ . Écrire « $1 > 3 x$ » en multipliant par $x$ serait faux pour $x < 0$ .

c) $x^{3} - 9 x = x (x^{2} - 9) = x (x - 3) (x + 3) \geq 0$ .

$x$	$- \infty$		$- 3$		$0$		$3$		$+ \infty$
$x + 3$		−	0	+		+		+
$x$		−		−	0	+		+
$x - 3$		−		−		−	0	+
$x^{3} - 9 x$		−	0	+	0	−	0	+

$S = [- 3; 0] \cup [3; + \infty [$ .

d) L'expression est définie sur $[0; + \infty [$ . $\sqrt{x} > 0$ pour $x > 0$ et $\sqrt{0} = 0$ : le produit est strictement négatif si et seulement si $x > 0$ et $x - 5 < 0$ . $S =] 0; 5 [$ ( $0$ est exclu car le produit y est nul).

Exercice 9 — Une inéquation avec paramètre

Difficile

Soit $m$ un nombre réel. On pose $f_{m} (x) = (x - m) (2 x + 5)$ .

a) Résoudre $f_{m} (x) \leq 0$ lorsque $m = - 4$ .
b) On suppose $m > - \frac{5}{2}$ . Résoudre $f_{m} (x) \leq 0$ .
c) Résoudre $f_{m} (x) \leq 0$ lorsque $m < - \frac{5}{2}$ , puis lorsque $m = - \frac{5}{2}$ .
d) Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $0$ est solution de $f_{m} (x) \leq 0$ .

a) $f_{- 4} (x) = (x + 4) (2 x + 5)$ . Racines $- 4$ et $- \frac{5}{2}$ , avec $- 4 < - \frac{5}{2}$ . Les deux coefficients sont positifs : le produit est négatif entre les racines. $S = [- 4; - \frac{5}{2}]$ .

b) $x - m$ est négatif avant $m$ , positif après ; $2 x + 5$ est négatif avant $- \frac{5}{2}$ , positif après. Comme $- \frac{5}{2} < m$ : avant $- \frac{5}{2}$ , deux facteurs négatifs (produit positif) ; entre $- \frac{5}{2}$ et $m$ , un seul (produit négatif) ; après $m$ , aucun. $S = [- \frac{5}{2}; m]$ .

c) Si $m < - \frac{5}{2}$ , le même raisonnement avec les racines dans l'autre ordre donne $S = [m; - \frac{5}{2}]$ .
Si $m = - \frac{5}{2}$ : $f_{m} (x) = (x + \frac{5}{2}) (2 x + 5) = 2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} \geq 0$ , nul seulement en $- \frac{5}{2}$ . $S = {- \frac{5}{2}}$ .

d) $f_{m} (0) = (0 - m) (0 + 5) = - 5 m$ . $0$ est solution si et seulement si $- 5 m \leq 0$ , soit $m \geq 0$ . Cohérence avec b) : pour $m \geq 0$ , $0 \in [- \frac{5}{2}; m]$ ; pour $- \frac{5}{2} < m < 0$ , $0 > m$ n'y est pas.

Exercice 10 — Quotient contenant un carré

Difficile

On considère $T (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 16}$ .

a) Factoriser le numérateur et le dénominateur.
b) Déterminer l'ensemble de définition de $T$ .
c) Dresser le tableau de signes de $T (x)$ .
d) Résoudre $T (x) < 0$ .
e) Résoudre $T (x) \geq 0$ .

a) $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ (identité $(a - b)^{2}$ ) et $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ (identité $a^{2} - b^{2}$ ). $T (x) = \frac{(x - 3)^{2}}{(x - 4) (x + 4)}$ .

b) Le dénominateur s'annule en $4$ et en $- 4$ : $T$ est défini sur $ℝ ⧵ {- 4; 4}$ .

c) $(x - 3)^{2}$ est positif et s'annule en $3$ ; $x + 4$ et $x - 4$ ont un coefficient positif.

$x$	$- \infty$		$- 4$		$3$		$4$		$+ \infty$
$(x - 3)^{2}$		+		+	0	+		+
$x + 4$		−	0	+		+		+
$x - 4$		−		−		−	0	+
$T (x)$		+	‖	−	0	−	‖	+

d) $T (x) < 0$ sur les colonnes « − », en excluant le zéro $3$ : $S =] - 4; 3 [\cup] 3; 4 [$ . Le carré ne change pas le signe mais crée ce « trou » en $3$ .

e) $T (x) \geq 0$ : colonnes « + » et le zéro isolé : $S =] - \infty; - 4 [\cup {3} \cup] 4; + \infty [$ . Oublier la solution isolée $x = 3$ est l'erreur typique.

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