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Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

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Étude de signe et tableaux de signes

Signe d’une expression affine ax + b, règle des signes et tableau de signes d’un produit ou d’un quotient, valeurs interdites, inéquations produit et quotient, lecture graphique du signe et position relative de deux courbes.

À propos de cette page
Un QCM sur le signe et les tableaux de signes en trois niveaux de douze questions : racine de ax + b, double barre, inéquations produit et quotient, lecture d’une courbe, puis les erreurs classiques comme la division par x ou le crochet fermé sur une valeur interdite. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Le nombre qui annule 10x − 4 est :

    • A. 5/2
    • B. −2/5
    • C. 2/5
    • D. −4
    Réponse

    C. 2/5 — 10x − 4 = 0 ⟺ x = 4/10 = 2/5.

  2. Si a < 0, l’expression ax + b est strictement positive :

    • A. à gauche de −b/a
    • B. à droite de −b/a
    • C. à gauche de b/a
    • D. pour tout réel x
    Réponse

    A. à gauche de −b/a — ax + b a le signe de a, ici négatif, à droite de sa racine −b/a ; il a donc le signe contraire, positif, à gauche.

  3. Le produit de deux nombres non nuls de signes contraires est :

    • A. strictement positif
    • B. strictement négatif
    • C. égal à zéro
    • D. de signe impossible à prévoir
    Réponse

    B. strictement négatif — Un seul facteur négatif : le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif.

  4. Dans un tableau de signes, une double barre ‖ indique :

    • A. une valeur qui annule l’expression
    • B. un changement de signe
    • C. une borne de l’ensemble d’étude
    • D. une valeur interdite
    Réponse

    D. une valeur interdite — La double barre marque une valeur qui annule le dénominateur : l’expression n’y est pas définie.

  5. Pour tout réel x, le nombre (x − 1)² est :

    • A. strictement positif
    • B. positif ou nul
    • C. du même signe que x − 1
    • D. négatif ou nul
    Réponse

    B. positif ou nul — Un carré est toujours positif ou nul, et (x − 1)² vaut 0 pour x = 1 : « strictement positif » est donc faux.

  6. Sur un intervalle I, la courbe de f est strictement au-dessus de l’axe des abscisses. Alors :

    • A. f(x) < 0 pour tout x de I
    • B. f est croissante sur I
    • C. f(x) > 0 pour tout x de I
    • D. f(x) = 0 pour tout x de I
    Réponse

    C. f(x) > 0 pour tout x de I — Au-dessus de l’axe, l’ordonnée f(x) est strictement positive ; cela ne dit rien du sens de variation.

  7. La valeur interdite de (x + 8)/(3x − 15) est :

    • A. −8
    • B. 15
    • C. −5
    • D. 5
    Réponse

    D. 5 — Le dénominateur s’annule pour 3x − 15 = 0, soit x = 5. Le nombre −8 annule le numérateur : ce n’est pas une valeur interdite.

  8. Le produit (−2) × (−5) × 3 × (−1) est :

    • A. négatif
    • B. positif
    • C. nul
    • D. égal à 10
    Réponse

    A. négatif — Trois facteurs négatifs, nombre impair : le produit est négatif. Il vaut −30.

  9. Pour x > 4, le signe de 3x − 12 est :

    • A. négatif
    • B. nul
    • C. positif
    • D. celui de −3
    Réponse

    C. positif — 3x − 12 s’annule en 4 et son coefficient 3 est positif : il est positif à droite de 4.

  10. La première ligne d’un tableau de signes contient :

    • A. les signes de chaque facteur du produit
    • B. les valeurs de x rangées dans l’ordre croissant
    • C. les images des valeurs remarquables de x
    • D. les valeurs de x dans l’ordre de l’énoncé
    Réponse

    B. les valeurs de x rangées dans l’ordre croissant — On y range dans l’ordre croissant les bornes, les valeurs qui annulent un facteur et les valeurs interdites.

  11. Un produit de cinq facteurs non nuls, dont exactement deux sont négatifs, est :

    • A. négatif
    • B. nul
    • C. de signe impossible à prévoir
    • D. positif
    Réponse

    D. positif — Deux facteurs négatifs, nombre pair : le produit est positif.

  12. Les signes de 4x + 2, de gauche à droite dans son tableau, sont :

    • A. −, 0, +
    • B. +, 0, −
    • C. +, 0, +
    • D. −, 0, −
    Réponse

    A. −, 0, + — 4x + 2 s’annule en −1/2 ; son coefficient 4 est positif : négatif avant, positif après.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. L’ensemble des solutions de (x + 6)(x − 9) < 0 est :

    • A. ]−∞ ; −6[ ∪ ]9 ; +∞[
    • B. ]−6 ; 9[
    • C. ]−9 ; 6[
    • D. [−6 ; 9]
    Réponse

    B. ]−6 ; 9[ — Les deux facteurs ont un coefficient positif : le produit est négatif entre les racines −6 et 9, bornes exclues car l’inégalité est stricte.

  2. L’expression (7 − x)(2x + 1) est positive ou nulle exactement sur :

    • A. ]−∞ ; −1/2]
    • B. [7 ; +∞[
    • C. [−7 ; 1/2]
    • D. [−1/2 ; 7]
    Réponse

    D. [−1/2 ; 7] — Racines −1/2 et 7. Entre elles, 7 − x > 0 et 2x + 1 > 0 : produit positif ; à l’extérieur, un seul facteur est négatif.

  3. Les solutions de (x − 11)/(x + 2) ⩾ 0 sont :

    • A. ]−∞ ; −2[ ∪ [11 ; +∞[
    • B. ]−∞ ; −2] ∪ [11 ; +∞[
    • C. ]−2 ; 11]
    • D. [−2 ; 11]
    Réponse

    A. ]−∞ ; −2[ ∪ [11 ; +∞[ — Signes : + avant −2, − entre −2 et 11, + après 11. 11 est solution car 0 ⩾ 0 ; −2 est interdite : crochet ouvert.

  4. L’expression x² − 4x est strictement négative sur :

    • A. ]−4 ; 0[
    • B. ]−∞ ; 4[
    • C. ]0 ; 4[
    • D. ]4 ; +∞[
    Réponse

    C. ]0 ; 4[ — x² − 4x = x(x − 4) : produit négatif entre les racines 0 et 4.

  5. Sur ]−∞ ; −3[, puis ]−3 ; 5[, puis ]5 ; +∞[, les signes de (5 − x)/(x + 3) sont :

    • A. −, +, −
    • B. +, −, +
    • C. +, +, −
    • D. −, −, +
    Réponse

    A. −, +, − — Avant −3 : numérateur positif, dénominateur négatif, quotient négatif ; entre −3 et 5 : positif ; après 5 : numérateur négatif, quotient négatif.

  6. L’inéquation 1/x ⩾ −4 a pour ensemble de solutions :

    • A. [−1/4 ; +∞[
    • B. [−1/4 ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[
    • C. ]0 ; +∞[
    • D. ]−∞ ; −1/4] ∪ ]0 ; +∞[
    Réponse

    D. ]−∞ ; −1/4] ∪ ]0 ; +∞[ — 1/x + 4 = (4x + 1)/x ⩾ 0 : racine −1/4, valeur interdite 0 ; le quotient est positif ou nul sur ]−∞ ; −1/4] et positif sur ]0 ; +∞[.

  7. f est définie sur [−5 ; 7] ; sa courbe coupe l’axe des abscisses seulement en −2 et en 3, elle est au-dessous de l’axe entre ces valeurs et au-dessus ailleurs. Les solutions de f(x) ⩾ 0 sont :

    • A. [−2 ; 3]
    • B. [−5 ; −2] ∪ [3 ; 7]
    • C. ]−5 ; −2[ ∪ ]3 ; 7[
    • D. [−5 ; 7]
    Réponse

    B. [−5 ; −2] ∪ [3 ; 7] — f(x) ⩾ 0 là où la courbe est au-dessus de l’axe ou le coupe : −5, −2, 3 et 7 compris.

  8. L’inéquation 3/(x − 1) > 0 a pour ensemble de solutions :

    • A. ]−∞ ; 1[
    • B. [1 ; +∞[
    • C. ]1 ; +∞[
    • D. ℝ privé de 1
    Réponse

    C. ]1 ; +∞[ — Le numérateur 3 est positif : le quotient a le signe de x − 1, positif pour x > 1.

  9. L’ensemble des solutions de (x − 2)²(x + 5) ⩽ 0 est :

    • A. ]−∞ ; −5] ∪ {2}
    • B. ]−∞ ; −5] ∪ [2 ; +∞[
    • C. [−5 ; 2]
    • D. ]−∞ ; 2]
    Réponse

    A. ]−∞ ; −5] ∪ {2} — Le carré est positif sauf en 2 où il est nul : le produit a le signe de x + 5, avec un zéro isolé en 2, solution de l’inégalité large.

  10. Pour −2 < x < 1, le signe de −3(x − 1)(x + 2) est :

    • A. négatif
    • B. nul
    • C. celui de x
    • D. positif
    Réponse

    D. positif — Entre −2 et 1 : x − 1 < 0 et x + 2 > 0, et −3 < 0 : deux facteurs négatifs, le produit est positif.

  11. La parabole y = x² est au-dessous de la droite y = 2x sur :

    • A. ]−∞ ; 0[ ∪ ]2 ; +∞[
    • B. ]0 ; 2[
    • C. ]−2 ; 0[
    • D. ]2 ; +∞[
    Réponse

    B. ]0 ; 2[ — x² − 2x = x(x − 2) < 0 entre les racines 0 et 2.

  12. Le nombre d’entiers solutions de (x + 3)(x − 2) < 0 est :

    • A. 5
    • B. 6
    • C. 4
    • D. 3
    Réponse

    C. 4 — Le produit est négatif sur ]−3 ; 2[, bornes exclues : entiers −2, −1, 0 et 1.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Un élève écrit : « (x + 4)/(x − 10) ⩽ 0 ⟺ x + 4 ⩽ 0 ». Que penser ?

    • A. c’est juste, le dénominateur ne compte pas
    • B. il fallait écrire x + 4 ⩾ 0
    • C. il a seulement oublié la solution x = −4
    • D. il oublie le signe du dénominateur
    Réponse

    D. il oublie le signe du dénominateur — Le quotient est négatif quand numérateur et dénominateur sont de signes contraires : S = [−4 ; 10[, et non ]−∞ ; −4].

  2. L’inéquation x² ⩾ 5x a pour ensemble de solutions :

    • A. [5 ; +∞[
    • B. ]−∞ ; 0] ∪ [5 ; +∞[
    • C. [0 ; 5]
    • D. ]−∞ ; −5] ∪ [0 ; +∞[
    Réponse

    B. ]−∞ ; 0] ∪ [5 ; +∞[ — x² − 5x = x(x − 5) ⩾ 0 à l’extérieur des racines 0 et 5. Diviser par x ferait perdre tous les x ⩽ 0.

  3. L’inéquation (x − 8)²/(x + 1) > 0 a pour ensemble de solutions :

    • A. ]−1 ; 8[ ∪ ]8 ; +∞[
    • B. ]−1 ; +∞[
    • C. ]−∞ ; −1[ ∪ ]8 ; +∞[
    • D. ]−∞ ; −1[
    Réponse

    A. ]−1 ; 8[ ∪ ]8 ; +∞[ — Le carré est positif sauf en 8 où il est nul : il faut x + 1 > 0 et x ≠ 8.

  4. Pour résoudre (3x − 4)(x + 6) ⩽ 5(3x − 4), la bonne démarche est de :

    • A. diviser les deux membres par 3x − 4
    • B. développer puis diviser par x
    • C. tout passer à gauche, puis factoriser
    • D. simplifier par 3x − 4 si x ≠ 0
    Réponse

    C. tout passer à gauche, puis factoriser — (3x − 4)(x + 6) − 5(3x − 4) = (3x − 4)(x + 1) ⩽ 0, d’où S = [−1 ; 4/3]. Diviser par 3x − 4, de signe variable, est interdit.

  5. L’expression (x − a)(x − 7) est négative ou nulle exactement sur [−2 ; 7] lorsque :

    • A. a = 2
    • B. a = 7
    • C. a = −14
    • D. a = −2
    Réponse

    D. a = −2 — Ce produit est négatif ou nul entre ses deux racines a et 7 : il faut donc a = −2.

  6. L’inéquation (x² + 1)/(x − 6) < 0 a pour ensemble de solutions :

    • A. ]−∞ ; 6[
    • B. ]−1 ; 1[ ∪ ]6 ; +∞[
    • C. ]−∞ ; −1[ ∪ ]1 ; 6[
    • D. ∅
    Réponse

    A. ]−∞ ; 6[ — x² + 1 ⩾ 1 > 0 pour tout x : le signe du quotient est celui de x − 6. x² + 1 ne se factorise pas en (x − 1)(x + 1).

  7. Dans le tableau de signes d’une fonction f définie sur ℝ, on lit −, puis 0 en 2, puis −. Alors :

    • A. f change de signe en 2
    • B. f n’est pas définie en 2
    • C. f(x) ⩽ 0 pour tout réel x
    • D. f(x) < 0 pour tout réel x ≠ 0
    Réponse

    C. f(x) ⩽ 0 pour tout réel x — f est négative de part et d’autre de 2 et nulle en 2 : négative ou nulle partout, sans changement de signe (comme −(x − 2)²).

  8. L’ensemble des solutions de (x + 1)/(x − 3) ⩾ 2 est :

    • A. [3 ; 7]
    • B. ]3 ; 7]
    • C. ]−∞ ; 3[ ∪ [7 ; +∞[
    • D. [7 ; +∞[
    Réponse

    B. ]3 ; 7] — Pour x ≠ 3 : (x + 1)/(x − 3) − 2 = (7 − x)/(x − 3) ⩾ 0. Positif entre 3 et 7, nul en 7, interdit en 3.

  9. L’ensemble des solutions de x³ < 16x est :

    • A. ]−4 ; 4[
    • B. ]−∞ ; 4[
    • C. ]−4 ; 0[ ∪ ]4 ; +∞[
    • D. ]−∞ ; −4[ ∪ ]0 ; 4[
    Réponse

    D. ]−∞ ; −4[ ∪ ]0 ; 4[ — x³ − 16x = x(x − 4)(x + 4) < 0 : le tableau à trois facteurs donne −, +, −, + sur les quatre intervalles.

  10. Le nombre de valeurs (hors ±∞) sur la ligne des x du tableau de ((x − 1)(x + 2))/(x(x − 5)) est :

    • A. 2
    • B. 3
    • C. 4
    • D. 5
    Réponse

    C. 4 — Deux valeurs annulent le numérateur (1 et −2), deux sont interdites (0 et 5).

  11. Laquelle de ces inéquations a pour ensemble de solutions ]−∞ ; −3] ∪ ]1 ; +∞[ ?

    • A. (x + 3)/(x − 1) ⩾ 0
    • B. (x + 3)(x − 1) ⩾ 0
    • C. (x − 1)/(x + 3) ⩾ 0
    • D. (x + 3)/(x − 1) > 0
    Réponse

    A. (x + 3)/(x − 1) ⩾ 0 — Le crochet ouvert en 1 signale une valeur interdite, le crochet fermé en −3 un zéro du numérateur avec une inégalité large.

  12. Pour tout réel x, l’expression −(x + 2)² − 1 est :

    • A. positive ou nulle
    • B. strictement négative
    • C. nulle en −2
    • D. du signe de x + 2
    Réponse

    B. strictement négative — (x + 2)² ⩾ 0, donc −(x + 2)² ⩽ 0 et −(x + 2)² − 1 ⩽ −1 < 0.

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