Étude de signe et tableaux de signes

Signe d'une expression affine, d'un produit et d'un quotient, tableaux de signes, inéquations produit et quotient (thème Fonctions)

À propos de cette page

Ce QCM sur « Étude de signe et tableaux de signes » en seconde teste tes connaissances en mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de seconde. Au programme : L'essentiel, Signe de ax + b, Signe d'un produit et d'un quotient, Lecture graphique du signe. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en seconde.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

Le nombre qui annule $10 x - 4$ est :
- A. $\frac{5}{2}$
- B. $- \frac{2}{5}$
- C. $\frac{2}{5}$
- D. $- 4$
Réponse
C. $\frac{2}{5}$ — $10 x - 4 = 0 ⟺ x = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .
Si $a < 0$ , l'expression $a x + b$ est strictement positive :
- A. à gauche de $- \frac{b}{a}$
- B. à droite de $- \frac{b}{a}$
- C. à gauche de $\frac{b}{a}$
- D. pour tout réel $x$ sans exception
Réponse
A. à gauche de $- \frac{b}{a}$ — $a x + b$ a le signe de $a$ (ici négatif) à droite de sa racine $- \frac{b}{a}$ , donc le signe contraire, positif, à gauche.
Le produit de deux nombres non nuls de signes contraires est :
- A. strictement positif
- B. strictement négatif
- C. égal à zéro
- D. de signe impossible à prévoir
Réponse
B. strictement négatif — Un seul facteur négatif : le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif.
Dans un tableau de signes, une double barre ‖ indique :
- A. une valeur qui annule l'expression
- B. un changement de signe
- C. une borne de l'ensemble d'étude
- D. une valeur interdite
Réponse
D. une valeur interdite — La double barre marque une valeur où le dénominateur s'annule : l'expression n'y est pas définie.
Pour tout réel $x$ , le nombre $x^{2}$ est :
- A. strictement positif
- B. positif ou nul
- C. du même signe que $x$
- D. négatif ou nul
Réponse
B. positif ou nul — Un carré est toujours positif ou nul, et il vaut $0$ pour $x = 0$ : « strictement positif » est donc faux.
Sur un intervalle $I$ , la courbe de $f$ est strictement au-dessus de l'axe des abscisses. Alors :
- A. $f (x) < 0$ pour tout $x$ de l'intervalle $I$
- B. $f$ est croissante sur $I$
- C. $f (x) > 0$ pour tout $x$ de $I$
- D. $f (x) = 0$ pour tout $x$ de $I$
Réponse
C. $f (x) > 0$ pour tout $x$ de $I$ — Au-dessus de l'axe, l'ordonnée $f (x)$ est strictement positive ; cela ne dit rien du sens de variation.
Pour tout réel $x$ , le signe de $x^{3}$ est :
- A. celui de $x$
- B. toujours positif ou nul
- C. celui de $- x$
- D. toujours strictement négatif
Réponse
A. celui de $x$ — $x^{3} = x^{2} \times x$ avec $x^{2} \geq 0$ : $x^{3}$ a le signe de $x$ et vaut $0$ en $0$ .
La valeur interdite de $\frac{x + 8}{3 x - 15}$ est :
- A. $- 8$
- B. $15$
- C. $- 5$
- D. $5$
Réponse
D. $5$ — Le dénominateur s'annule pour $3 x - 15 = 0$ , soit $x = 5$ . Le nombre $- 8$ annule le numérateur : ce n'est pas une valeur interdite.

Niveau moyen — 8 questions

L'ensemble des solutions de $(x + 6) (x - 9) < 0$ est :
- A. $] - \infty; - 6 [\cup] 9; + \infty [$
- B. $] - 6; 9 [$
- C. $] - 9; 6 [$
- D. $[- 6; 9]$
Réponse
B. $] - 6; 9 [$ — Les deux facteurs ont un coefficient positif : le produit est négatif entre les racines $- 6$ et $9$ , bornes exclues car l'inégalité est stricte.
L'expression $(7 - x) (2 x + 1)$ est positive ou nulle exactement sur :
- A. $] - \infty; - \frac{1}{2}]$
- B. $[7; + \infty [$
- C. $[- 7; \frac{1}{2}]$
- D. $[- \frac{1}{2}; 7]$
Réponse
D. $[- \frac{1}{2}; 7]$ — Racines $- \frac{1}{2}$ et $7$ . Entre elles, $7 - x > 0$ et $2 x + 1 > 0$ : produit positif ; à l'extérieur, un seul facteur négatif.
Les solutions de $\frac{x - 11}{x + 2} \geq 0$ sont :
- A. $] - \infty; - 2 [\cup [11; + \infty [$
- B. $] - \infty; - 2] \cup [11; + \infty [$
- C. $] - 2; 11]$
- D. $[- 2; 11]$
Réponse
A. $] - \infty; - 2 [\cup [11; + \infty [$ — Signes : $+$ sur $] - \infty; - 2 [$ , $-$ sur $] - 2; 11 [$ , $+$ après $11$ . $11$ est solution car $0 \geq 0$ ; $- 2$ est interdite : crochet ouvert.
L'inéquation $x^{2} \leq 12$ a pour ensemble de solutions :
- A. $] - \infty; 2 \sqrt{3}]$
- B. $] - \infty; - 2 \sqrt{3}] \cup [2 \sqrt{3}; + \infty [$
- C. $[- 2 \sqrt{3}; 2 \sqrt{3}]$
- D. $[0; 2 \sqrt{3}]$
Réponse
C. $[- 2 \sqrt{3}; 2 \sqrt{3}]$ — $\sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ et $x^{2} - 12 = (x - 2 \sqrt{3}) (x + 2 \sqrt{3}) \leq 0$ entre les racines.
L'expression $x^{2} - 4 x$ est strictement négative sur :
- A. $] - 4; 0 [$
- B. $] - \infty; 4 [$
- C. $] 4; + \infty [$
- D. $] 0; 4 [$
Réponse
D. $] 0; 4 [$ — $x^{2} - 4 x = x (x - 4)$ : produit négatif entre les racines $0$ et $4$ .
Sur $] - \infty; - 3 [$ , puis $] - 3; 5 [$ , puis $] 5; + \infty [$ , les signes de $\frac{5 - x}{x + 3}$ sont :
- A. $-$ , $+$ , $-$
- B. $+$ , $-$ , $+$
- C. $+$ , $+$ , $-$
- D. $-$ , $-$ , $+$
Réponse
A. $-$ , $+$ , $-$ — Avant $- 3$ : numérateur positif, dénominateur négatif, quotient négatif ; entre $- 3$ et $5$ : positif ; après $5$ : numérateur négatif, quotient négatif.
L'inéquation $\frac{1}{x} \geq - 4$ a pour ensemble de solutions :
- A. $[- \frac{1}{4}; + \infty [$
- B. $] - \infty; - \frac{1}{4}] \cup] 0; + \infty [$
- C. $[- \frac{1}{4}; 0 [$
- D. $] 0; + \infty [$
Réponse
B. $] - \infty; - \frac{1}{4}] \cup] 0; + \infty [$ — $\frac{1}{x} + 4 = \frac{4 x + 1}{x} \geq 0$ : racine $- \frac{1}{4}$ , valeur interdite $0$ ; le quotient est positif sur $] - \infty; - \frac{1}{4}]$ et sur $] 0; + \infty [$ .
$f$ est définie sur $[- 5; 7]$ ; sa courbe coupe l'axe des abscisses seulement en $- 2$ et en $3$ , elle est au-dessous de l'axe entre ces deux valeurs et au-dessus ailleurs. Les solutions de $f (x) \geq 0$ sont :
- A. $[- 2; 3]$
- B. $] - 5; - 2 [\cup] 3; 7 [$
- C. $[- 5; - 2] \cup [3; 7]$
- D. $[- 5; 7]$
Réponse
C. $[- 5; - 2] \cup [3; 7]$ — $f (x) \geq 0$ là où la courbe est au-dessus de l'axe ou le coupe : bornes $- 5$ , $- 2$ , $3$ et $7$ comprises.

Niveau difficile — 8 questions

Un élève écrit : « $\frac{x + 4}{x - 10} \leq 0 ⟺ x + 4 \leq 0$ ». Que penser ?
- A. c'est juste, le dénominateur ne compte pas
- B. il fallait écrire $x + 4 \geq 0$
- C. il a oublié la solution $x = - 4$
- D. il ignore le signe du dénominateur
Réponse
D. il ignore le signe du dénominateur — Le quotient est négatif quand numérateur et dénominateur sont de signes contraires : ici $S = [- 4; 10 [$ , et non $] - \infty; - 4]$ .
L'inéquation $x^{2} \geq 5 x$ a pour ensemble de solutions :
- A. $[5; + \infty [$
- B. $] - \infty; 0] \cup [5; + \infty [$
- C. $[0; 5]$
- D. $] - \infty; - 5] \cup [0; + \infty [$
Réponse
B. $] - \infty; 0] \cup [5; + \infty [$ — $x^{2} - 5 x = x (x - 5) \geq 0$ à l'extérieur des racines $0$ et $5$ . Diviser par $x$ ferait perdre tous les $x \leq 0$ .
L'inéquation $\frac{(x - 8)^{2}}{x + 1} > 0$ a pour ensemble de solutions :
- A. $] - 1; 8 [\cup] 8; + \infty [$
- B. $] - 1; + \infty [$
- C. $] - \infty; - 1 [\cup] 8; + \infty [$
- D. $] - \infty; - 1 [$
Réponse
A. $] - 1; 8 [\cup] 8; + \infty [$ — Le carré est positif sauf en $8$ où il est nul : il faut $x + 1 > 0$ et $x \neq 8$ .
Laquelle de ces affirmations est fausse ?
- A. $x^{3}$ a toujours le signe de $x$
- B. $\frac{1}{x}$ a toujours le signe de $x$
- C. $x^{2}$ a toujours le signe de $x$
- D. $\sqrt{x}$ est positif ou nul là où il existe
Réponse
C. $x^{2}$ a toujours le signe de $x$ — Contre-exemple : pour $x = - 3$ , $x^{2} = 9 > 0$ alors que $x < 0$ . Les trois autres affirmations sont vraies.
Pour résoudre $(3 x - 4) (x + 6) \leq 5 (3 x - 4)$ , la bonne démarche est de :
- A. diviser les deux membres par $3 x - 4$ pour simplifier
- B. tout passer dans le membre de gauche et factoriser
- C. développer les deux membres et diviser par $x$
- D. simplifier par $3 x - 4$ en supposant $x \neq 0$
Réponse
B. tout passer dans le membre de gauche et factoriser — $(3 x - 4) (x + 6) - 5 (3 x - 4) = (3 x - 4) (x + 1) \leq 0$ , d'où $S = [- 1; \frac{4}{3}]$ . Diviser par $3 x - 4$ , de signe variable, est interdit.
L'expression $(x - a) (x - 7)$ est négative ou nulle exactement sur $[- 2; 7]$ lorsque :
- A. $a = 2$
- B. $a = 7$
- C. $a = - 14$
- D. $a = - 2$
Réponse
D. $a = - 2$ — Ce produit est négatif ou nul entre ses deux racines $a$ et $7$ : il faut donc $a = - 2$ .
L'inéquation $\frac{x^{2} + 1}{x - 6} < 0$ a pour ensemble de solutions :
- A. $] - \infty; 6 [$
- B. $] - 1; 1 [\cup] 6; + \infty [$
- C. $] - \infty; - 1 [\cup] 1; 6 [$
- D. $\emptyset$
Réponse
A. $] - \infty; 6 [$ — $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ pour tout $x$ : le signe du quotient est celui de $x - 6$ . $x^{2} + 1$ ne se factorise pas en $(x - 1) (x + 1)$ .
Dans le tableau de signes d'une fonction $f$ définie sur $ℝ$ , on lit $-$ , puis $0$ en $2$ , puis $-$ . Alors :
- A. $f$ change de signe en $2$
- B. $f$ n'est pas définie en $2$
- C. $f (x) \leq 0$ pour tout réel $x$
- D. $f (x) < 0$ pour tout réel $x$ différent de $0$
Réponse
C. $f (x) \leq 0$ pour tout réel $x$ — $f$ est négative de part et d'autre de $2$ et nulle en $2$ : négative ou nulle partout, sans changement de signe (comme $- (x - 2)^{2}$ ).

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