Étude de signe et tableaux de signes

1. a)$5-{\displaystyle \frac{x}{2}}=0⟺x=10$. Le coefficient de $x$ est $-{\displaystyle \frac{1}{2}}<0$ : l’expression est positive à gauche de $10$. (1)
2. b)$x^2-121=x^2-{11}^2$ $=(x-11)(x+11)$. (1)
3. c)$4x+10=0$ $⟺x=-{\displaystyle \frac{10}{4}}$ $=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ : la valeur interdite est $-{\displaystyle \frac{5}{2}}$. (1)
4. d)$x^2⩾0$, nul seulement en $0$ ; le produit a le signe de $x+2$, avec un zéro de plus en $0$ : $S=]-\infty ;-2]\cup \{0\}$. (1)

Repère — Racine, signe de a, valeur interdite : les trois réflexes qui ouvrent toute étude de signe.

1. a)$-6x+33=0$ $⟺x={\displaystyle \frac{33}{6}}$ $={\displaystyle \frac{11}{2}}$. Coefficient $-6<0$ : positif sur $]-\infty ;{\displaystyle \frac{11}{2}}[$, négatif sur $]{\displaystyle \frac{11}{2}};+\infty [$. (1)
2. b)${\displaystyle \frac{x}{4}}+3=0⟺x=-12$. Coefficient ${\displaystyle \frac{1}{4}}>0$ : négatif sur $]-\infty ;-12[$, positif sur $]-12;+\infty [$. (1)
3. c)On range $-12<{\displaystyle \frac{11}{2}}$ et l’on applique la règle des signes :

   $x$	$-\infty$		$-12$		${\displaystyle \frac{11}{2}}$		$+\infty$
   $-6x+33$		$+$		$+$	$0$	$-$
   ${\displaystyle \frac{x}{4}}+3$		$-$	$0$	$+$		$+$
   $P(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

   (1)
4. d)On prend la colonne « $+$ », bornes exclues (inégalité stricte) : $S=]-12;{\displaystyle \frac{11}{2}}[$. (1)

Repère — Une ligne par facteur : le signe du produit se lit colonne par colonne.

1. a)$x-5=0⟺x=5$ : la valeur interdite est $5$. (1)
2. b)$7x+2=0⟺x=-{\displaystyle \frac{2}{7}}$ (coefficient positif) ; $x-5$ est négatif avant $5$, positif après.

   $x$	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{2}{7}}$		$5$		$+\infty$
   $7x+2$		$-$	$0$	$+$		$+$
   $x-5$		$-$		$-$	$0$	$+$
   $Q(x)$		$+$	$0$	$-$	||	$+$

   (1)
3. c)On prend la colonne « $-$ » et le zéro du numérateur, jamais la valeur interdite : $S=[-{\displaystyle \frac{2}{7}};5[$. (1)
4. d)Pour $x\ne 5$ : $Q(x)-3={\displaystyle \frac{7x+2-3(x-5)}{x-5}}$ $={\displaystyle \frac{4x+17}{x-5}}$, donc $Q(x)⩾3$ $⟺{\displaystyle \frac{4x+17}{x-5}}⩾0$. Racine $-{\displaystyle \frac{17}{4}}$, valeur interdite $5$, coefficients positifs : le quotient est positif à l’extérieur. $S=]-\infty ;-{\displaystyle \frac{17}{4}}]\cup ]5;+\infty [$. (1)

Repère — On compare à 0 en réduisant au même dénominateur ; on ne multiplie jamais par x − 5.

1. a)Avec $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ : $A(x)=(x+2-6)(x+2+6)$ $=(x-4)(x+8)$. (1)
2. b)Racines $-8$ et $4$, coefficients positifs : le produit est négatif entre les racines. $S=]-8;4[$. (1)
3. c)$4x^2-3x⩾0$ $⟺x(4x-3)⩾0$. Racines $0$ et ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, coefficients positifs : positif à l’extérieur. $S=]-\infty ;0]\cup [{\displaystyle \frac{3}{4}};+\infty [$. (1)
4. d)Il divise par $x$, dont le signe est inconnu : pour $x<0$ le sens de l’inégalité change, et pour $x=0$ la division est impossible. Il perd $]-\infty ;0]$ ; par exemple $x=-1$ vérifie $4⩾-3$. (1)

Repère — Tout passer d’un côté et factoriser : diviser par x fait perdre des solutions.

1. a)$(x-5)(x+4)$ $=x^2+4x-5x-20$ $=x^2-x-20$ $=f(x)-g(x)$. (1)
2. b)Racines $-4$ et $5$, coefficients positifs :

   $x$	$-\infty$		$-4$		$5$		$+\infty$
   $x+4$		$-$	$0$	$+$		$+$
   $x-5$		$-$		$-$	$0$	$+$
   $f(x)-g(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

   (1)
3. c)$C_f$ est au-dessus de $C_g$ sur $]-\infty ;-4[\cup ]5;+\infty [$, au-dessous sur $]-4;5[$. Intersections en $-4$ et $5$ : $g(-4)=16$ et $g(5)=25$, d’où les points $(-4;16)$ et $(5;25)$. (1)
4. d)$x^2⩽x+20$ $⟺f(x)-g(x)⩽0$ : $S=[-4;5]$. (1)

Repère — Au-dessus se traduit par une différence positive : on étudie le signe de f(x) − g(x).