Étude de signe et tableaux de signes

Signe d'une expression affine, d'un produit et d'un quotient, tableaux de signes, inéquations produit et quotient (thème Fonctions)

À propos de cette page

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Problème 1 — Seuil de rentabilité d'un atelier

Moyen

Un atelier fabrique des lampes. Pour $x$ centaines de lampes produites et vendues ( $0 \leq x \leq 20$ ), son bénéfice annuel, en milliers d'euros, est $B (x) = - 2 x^{2} + 38 x - 120$ .

1. Montrer que, pour tout $x$ de $[0; 20]$ , $B (x) = - 2 (x - 4) (x - 15)$ .
2. Dresser le tableau de signes de $B (x)$ sur $[0; 20]$ .
3. Pour quelles quantités de lampes l'atelier est-il rentable (bénéfice strictement positif) ?
4. Calculer $B (10)$ et interpréter le résultat.
5. Le loyer annuel augmente de 20 000 €. Le nouveau bénéfice est $B (x) - 20$ . Vérifier que $B (x) - 20 = - 2 (x - 5) (x - 14)$ , puis déterminer la nouvelle zone de rentabilité.
6. Le gérant affirme qu'avec 450 lampes l'atelier reste rentable après la hausse du loyer. A-t-il raison ?

1. On développe : $- 2 (x - 4) (x - 15) = - 2 (x^{2} - 15 x - 4 x + 60) = - 2 (x^{2} - 19 x + 60) = - 2 x^{2} + 38 x - 120$ . On retrouve $B (x)$ .

2. Le facteur $- 2$ est toujours négatif ; $x - 4$ s'annule en $4$ et $x - 15$ en $15$ , tous deux avec un coefficient positif.

$x$	$0$		$4$		$15$		$20$
$- 2$		−		−		−
$x - 4$		−	0	+		+
$x - 15$		−		−	0	+
$B (x)$		−	0	+	0	−

Contrôle : $B (0) = - 120 < 0$ et $B (20) = - 2 \times 16 \times 5 = - 160 < 0$ .

3. $B (x) > 0 ⟺ x \in] 4; 15 [$ . Comme $x$ compte des centaines : l'atelier est rentable pour une production strictement comprise entre 400 et 1 500 lampes.

4. $B (10) = - 2 \times (10 - 4) \times (10 - 15) = - 2 \times 6 \times (- 5) = 60$ . Pour 1 000 lampes, le bénéfice est de 60 000 €.

5. $- 2 (x - 5) (x - 14) = - 2 (x^{2} - 19 x + 70) = - 2 x^{2} + 38 x - 140 = B (x) - 20$ . Même étude : facteur $- 2 < 0$ , racines $5$ et $14$ , donc $B (x) - 20 > 0 ⟺ x \in] 5; 14 [$ . Il faut désormais produire strictement entre 500 et 1 400 lampes : la zone de rentabilité se resserre des deux côtés.

6. 450 lampes correspondent à $x = 4, 5 \notin] 5; 14 [$ . Calcul : $B (4, 5) - 20 = - 2 \times (- 0, 5) \times (- 9, 5) = - 9, 5$ . L'atelier perd 9 500 € : le gérant a tort.

Problème 2 — Deux enclos à comparer

Moyen

Un éleveur hésite entre deux enclos. Le premier est un carré de côté $x$ mètres. Le second est un rectangle de dimensions 9 m et $x - 2$ mètres.

1. Pourquoi doit-on avoir $x > 2$ ?
2. On note $D (x)$ la différence entre l'aire du carré et celle du rectangle. Montrer que $D (x) = (x - 3) (x - 6)$ .
3. Dresser le tableau de signes de $D (x)$ sur $] 2; + \infty [$ .
4. Pour quelles valeurs de $x$ le carré a-t-il une aire strictement inférieure à celle du rectangle ?
5. Comparer les périmètres des deux enclos selon les valeurs de $x$ .
6. Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles le carré a à la fois une aire plus grande et un périmètre plus petit que le rectangle.

1. Une longueur est strictement positive : $x - 2 > 0$ , donc $x > 2$ .

2. Aire du carré : $x^{2}$ ; aire du rectangle : $9 (x - 2) = 9 x - 18$ . Donc $D (x) = x^{2} - 9 x + 18$ . Or $(x - 3) (x - 6) = x^{2} - 6 x - 3 x + 18 = x^{2} - 9 x + 18$ . Donc $D (x) = (x - 3) (x - 6)$ .

3. Les deux facteurs ont un coefficient positif, de racines $3$ et $6$ .

$x$	$2$		$3$		$6$		$+ \infty$
$x - 3$		−	0	+		+
$x - 6$		−		−	0	+
$D (x)$		+	0	−	0	+

4. Le carré est plus petit quand $D (x) < 0$ : $x \in] 3; 6 [$ , soit un côté strictement compris entre 3 m et 6 m. Contrôle pour $x = 4$ : $16 < 9 \times 2 = 18$ .

5. Périmètre du carré : $4 x$ ; du rectangle : $2 (9 + x - 2) = 2 x + 14$ . Différence : $4 x - (2 x + 14) = 2 x - 14 = 2 (x - 7)$ . Le carré a le plus petit périmètre pour $2 < x < 7$ , les périmètres sont égaux pour $x = 7$ , le carré a le plus grand pour $x > 7$ .

6. Aire plus grande : $D (x) > 0$ , soit $x \in] 2; 3 [\cup] 6; + \infty [$ . Périmètre plus petit : $x \in] 2; 7 [$ . On prend l'intersection : $x \in] 2; 3 [\cup] 6; 7 [$ . Vérification pour $x = 6, 5$ : aires $42, 25 > 40, 5$ et périmètres $26 < 27$ .

Problème 3 — Une hyperbole et une droite

Difficile

Dans un repère, on considère la courbe $C_{f}$ de la fonction $f$ définie par $f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ et la droite $D$ d'équation $y = x + 3$ . On note $g (x) = x + 3$ .

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$ .
2. Montrer que, pour tout $x \neq 1$ , $f (x) - g (x) = \frac{6 - x^{2}}{x - 1}$ .
3. Factoriser $6 - x^{2}$ .
4. Dresser le tableau de signes de $f (x) - g (x)$ .
5. En déduire la position relative de $C_{f}$ et de $D$ .
6. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $C_{f}$ et de $D$ .
7. Un élève affirme : « Comme $2 x + 3 > x + 3$ dès que $x > 0$ , la courbe $C_{f}$ est au-dessus de $D$ sur $] 0; + \infty [$ . » Expliquer pourquoi ce raisonnement est faux et le contredire par une valeur.

1. $f (x)$ existe si et seulement si $x - 1 \neq 0$ : $f$ est définie sur $] - \infty; 1 [\cup] 1; + \infty [$ .

2. Pour $x \neq 1$ : $f (x) - g (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1} - \frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 1} = \frac{2 x + 3 - (x^{2} + 2 x - 3)}{x - 1} = \frac{6 - x^{2}}{x - 1}$ . C'est l'égalité demandée.

3. $6 - x^{2} = (\sqrt{6})^{2} - x^{2}$ , donc $6 - x^{2} = (\sqrt{6} - x) (\sqrt{6} + x)$ .

4. Valeurs à ranger : $- \sqrt{6} \approx - 2, 45 < 1 < \sqrt{6} \approx 2, 45$ . $\sqrt{6} - x$ a un coefficient négatif ; $\sqrt{6} + x$ et $x - 1$ un coefficient positif.

$x$	$- \infty$		$- \sqrt{6}$		$1$		$\sqrt{6}$		$+ \infty$
$\sqrt{6} + x$		−	0	+		+		+
$\sqrt{6} - x$		+		+		+	0	−
$x - 1$		−		−	0	+		+
$f (x) - g (x)$		+	0	−	‖	+	0	−

5. $C_{f}$ est au-dessus de $D$ sur $] - \infty; - \sqrt{6} [\cup] 1; \sqrt{6} [$ et au-dessous sur $] - \sqrt{6}; 1 [\cup] \sqrt{6}; + \infty [$ .

6. Les courbes se coupent là où $f (x) - g (x) = 0$ , soit $x = - \sqrt{6}$ ou $x = \sqrt{6}$ ; l'ordonnée se lit sur la droite : $y = x + 3$ . Points $(- \sqrt{6}; 3 - \sqrt{6})$ et $(\sqrt{6}; 3 + \sqrt{6})$ . Vérification : $(\sqrt{6} + 3) (\sqrt{6} - 1) = 6 - \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 3 = 2 \sqrt{6} + 3$ , donc $f (\sqrt{6}) = \sqrt{6} + 3$ .

7. L'élève compare le numérateur $2 x + 3$ à $x + 3$ en oubliant la division par $x - 1$ : $f (x)$ n'est pas égal à $2 x + 3$ . Pour $x = 3$ : $f (3) = \frac{9}{2} = 4, 5$ et $g (3) = 6$ , donc $C_{f}$ est au-dessous de $D$ . Seul le signe de $f (x) - g (x)$ permet de conclure.

Problème 4 — Un programme Python pour la règle des signes

Difficile

On code un facteur affine $a x + b$ par le couple $(a, b)$ et une liste de facteurs par une liste de couples. On propose la fonction suivante, qui renvoie $1$ , $- 1$ ou $0$ selon le signe du produit des facteurs en $x$ .

def signe_produit(facteurs, x):
    nb_negatifs = 0
    for (a, b) in facteurs:
        v = a*x + b
        if v == 0:
            return 0
        if v < 0:
            nb_negatifs = nb_negatifs + 1
    if nb_negatifs % 2 == 0:
        return 1
    return -1

On note

P (x) = (x + 4) (3 - 2 x) (5 x - 1)

, codé par

[(1, 4), (- 2, 3), (5, - 1)]

1. Justifier que le signe d'un produit de facteurs non nuls ne dépend que de la parité du nombre de facteurs négatifs.
2. Que renvoie signe_produit([(1, 4), (-2, 3), (5, -1)], 1) ? Et avec $- 1$ à la place de $1$ ? Détailler.
3. Dresser le tableau de signes de $P (x)$ .
4. Résoudre $P (x) \leq 0$ .
5. Un élève appelle la fonction pour quelques valeurs de $x$ prises au hasard afin de dresser le tableau de signes. Expliquer pourquoi cela ne suffit pas, et indiquer quelles valeurs de $x$ il faut tester.
6. Écrire une fonction $s i g n e_{q} u o t i e n t (n u m, d e n, x)$ qui renvoie $N o n e$ si $x$ est une valeur interdite et le signe du quotient sinon, en réutilisant $s i g n e_{p} r o d u i t$ .

1. Multiplier par un nombre positif ne change pas le signe ; multiplier par un nombre négatif l'inverse. Partant d'un signe « + », chaque facteur négatif inverse le signe : après un nombre pair d'inversions on revient à « + », après un nombre impair on est à « − ». Le signe ne dépend donc que de la parité du nombre de facteurs négatifs : c'est ce que teste $n b_{n} e g a t i f s$ .

2. Pour $x = 1$ : $1 + 4 = 5$ , $- 2 + 3 = 1$ , $5 - 1 = 4$ , aucun facteur négatif, $n b_{n} e g a t i f s$ vaut $0$ , pair : la fonction renvoie $1$ .
Pour $x = - 1$ : $3$ , $2 + 3 = 5$ , $- 5 - 1 = - 6$ : un facteur négatif, impair : la fonction renvoie $- 1$ .

3. Racines : $- 4$ , $\frac{1}{5}$ et $\frac{3}{2}$ ; $3 - 2 x$ a un coefficient négatif.

$x$	$- \infty$		$- 4$		$\frac{1}{5}$		$\frac{3}{2}$		$+ \infty$
$x + 4$		−	0	+		+		+
$5 x - 1$		−		−	0	+		+
$3 - 2 x$		+		+		+	0	−
$P (x)$		+	0	−	0	+	0	−

Cohérent avec la question 2 : $- 1 \in] - 4; \frac{1}{5} [$ (signe −) et $1 \in] \frac{1}{5}; \frac{3}{2} [$ (signe +).

4. $S = [- 4; \frac{1}{5}] \cup [\frac{3}{2}; + \infty [$ .

5. Des valeurs au hasard peuvent tomber toutes dans le même intervalle et manquer un changement de signe. En revanche, entre deux racines consécutives, chaque facteur affine garde un signe constant, donc le produit aussi : il suffit de tester les racines et une valeur dans chaque intervalle, par exemple $- 5$ , $- 4$ , $0$ , $\frac{1}{5}$ , $1$ , $\frac{3}{2}$ et $2$ .

6. Si aucun facteur du dénominateur n'est nul, le quotient a le même signe que le produit de tous les facteurs (même règle des signes) :

def signe_quotient(num, den, x):
    for (a, b) in den:
        if a*x + b == 0:
            return None
    return signe_produit(num + den, x)

La valeur interdite est testée avant tout calcul de signe, comme la double barre dans un tableau.

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