Étude de signe et tableaux de signes

Signe d’une expression affine ax + b, règle des signes et tableau de signes d’un produit ou d’un quotient, valeurs interdites, inéquations produit et quotient, lecture graphique du signe et position relative de deux courbes.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés résolus par une étude de signe : instant où deux téléphones, l’un en charge, l’autre en jeu, ont la même batterie, zone de rentabilité d’un atelier de lampes, deux terrasses dont on compare aires et périmètres, position d’une hyperbole et d’une droite, et un programme Python qui applique la règle des signes.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis l’énoncé : je nomme l’inconnue, son unité et ses valeurs possibles (un prix, une longueur, une quantité sont positifs).
Je me ramène à un signe : « rentable », « au-dessus », « plus grand que » deviennent « expression comparée à 0 », souvent une différence.
Je factorise (ou je vérifie la forme factorisée donnée en développant), puis je dresse le tableau de signes sur l’intervalle utile.
Je lis les solutions avec les bons crochets, en écartant les valeurs interdites et celles que le contexte refuse.
Je reviens à la question : je convertis les unités (centaines, milliers d’euros) et je réponds par une phrase, avec un contrôle sur une valeur.

Problème 1 · Deux téléphones, deux batteries★★★Facile

Le téléphone A, presque vide, est branché sur son chargeur : au bout de

t

minutes, son niveau de batterie est

A (t) = 15 + 2 t

(en %). Pendant ce temps, le téléphone B, non branché, sert à jouer : son niveau est

B (t) = 87 - 1, 6 t

(en %). On étudie

0 ⩽ t ⩽ 40

et l’on note

E (t) = A (t) - B (t)

1. Le niveau de B reste strictement supérieur à $31$ % tant que $t$ est strictement inférieur à min
$B (t) > 31 ⟺ 87 - 1, 6 t - 31 > 0 ⟺ 56 - 1, 6 t > 0$ . L’expression affine $56 - 1, 6 t$ s’annule en $t = \frac{56}{1, 6} = 35$ . Son coefficient $- 1, 6$ est négatif : elle est positive à gauche de $35$ . Donc $B (t) > 31$ pour $t < 35$ .
2. Démontrer que $E (t) = 3, 6 t - 72$ , puis donner l’instant où les deux téléphones ont le même niveau : min
Rédaction attendue. $E (t) = (15 + 2 t) - (87 - 1, 6 t)$ $= 15 + 2 t - 87 + 1, 6 t$ $= 3, 6 t - 72$ . Les niveaux sont égaux quand $E (t) = 0$ : $3, 6 t = 72$ , soit $t = 20$ .
3. Justifier que, avant cet instant, B est plus chargé que A. Pour $t = 10$ , l’écart $B (t) - A (t)$ vaut points de pourcentage
Rédaction attendue. $E (t) = 3, 6 t - 72$ est affine, de coefficient $3, 6 > 0$ , et s’annule en $20$ : elle est négative à gauche de $20$ . Pour $0 ⩽ t < 20$ , $A (t) - B (t) < 0$ , donc $B (t) > A (t)$ . Pour $t = 10$ : $E (10) = 36 - 72 = - 36$ , donc $B (10) - A (10) = 36$ (contrôle : $B (10) = 71$ et $A (10) = 35$ ).
4. Niveau commun des deux batteries à cet instant : %
Pour $t = 20$ : $A (20) = 15 + 40 = 55$ et $B (20) = 87 - 32 = 55$ . Les deux téléphones sont à $55$ %.

Problème 2 · Seuil de rentabilité d’un atelier de lampes★★★Moyen

Un atelier fabrique des lampes. Pour

x

centaines de lampes produites et vendues (

0 ⩽ x ⩽ 20

), son bénéfice annuel, en milliers d’euros, est

B (x) = - 2 x^{2} + 38 x - 120

1. Démontrer que, pour tout $x$ de $[0; 20]$ , $B (x) = - 2 (x - 4) (x - 15)$ . Le bénéfice sans aucune lampe vendue vaut milliers d’euros
Rédaction attendue. On développe : $- 2 (x - 4) (x - 15)$ $= - 2 (x^{2} - 15 x - 4 x + 60)$ $= - 2 (x^{2} - 19 x + 60)$ $= - 2 x^{2} + 38 x - 120$ $= B (x)$ . Et $B (0) = - 120$ : sans vente, l’atelier perd $120 000$ € (ses charges fixes).
2. L’atelier est rentable (bénéfice strictement positif) pour une production strictement comprise entre et lampes
Le facteur $- 2$ est négatif ; $x - 4$ et $x - 15$ ont un coefficient positif.
$x$ $0$ $4$ $15$ $20$
$- 2$ $-$ $-$ $-$
$x - 4$ $-$ $0$ $+$ $+$
$x - 15$ $-$ $-$ $0$ $+$
$B (x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$
$B (x) > 0 ⟺ x \in] 4; 15 [$ . Comme $x$ compte des centaines : rentable strictement entre $400$ et $1 500$ lampes.
3. Bénéfice pour $1 000$ lampes : €
$1 000$ lampes : $x = 10$ . $B (10) = - 2 \times 6 \times (- 5)$ $= 60$ milliers d’euros, soit $60 000$ €.
4. Le loyer annuel augmente de $20 000$ € : le bénéfice devient $B (x) - 20$ . Vérifier que $B (x) - 20 = - 2 (x - 5) (x - 14)$ . L’atelier reste rentable strictement entre et lampes
$- 2 (x - 5) (x - 14)$ $= - 2 (x^{2} - 19 x + 70)$ $= - 2 x^{2} + 38 x - 140$ $= B (x) - 20$ . Même étude : le facteur $- 2$ est négatif, le produit est positif strictement entre les racines $5$ et $14$ . La zone de rentabilité se resserre : entre $500$ et $1 400$ lampes.
5. Le gérant affirme qu’avec $450$ lampes l’atelier reste rentable après la hausse. Résultat obtenu : €
$450$ lampes : $x = 4, 5$ , qui n’est pas dans $] 5; 14 [$ . Calcul : $- 2 \times (4, 5 - 5) \times (4, 5 - 14)$ $= - 2 \times (- 0, 5) \times (- 9, 5)$ $= - 9, 5$ milliers d’euros. L’atelier perd $9 500$ € : le gérant a tort.

$x$	$0$		$4$		$15$		$20$
$- 2$		$-$		$-$		$-$
$x - 4$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 15$		$-$		$-$	$0$	$+$
$B (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Problème 3 · Deux terrasses à comparer★★★Moyen

Pour sa terrasse, une famille hésite entre un carré de côté

x

mètres et un rectangle de dimensions

9

m et

x - 2

mètres. On note

D (x)

l’aire du carré moins l’aire du rectangle.

1. Justifier que $x > 2$ , puis démontrer que $D (x) = (x - 3) (x - 6)$ . Pour $x = 10$ , $D (x)$ vaut m²
Rédaction attendue. La largeur $x - 2$ du rectangle est une longueur, donc strictement positive : $x > 2$ . Aire du carré : $x^{2}$ ; aire du rectangle : $9 (x - 2) = 9 x - 18$ . Donc $D (x) = x^{2} - 9 x + 18$ . Or $(x - 3) (x - 6)$ $= x^{2} - 6 x - 3 x + 18$ $= x^{2} - 9 x + 18$ . Pour $x = 10$ : $D (10) = 7 \times 4 = 28$ m² (contrôle : $100 - 72 = 28$ ).
2. Le carré a une aire strictement inférieure à celle du rectangle pour $x$ strictement compris entre et
$x$ $2$ $3$ $6$ $+ \infty$
$x - 3$ $-$ $0$ $+$ $+$
$x - 6$ $-$ $-$ $0$ $+$
$D (x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
Le carré est plus petit quand $D (x) < 0$ , soit pour $x \in] 3; 6 [$ . Contrôle pour $x = 4$ : $16 < 18$ .
3. Le périmètre du carré moins celui du rectangle vaut $2 x - 14$ (à justifier). Le carré a le plus petit périmètre pour $x$ strictement inférieur à
Périmètre du carré : $4 x$ ; du rectangle : $2 (9 + x - 2) = 2 x + 14$ . Différence : $4 x - (2 x + 14)$ $= 2 x - 14$ $= 2 (x - 7)$ , négative pour $x < 7$ . Avec $x > 2$ : le carré a le plus petit périmètre pour $2 < x < 7$ .
4. Parmi les côtés $2, 5$ m, $4$ m, $6, 5$ m et $8$ m, combien donnent un carré à la fois de plus grande aire et de plus petit périmètre que le rectangle ?
Aire plus grande : $D (x) > 0$ , soit $x \in] 2; 3 [\cup] 6; + \infty [$ . Périmètre plus petit : $x \in] 2; 7 [$ . Les deux à la fois : $x \in] 2; 3 [\cup] 6; 7 [$ . Conviennent $2, 5$ et $6, 5$ , soit $2$ côtés. Vérification pour $6, 5$ : aires $42, 25 > 40, 5$ et périmètres $26 < 27$ .

$x$	$2$		$3$		$6$		$+ \infty$
$x - 3$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 6$		$-$		$-$	$0$	$+$
$D (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Problème 4 · Une hyperbole et une droite★★★Difficile

Dans un repère, on considère la courbe

C_{f}

de la fonction

f

définie par

f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}

et la droite

D

d’équation

y = x + 3

. On note

g (x) = x + 3

. Pour un nombre approché, donne-le au centième.

1. $f$ est définie sur $ℝ$ privé du nombre
$f (x)$ existe si et seulement si $x - 1 \neq 0$ : $f$ est définie sur $] - \infty; 1 [\cup] 1; + \infty [$ .
2. Démontrer que, pour $x \neq 1$ , $f (x) - g (x)$ $= \frac{6 - x^{2}}{x - 1}$ . La plus grande valeur qui annule $6 - x^{2}$ , arrondie au centième :
Rédaction attendue. Pour $x \neq 1$ : $f (x) - g (x)$ $= \frac{2 x + 3}{x - 1} - \frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 1}$ $= \frac{2 x + 3 - (x^{2} + 2 x - 3)}{x - 1}$ $= \frac{6 - x^{2}}{x - 1}$ . Puis $6 - x^{2} = {(\sqrt{6})}^{2} - x^{2}$ $= (\sqrt{6} - x) (\sqrt{6} + x)$ , qui s’annule en $- \sqrt{6}$ et en $\sqrt{6} \approx 2, 45$ .
3. Sur l’intervalle $] 1; \sqrt{6} [$ , la courbe $C_{f}$ est de la droite $D$ (écris au-dessus ou au-dessous)
$x$ $- \infty$ $- \sqrt{6}$ $1$ $\sqrt{6}$ $+ \infty$
$\sqrt{6} + x$ $-$ $0$ $+$ $+$ $+$
$\sqrt{6} - x$ $+$ $+$ $+$ $0$ $-$
$x - 1$ $-$ $-$ $0$ $+$ $+$
$f (x) - g (x)$ $+$ $0$ $-$ || $+$ $0$ $-$
Sur $] 1; \sqrt{6} [$ , la différence est positive : $C_{f}$ est au-dessus de $D$ . Elle l’est aussi sur $] - \infty; - \sqrt{6} [$ , et au-dessous sur $] - \sqrt{6}; 1 [\cup] \sqrt{6}; + \infty [$ .
4. Ordonnée du point d’intersection d’abscisse négative, arrondie au centième :
Les courbes se coupent là où $f (x) - g (x) = 0$ , soit en $- \sqrt{6}$ et $\sqrt{6}$ . L’ordonnée se lit sur la droite : $y = 3 - \sqrt{6} \approx 0, 55$ . Point $(- \sqrt{6}; 3 - \sqrt{6})$ .
5. Un élève affirme : « Comme $2 x + 3 > x + 3$ dès que $x > 0$ , $C_{f}$ est au-dessus de $D$ sur $] 0; + \infty [$ ». Expliquer son erreur. Pour $x = 3$ , $f (3) =$
Rédaction attendue. L’élève compare le numérateur $2 x + 3$ à $x + 3$ en oubliant la division par $x - 1$ : $f (x)$ n’est pas égal à $2 x + 3$ . Pour $x = 3$ : $f (3) = \frac{9}{2} = 4, 5$ et $g (3) = 6$ , donc $C_{f}$ est au-dessous de $D$ en $3$ , ce qui contredit l’affirmation. Seul le signe de $f (x) - g (x)$ permet de conclure.

$x$	$- \infty$		$- \sqrt{6}$		$1$		$\sqrt{6}$		$+ \infty$
$\sqrt{6} + x$		$-$	$0$	$+$		$+$		$+$
$\sqrt{6} - x$		$+$		$+$		$+$	$0$	$-$
$x - 1$		$-$		$-$	$0$	$+$		$+$
$f (x) - g (x)$		$+$	$0$	$-$	\|\|	$+$	$0$	$-$

Problème 5 · Un programme Python pour la règle des signes★★★Difficile

On code un facteur affine

a x + b

par le couple (a, b) et un produit par la liste de ses facteurs. La fonction suivante renvoie 1, -1 ou 0 selon le signe du produit en

x

; la variable nb compte les facteurs négatifs.

def signe_prod(facteurs, x):
    nb = 0
    for (a, b) in facteurs:
        v = a*x + b
        if v == 0:
            return 0
        if v < 0:
            nb = nb + 1
    if nb % 2 == 0:
        return 1
    return -1

On note

P (x) = (x + 4) (3 - 2 x) (5 x - 1)

, codé par la liste L = [(1, 4), (-2, 3), (5, -1)]. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. L’appel signe_prod(L, 1) renvoie
Pour $x = 1$ : $1 + 4 = 5$ , $- 2 + 3 = 1$ et $5 - 1 = 4$ . Aucun facteur négatif : nb vaut $0$ , nombre pair, la fonction renvoie 1.
2. Justifier que le signe d’un produit de facteurs non nuls ne dépend que de la parité du nombre de facteurs négatifs. Avec $- 1$ à la place de $1$ , l’appel renvoie
Rédaction attendue. Multiplier par un nombre positif ne change pas le signe ; multiplier par un nombre négatif l’inverse. En partant de « $+$ », chaque facteur négatif inverse le signe : après un nombre pair d’inversions on revient à « $+$ », après un nombre impair on est à « $-$ ». C’est ce que teste nb % 2 == 0. Pour $x = - 1$ : $3$ , $2 + 3 = 5$ et $- 5 - 1 = - 6$ : un seul facteur négatif, la fonction renvoie -1.
3. Dresser le tableau de signes de $P (x)$ , puis compléter : $P (x) ⩽ 0$ pour $S = [- 4;$ $] \cup [$ $; + \infty [$
Racines : $- 4$ , $\frac{1}{5}$ et $\frac{3}{2}$ ; le facteur $3 - 2 x$ a un coefficient négatif.
$x$ $- \infty$ $- 4$ $\frac{1}{5}$ $\frac{3}{2}$ $+ \infty$
$x + 4$ $-$ $0$ $+$ $+$ $+$
$5 x - 1$ $-$ $-$ $0$ $+$ $+$
$3 - 2 x$ $+$ $+$ $+$ $0$ $-$
$P (x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$
$S = [- 4; \frac{1}{5}] \cup [\frac{3}{2}; + \infty [$ . Cohérent avec les appels : $- 1$ est dans un intervalle « $-$ », $1$ dans un intervalle « $+$ ».
4. Un élève appelle la fonction pour quelques valeurs de $x$ prises au hasard afin de dresser le tableau. Expliquer pourquoi cela ne suffit pas. Nombre d’intervalles délimités par les racines de $P$ , donc de valeurs de test nécessaires (une par intervalle) :
Rédaction attendue. Des valeurs au hasard peuvent tomber dans le même intervalle et manquer un changement de signe. Entre deux racines consécutives, chaque facteur affine garde un signe constant, donc le produit aussi : une valeur par intervalle suffit. Les trois racines découpent $ℝ$ en $4$ intervalles, par exemple $- 5$ , $0$ , $1$ et $2$ ; on ajoute les racines, où le produit est nul.
5. Écrire une fonction signe_quot(num, den, x) qui renvoie None si x annule un facteur du dénominateur, et sinon le signe du quotient. Une solution possible :
```
def signe_quot(num, den, x):
    for (a, b) in den:
        if a*x + b == 0:
            return None
    return signe_prod(num + den, x)
```
L’appel signe_quot([(1, 4)], [(2, -6)], 3) renvoie
Le dénominateur $2 x - 6$ vaut $0$ pour $x = 3$ : c’est une valeur interdite, et la fonction renvoie None avant tout calcul de signe, comme la double barre d’un tableau. Pour une autre valeur, le quotient a le même signe que le produit de tous les facteurs (même règle des signes), d’où num + den.

$x$	$- \infty$		$- 4$		$\frac{1}{5}$		$\frac{3}{2}$		$+ \infty$
$x + 4$		$-$	$0$	$+$		$+$		$+$
$5 x - 1$		$-$		$-$	$0$	$+$		$+$
$3 - 2 x$		$+$		$+$		$+$	$0$	$-$
$P (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

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