Fiche de révision : colinéarité et déterminant

Vecteurs colinéaires, déterminant dans une base orthonormée et critère de colinéarité démontré, alignement de trois points, parallélisme de deux droites, vecteur écrit comme combinaison de deux vecteurs non colinéaires.

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benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Colinéarité et déterminant

Fiche méthode

(Mathématiques 2nde · Géométrie · Vecteurs et problèmes de géométrie)

La démarche face à une question de colinéarité

1. Je traduis la question en vecteurs : alignement de $A$ , $B$ , $C$ → $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ ; parallélisme de $(A B)$ et $(C D)$ → $\vec{A B}$ et $\vec{C D}$ ; décomposition → une base de deux vecteurs non colinéaires.

2. Je calcule les coordonnées des vecteurs : extrémité moins origine.

3. Je calcule le déterminant $x y' - y x'$ (ou je cherche $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$ ).

4. Je conclus par une phrase qui cite la propriété : « le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés ».

Le réflexe — déterminant nul ⟺ vecteurs colinéaires ; la conclusion nomme les vecteurs, puis les points ou les droites.

Cas 1 · Vecteurs colinéaires

Réflexe — je cherche k avec une coordonnée non nulle, puis je le vérifie sur l’autre.

Exemple. Questions types : « Les vecteurs sont-ils colinéaires ? », « Trouver k tel que v⃗ = ku⃗ ». Exemple : $\vec{u} (4; - 10)$ et $\vec{v} (- 2; 5)$ .

L’abscisse donne $- 2 = 4 k$ , soit $k = - 0, 5$ .

Ordonnée : $(- 0, 5) \times (- 10) = 5$ , c’est bien l’ordonnée de $\vec{v}$ .

Donc $\vec{v} = - 0, 5 \vec{u}$ : colinéaires, de sens contraires.

Attention — un seul quotient ne prouve rien ; et ne pas diviser par une coordonnée nulle.

Cas 2 · Déterminant

Réflexe — deux colonnes, x × y′ − y × x′, négatifs entre parenthèses.

Exemple. Questions types : « Calculer det(u⃗, v⃗) », « Démontrer que… sont (ou ne sont pas) colinéaires ». Exemple : $\vec{u} (- 3; 8)$ et $\vec{v} (2; - 5)$ .

$det (\vec{u}, \vec{v})$ $= (- 3) \times (- 5) - 8 \times 2$ $= 15 - 16$ $= - 1$ .

Le déterminant n’est pas nul : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

Attention — xy′ − yx′, pas xx′ − yy′ ; déterminant nul = colinéaires, pas égaux.

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Cas 3 · Alignement

Réflexe — AB⃗ et AC⃗ (même origine), déterminant, « colinéaires, donc alignés ».

Exemple. Questions types : « Les points sont-ils alignés ? », « Trouver la coordonnée manquante ». Exemple : $A (2; - 1)$ , $B (5; 1)$ , $C (- 7; - 7)$ .

$\vec{A B} (3; 2)$ et $\vec{A C} (- 9; - 6)$ .

$det (\vec{A B}, \vec{A C})$ $= 3 \times (- 6) - 2 \times (- 9)$ $= - 18 + 18$ $= 0$ .

Les vecteurs sont colinéaires, donc $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

Attention — une figure ne prouve pas un alignement ; AB⃗ et CD⃗ colinéaires donne un parallélisme.

Cas 4 · Parallélisme

Réflexe — un vecteur par droite ; puis un point testé si l’on veut savoir « confondues ou non ».

Exemple. Questions types : « Les droites sont-elles parallèles ? », « Nature du quadrilatère ». Exemple : $K (- 1; 2)$ , $L (3; 0)$ , $M (0; 5)$ , $N (10; 0)$ .

$\vec{K L} (4; - 2)$ et $\vec{M N} (10; - 5)$ .

$det (\vec{K L}, \vec{M N})$ $= 4 \times (- 5) - (- 2) \times 10$ $= - 20 + 20$ $= 0$ .

Les vecteurs sont colinéaires, donc $(K L) ∥ (M N)$ .

Attention — parallèles ≠ même longueur ; une paire de côtés parallèles donne un trapèze.

Cas 5 · Combinaison de deux vecteurs

Réflexe — base de deux vecteurs non colinéaires, Chasles, puis comparaison des coefficients.

Exemple. Questions types : « Exprimer en fonction de AB⃗ et AC⃗ », « En déduire que… sont alignés ». Exemple : $A B C$ triangle, $\vec{A P}$ $= 3 \vec{A B} - 2 \vec{A C}$ .

$\vec{B P}$ $= \vec{B A} + \vec{A P}$ $= - \vec{A B} + 3 \vec{A B} - 2 \vec{A C}$ $= 2 \vec{A B} - 2 \vec{A C}$ .

Or $\vec{B C}$ $= - \vec{A B} + \vec{A C}$ , donc $\vec{B P}$ $= - 2 \vec{B C}$ .

Colinéaires : $B$ , $P$ et $C$ sont alignés.

Attention — l’écriture au⃗ + bv⃗ n’est unique que si u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires.

Les pièges

det(u⃗, v⃗) = xy′ − yx′ : mettre les négatifs entre parenthèses, (−2) × (−3) = 6.
Un déterminant nul veut dire « colinéaires », pas « égaux » ni « de même sens ».
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Alignement : deux vecteurs de même origine (AB⃗ et AC⃗).
Parallèles comprend confondues : tester un point pour trancher.
Échanger les vecteurs change le signe du déterminant, pas sa nullité.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à une question de colinéarité, puis un exemple rédigé pour chacun des cinq cas : trouver k, calculer un déterminant, prouver un alignement, prouver un parallélisme, utiliser une base de deux vecteurs sans repère. Elle finit par les pièges : signes dans xy′ − yx′, vecteur nul, droites confondues.

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