Colinéarité et déterminant

Vecteurs colinéaires, déterminant dans une base orthonormée et critère de colinéarité démontré, alignement de trois points, parallélisme de deux droites, vecteur écrit comme combinaison de deux vecteurs non colinéaires.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés : une clôture dont les poteaux doivent être alignés, un terrain en forme de trapèze avec une haie parallèle à un côté, l’équilibre d’un lampadaire tenu par deux câbles, trois routes de navires à comparer en mer, une fonction Python qui teste la colinéarité (et le piège des nombres décimaux), et trois points alignés dans un triangle, démontré sans coordonnées.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fais une figure à main levée (ou je place les points dans le repère) pour deviner ce qu’il faut prouver : alignement, parallélisme, position d’un point.
Je traduis la question en vecteurs : alignement de A, B, C → AB⃗ et AC⃗ ; parallélisme de (AB) et (CD) → AB⃗ et CD⃗ ; sans repère → une base de deux vecteurs non colinéaires de la figure.
Je calcule les coordonnées des vecteurs (extrémité moins origine) ou je les exprime avec la relation de Chasles.
Je conclus avec le critère : déterminant nul ou coefficient k trouvé, puis la phrase « … sont colinéaires, donc … ».
Je vérifie sur la figure que le résultat est vraisemblable (position du point, sens du vecteur, ordre de grandeur).

Problème 1 · Une clôture bien droite★★★Facile

Un éleveur plante les poteaux d’une clôture qui doit être rectiligne. Sur le plan, muni d’un repère orthonormé (unité : 1 m), trois poteaux sont plantés en

A (2; 3)

B (14; 8)

C (38; 18)

. Un quatrième poteau a été planté en

D (26; 14)

1. Démontrer que les poteaux $A$ , $B$ et $C$ sont alignés : $det (\vec{A B}, \vec{A C})$ $=$
Rédaction attendue. $\vec{A B} (12; 5)$ et $\vec{A C} (36; 15)$ . $det (\vec{A B}, \vec{A C})$ $= 12 \times 15 - 5 \times 36$ $= 180 - 180$ $= 0$ . Les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ sont colinéaires, donc les poteaux $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.
2. $\vec{A C} =$ $\times \vec{A B}$ ; en déduire lequel des trois poteaux est entre les deux autres.
$36 = 3 \times 12$ et $15 = 3 \times 5$ : $\vec{A C}$ $= 3 \vec{A B}$ . Le coefficient est plus grand que $1$ : $B$ est entre $A$ et $C$ , et $C$ est trois fois plus loin de $A$ que $B$ .
3. Le poteau $D$ est-il dans l’alignement ? Le déterminant de $\vec{A B}$ et $\vec{A D}$ vaut
$\vec{A D} (24; 11)$ . $det (\vec{A B}, \vec{A D})$ $= 12 \times 11 - 5 \times 24$ $= 132 - 120$ $= 12$ $\neq 0$ . Le poteau $D$ n’est pas dans l’alignement : la clôture ferait un coude.
4. On déplace $D$ en gardant son abscisse $26$ , pour le remettre dans l’alignement. Sa nouvelle ordonnée vaut
$D' (26; y)$ et $\vec{A D'} (24; y - 3)$ . $D' \in (A B)$ $⟺ 12 (y - 3) - 5 \times 24$ $= 0$ $⟺ 12 y - 156$ $= 0$ $⟺ y$ $= 13$ . Il faut donc le déplacer de $1$ m vers le bas sur le plan (ordonnée $13$ au lieu de $14$ ). Contrôle : $\vec{A D'} (24; 10)$ $= 2 \vec{A B}$ .
5. Un poteau $E$ d’abscisse $8$ est placé sur la clôture. Son ordonnée vaut
$E (8; y)$ et $\vec{A E} (6; y - 3)$ . $12 (y - 3) - 5 \times 6$ $= 0$ $⟺ 12 y$ $= 66$ $⟺ y$ $= 5, 5$ . On remarque que $\vec{A E} (6; 2, 5)$ $= \frac{1}{2} \vec{A B}$ : $E$ est le milieu de $[A B]$ .

Problème 2 · Un terrain en forme de trapèze★★★Moyen

Sur le plan d’un terrain, muni d’un repère orthonormé (unité : 10 m), les quatre bornes sont

A (- 4; - 2)

B (8; 1)

C (6; 5)

D (- 2; 3)

. Réponses exactes.

1. Démontrer que les côtés $[A B]$ et $[D C]$ sont parallèles : $det (\vec{A B}, \vec{D C})$ $=$
Rédaction attendue. $\vec{A B} (12; 3)$ et $\vec{D C} (8; 2)$ . $det (\vec{A B}, \vec{D C})$ $= 12 \times 2 - 3 \times 8$ $= 24 - 24$ $= 0$ . Les vecteurs sont colinéaires, donc les droites $(A B)$ et $(D C)$ sont parallèles.
2. Les côtés $[A D]$ et $[B C]$ sont-ils parallèles ? Le déterminant de $\vec{A D}$ et $\vec{B C}$ vaut ; conclure sur la forme du terrain.
$\vec{A D} (2; 5)$ et $\vec{B C} (- 2; 4)$ : $2 \times 4 - 5 \times (- 2)$ $= 8 + 10$ $= 18$ $\neq 0$ . $(A D)$ et $(B C)$ ne sont pas parallèles : $A B C D$ est un trapèze de bases $[A B]$ et $[D C]$ , pas un parallélogramme.
3. $\vec{D C} =$ $\times \vec{A B}$
$8 = \frac{2}{3} \times 12$ et $2 = \frac{2}{3} \times 3$ : $\vec{D C}$ $= \frac{2}{3} \vec{A B}$ . La petite base mesure les deux tiers de la grande.
4. On veut planter une haie de $D$ jusqu’au point $E$ de $[A B]$ d’abscisse $0$ . L’ordonnée de $E$ vaut
$E (0; y)$ et $\vec{A E} (4; y + 2)$ . $E \in (A B)$ $⟺ 12 (y + 2) - 3 \times 4$ $= 0$ $⟺ 12 y + 12$ $= 0$ $⟺ y$ $= - 1$ . Donc $E (0; - 1)$ .
5. Démontrer que la haie $(D E)$ est parallèle à $(B C)$ : $det (\vec{D E}, \vec{B C})$ $=$ . Quelle est la nature de $E B C D$ ?
Rédaction attendue. $\vec{D E} (2; - 4)$ et $\vec{B C} (- 2; 4)$ : $det (\vec{D E}, \vec{B C})$ $= 2 \times 4 - (- 4) \times (- 2)$ $= 8 - 8$ $= 0$ , donc $(D E) ∥ (B C)$ . De plus $E$ est sur $(A B)$ , qui est parallèle à $(D C)$ : $(E B) ∥ (D C)$ . Le quadrilatère $E B C D$ a ses côtés opposés parallèles deux à deux : c’est un parallélogramme.

Problème 3 · Un lampadaire suspendu à deux câbles★★★Moyen

Un lampadaire de poids

\vec{P} (0; - 120)

, en newtons, est maintenu immobile par deux câbles (repère orthonormé, axe des ordonnées vertical vers le haut). Le premier câble exerce la force

\vec{T_{1}} = a \vec{u_{1}}

avec

\vec{u_{1}} (- 3; 4)

, le second la force

\vec{T_{2}} = b \vec{u_{2}}

avec

\vec{u_{2}} (4; 3)

, où

a > 0

b > 0

. À l’équilibre,

\vec{T_{1}} + \vec{T_{2}} + \vec{P}

= \vec{0}

. On donne

‖ \vec{u_{1}} ‖ = ‖ \vec{u_{2}} ‖ = 5

1. Justifier que le couple $(a; b)$ existe et est unique : $det (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) =$
Rédaction attendue. $det (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}})$ $= (- 3) \times 3 - 4 \times 4$ $= - 9 - 16$ $= - 25$ $\neq 0$ . Les vecteurs $\vec{u_{1}}$ et $\vec{u_{2}}$ ne sont pas colinéaires. L’équilibre s’écrit $a \vec{u_{1}} + b \vec{u_{2}}$ $= - \vec{P}$ : le vecteur $- \vec{P}$ s’écrit de façon unique comme combinaison de $\vec{u_{1}}$ et $\vec{u_{2}}$ , donc le couple $(a; b)$ existe et est unique.
2. L’équilibre sur les abscisses s’écrit $- 3 a + 4 b = 0$ . Donc $a =$ $\times b$
Abscisses de $\vec{T_{1}} + \vec{T_{2}} + \vec{P}$ : $- 3 a + 4 b + 0 = 0$ , donc $3 a = 4 b$ et $a = \frac{4}{3} b$ .
3. L’équilibre sur les ordonnées s’écrit $4 a + 3 b = 120$ . En remplaçant $a$ , on trouve $b =$
$4 \times \frac{4}{3} b + 3 b$ $= 120$ $⟺ \frac{16 b + 9 b}{3}$ $= 120$ $⟺ 25 b$ $= 360$ $⟺ b$ $= 14, 4$ .
4. Puis $a =$
$a = \frac{4}{3} \times 14, 4$ $= \frac{57, 6}{3}$ $= 19, 2$ . Contrôle : $\vec{T_{1}} (- 57, 6; 76, 8)$ et $\vec{T_{2}} (57, 6; 43, 2)$ ont pour somme $(0; 120) = - \vec{P}$ .
5. L’intensité de $\vec{T_{1}}$ vaut $‖ \vec{T_{1}} ‖$ $= a \times ‖ \vec{u_{1}} ‖$ $=$ N. Le premier câble supporte au plus $90$ N : le montage est-il sûr ?
$‖ \vec{T_{1}} ‖$ $= 19, 2 \times 5$ $= 96$ N, ce qui dépasse $90$ N : le montage n’est pas sûr, le premier câble risque de céder. (Le second supporte $14, 4 \times 5 = 72$ N.)

Problème 4 · Trois routes en mer★★★Moyen

La carte d’une zone maritime est munie d’un repère orthonormé ; une unité vaut 10 km. Un porte-conteneurs passe par la bouée

M (9; 7)

puis file en ligne droite vers le terminal

N (15; 4)

. Un cargo va en ligne droite de

Q (1; 8)

R (13; 2)

1. Coordonnées du vecteur $\vec{M N}$ : ( ; )
Extrémité moins origine : $\vec{M N} (15 - 9; 4 - 7)$ , soit $\vec{M N} (6; - 3)$ .
2. Démontrer que les routes des deux navires sont parallèles : $det (\vec{M N}, \vec{Q R})$ $=$
Rédaction attendue. $\vec{Q R} (13 - 1; 2 - 8)$ , soit $\vec{Q R} (12; - 6)$ . $det (\vec{M N}, \vec{Q R})$ $= 6 \times (- 6) - (- 3) \times 12$ $= - 36 + 36$ $= 0$ . Les vecteurs sont colinéaires (d’ailleurs $\vec{Q R} = 2 \vec{M N}$ ), donc les droites $(M N)$ et $(Q R)$ sont parallèles.
3. Les deux routes pourraient être sur une même droite. Calculer $det (\vec{Q R}, \vec{Q M})$ ; les droites $(M N)$ et $(Q R)$ sont (écris « confondues » ou « strictement parallèles »)
$\vec{Q M} (8; - 1)$ . $det (\vec{Q R}, \vec{Q M})$ $= 12 \times (- 1) - (- 6) \times 8$ $= - 12 + 48$ $= 36$ $\neq 0$ : $M$ n’est pas sur $(Q R)$ . Les droites sont parallèles sans point commun : strictement parallèles. Les deux navires ne se croisent jamais.
4. Un voilier part de $S (5; 4)$ et vise une balise $T$ d’abscisse $11$ . Pour que sa route soit parallèle à celle du porte-conteneurs, l’ordonnée de $T$ vaut
$T (11; y)$ et $\vec{S T} (6; y - 4)$ . $(S T) ∥ (M N)$ $⟺ 6 (y - 4) - (- 3) \times 6$ $= 0$ $⟺ 6 y - 24 + 18$ $= 0$ $⟺ 6 y$ $= 6$ $⟺ y$ $= 1$ . Contrôle : $\vec{S T} (6; - 3)$ $= \vec{M N}$ .

Problème 5 · Tester la colinéarité en Python★★★Difficile

On représente un vecteur par ses deux coordonnées. On propose la fonction suivante.

def colineaires(x, y, xp, yp):
    d = x * yp - y * xp
    return d == 0

Pour une réponse de Python, écris True ou False.

1. Justifier, avec le cours, le test d == 0. Que renvoie colineaires(-10, 4, 15, -6) ?
Rédaction attendue. La variable d contient $x y' - y x'$ : c’est le déterminant des vecteurs $(x; y)$ et $(x'; y')$ . D’après le cours, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul, donc le test d == 0 répond exactement à la question. Ici $d = (- 10) \times (- 6) - 4 \times 15$ $= 60 - 60$ $= 0$ : la fonction renvoie True.
2. Pour l’appel colineaires(2, 3, 5, 7), la variable d vaut
$d = 2 \times 7 - 3 \times 5$ $= 14 - 15$ $= - 1$ : la fonction renvoie False. Les points $O$ , $(2; 3)$ et $(5; 7)$ ne sont pas alignés.
3. Un élève obtient False avec colineaires(0.7, 0.2, 2.1, 0.6), alors que $(2, 1; 0, 6)$ $= 3 \times (0, 7; 0, 2)$ . La valeur exacte de $d$ est ; expliquer et corriger.
Mathématiquement, $d = 0, 7 \times 0, 6 - 0, 2 \times 2, 1$ $= 0, 42 - 0, 42$ $= 0$ . Mais Python range les décimaux en binaire, de façon approchée : il calcule $0, 2 \times 2, 1 \approx 0, 420 000 000 000 000 04$ et trouve pour $d$ un nombre minuscule, différent de $0$ . On compare donc à un seuil : return abs(d) < 1e-9.
4. On veut une fonction alignes(xA, yA, xB, yB, xC, yC) qui renvoie True si les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés. Elle renvoie colineaires(xB - xA, yB - yA, , )
Rédaction attendue. A, B et C sont alignés si et seulement si AB→ et AC→ sont colinéaires. Les deux premiers arguments sont les coordonnées de AB→, les deux suivants celles de AC→ (extrémité moins origine) :
```
def alignes(xA, yA, xB, yB, xC, yC):
    return colineaires(xB - xA, yB - yA, xC - xA, yC - yA)
```
5. Que renvoie alignes(1, 2, 3, 5, 7, 11) ?
La fonction teste la colinéarité de $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ , ce qui caractérise l’alignement. Ici $\vec{A B} (2; 3)$ et $\vec{A C} (6; 9)$ : $d = 2 \times 9 - 3 \times 6$ $= 18 - 18$ $= 0$ , la fonction renvoie True.

Problème 6 · Trois points alignés dans un triangle★★★Difficile

A B C

est un triangle.

I

est le milieu de

[A B]

J

est le point tel que

C

soit le milieu de

[A J]

, c’est-à-dire

\vec{A J}

= 2 \vec{A C}

, et

K

est le point défini par

\vec{B K}

= \frac{2}{3} \vec{B C}

. On travaille dans la base

(\vec{A B}, \vec{A C})

. Réponses en fraction ou en entier.

1. $\vec{A K}$ $=$ $\vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$
$\vec{A K}$ $= \vec{A B} + \vec{B K}$ $= \vec{A B} + \frac{2}{3} (\vec{A C} - \vec{A B})$ $= \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ , car $\vec{B C}$ $= \vec{B A} + \vec{A C}$ $= \vec{A C} - \vec{A B}$ .
2. $\vec{I K} =$ $\vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$
$\vec{I K}$ $= \vec{I A} + \vec{A K}$ $= - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ $= - \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ .
3. $\vec{I J}$ $= - \frac{1}{2} \vec{A B} +$ $\vec{A C}$
$\vec{I J}$ $= \vec{I A} + \vec{A J}$ $= - \frac{1}{2} \vec{A B} + 2 \vec{A C}$ .
4. Démontrer que $I$ , $K$ et $J$ sont alignés : $\vec{I J} =$ $\vec{I K}$
Rédaction attendue. $3 \vec{I K}$ $= 3 \times (- \frac{1}{6}) \vec{A B} + 3 \times \frac{2}{3} \vec{A C}$ $= - \frac{1}{2} \vec{A B} + 2 \vec{A C}$ $= \vec{I J}$ . Les vecteurs $\vec{I J}$ et $\vec{I K}$ sont colinéaires, donc $I$ , $K$ et $J$ sont alignés. Comme $\vec{I K}$ $= \frac{1}{3} \vec{I J}$ , $K$ est sur $[I J]$ , au tiers en partant de $I$ .

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