Combien de temps dure ce contrôle sur « Colinéarité et déterminant » ?

60 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de seconde ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Colinéarité et déterminant » du programme officiel de mathématiques en seconde.

Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Ressources · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques

Colinéarité et déterminant

Vecteurs colinéaires, déterminant dans une base orthonormée et critère de colinéarité démontré, alignement de trois points, parallélisme de deux droites, vecteur écrit comme combinaison de deux vecteurs non colinéaires.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de seconde d’une heure sur 20 points, sans calculatrice, avec corrigé : automatismes sur le déterminant, démonstration du critère de colinéarité, alignement de quatre points, trapèze et droites strictement parallèles, décomposition d’un vecteur et alignement dans un parallélogramme.

⬇ Télécharger le sujet (PDF) ⬇ Télécharger le corrigé (PDF)

Sujet et corrigé prêts à imprimer.

Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 60 min · Noté sur 20

60:00

benprofparticulier.frMathématiques · 2ⁿᵈᵉ

Devoir surveillé – Colinéarité et déterminant

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Automatismes ★★

(4 pts)

Le plan est muni d’une base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j})$ . Répondre en justifiant brièvement.

a)Calculer $det (\vec{u}, \vec{v})$ pour $\vec{u} (- 2; 7)$ et $\vec{v} (3; 1)$ . Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?
b) $\vec{u} (8; - 6)$ et $\vec{v} (- 2; 1, 5)$ . Trouver le réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$ .
c)Donner les coordonnées du vecteur $3 (\vec{i} - 2 \vec{j}) + 5 \vec{j}$ .
d)Déterminer le réel $t$ pour que $\vec{p} (2 t + 1; 3)$ et $\vec{q} (5; - 2)$ soient colinéaires.

Exercice 2 – Démonstration du cours ★★

(4 pts)

Dans une base orthonormée, on considère deux vecteurs non nuls $\vec{u} (x; y)$ et $\vec{v} (x'; y')$ .

a)Démontrer que si $\vec{v} = k \vec{u}$ pour un réel $k$ , alors $det (\vec{u}, \vec{v}) = 0$ .
b)On suppose $det (\vec{u}, \vec{v}) = 0$ et $x \neq 0$ . En posant $k = \frac{x'}{x}$ , démontrer que $\vec{v} = k \vec{u}$ .
c)Application : $\vec{u} (- 5; 2)$ et $\vec{v} (3; - 1, 2)$ . Calculer $det (\vec{u}, \vec{v})$ et donner $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$ .
d) $\vec{u} (0; 4)$ et $\vec{v} (0; - 3)$ : on ne peut pas poser $k = \frac{x'}{x}$ . Montrer quand même qu’ils sont colinéaires et donner $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$ .

Exercice 3 – Alignement ★★

(4 pts)

Dans un repère orthonormé, on donne $A (- 3; 2)$ , $B (1; 4)$ , $C (13; 10)$ et $D (5; 7)$ .

a)Démontrer que les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.
b)Déterminer le réel $k$ tel que $\vec{A C}$ $= k \vec{A B}$ . Lequel des trois points est entre les deux autres ?
c)Le point $D$ appartient-il à la droite $(A B)$ ? Justifier.
d)Déterminer le réel $x$ pour que le point $E (x; - 1)$ appartienne à la droite $(A B)$ .

Exercice 4 – Parallélisme ★★★

(4 pts)

Dans un repère orthonormé, on donne $A (- 3; 1)$ , $B (3; - 2)$ , $C (5; 2)$ et $D (1; 4)$ .

a)Démontrer que les droites $(A B)$ et $(D C)$ sont parallèles.
b)Les droites $(A D)$ et $(B C)$ sont-elles parallèles ? Justifier par un calcul.
c)Déterminer le réel $y$ pour que la droite $(C F)$ , avec $F (7; y)$ , soit parallèle à $(A D)$ .
d)Montrer que $G (9; 0)$ appartient à la droite $(D C)$ , puis que les droites $(C G)$ et $(A B)$ sont strictement parallèles.

Exercice 5 – Combinaison de deux vecteurs ★★★

(4 pts)

Partie A : dans une base orthonormée, $\vec{u} (3; - 1)$ , $\vec{v} (2; 0)$ et $\vec{w} (- 4; 3)$ . Partie B : $A B C D$ est un parallélogramme, $M$ est le milieu de $[B C]$ et $N$ est le point tel que $\vec{A N}$ $= \frac{2}{3} \vec{A M}$ .

a)Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
b)Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v}$ .
c)Exprimer $\vec{A N}$ en fonction de $\vec{A B}$ et $\vec{A D}$ .
d)En déduire que les points $B$ , $N$ et $D$ sont alignés.

Bon courage !

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

Voir le corrigé et le barème

benprofparticulier.frMathématiques · 2ⁿᵈᵉ

Corrigé et barème – Colinéarité et déterminant

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Exercice 1 – Automatismes ★★

(4 pts)

a) $det (\vec{u}, \vec{v})$ $= (- 2) \times 1 - 7 \times 3$ $= - 2 - 21$ $= - 23$ $\neq 0$ : les vecteurs ne sont pas colinéaires. (1)
b)L’abscisse donne $- 2 = 8 k$ , soit $k = - 0, 25$ . Contrôle sur l’ordonnée : $(- 0, 25) \times (- 6) = 1, 5$ . Donc $\vec{v} = - 0, 25 \vec{u}$ . (1)
c) $3 \vec{i} - 6 \vec{j} + 5 \vec{j}$ $= 3 \vec{i} - \vec{j}$ : le vecteur a pour coordonnées $(3; - 1)$ . (1)
d) $det (\vec{p}, \vec{q})$ $= (2 t + 1) \times (- 2) - 3 \times 5$ $= - 4 t - 2 - 15$ $= - 4 t - 17$ . Il est nul si et seulement si $t = - \frac{17}{4}$ . (1)

Repère — Un déterminant se calcule en colonnes : x × y′ − y × x′, avec des parenthèses autour des nombres négatifs.

Exercice 2 – Démonstration du cours ★★

(4 pts)

a)Si $\vec{v} = k \vec{u}$ , alors $x' = k x$ et $y' = k y$ . Donc $det (\vec{u}, \vec{v})$ $= x y' - y x'$ $= x \times k y - y \times k x$ $= k x y - k x y$ $= 0$ . (1)
b)Avec $k = \frac{x'}{x}$ , on a $x' = k x$ . Comme $x y' - y x' = 0$ , on a $x y' = y x'$ , et en divisant par $x \neq 0$ : $y' = y \times \frac{x'}{x} = k y$ . Les coordonnées de $\vec{v}$ sont $(k x; k y)$ : $\vec{v} = k \vec{u}$ , les vecteurs sont colinéaires. (1)
c) $det (\vec{u}, \vec{v})$ $= (- 5) \times (- 1, 2) - 2 \times 3$ $= 6 - 6$ $= 0$ : colinéaires. $k = \frac{3}{- 5} = - 0, 6$ , et $- 0, 6 \times 2 = - 1, 2$ : $\vec{v} = - 0, 6 \vec{u}$ . (1)
d) $det (\vec{u}, \vec{v})$ $= 0 \times (- 3) - 4 \times 0$ $= 0$ : les vecteurs sont colinéaires. On raisonne sur l’ordonnée, non nulle : $- 3 = k \times 4$ donne $k = - \frac{3}{4}$ , et $- \frac{3}{4} \times 0 = 0$ . Donc $\vec{v} = - \frac{3}{4} \vec{u}$ . (1)

Méthode — Pour trouver k, on divise par une coordonnée NON nulle de u⃗ ; si l’abscisse est nulle, on utilise l’ordonnée.

Exercice 3 – Alignement ★★

(4 pts)

a) $\vec{A B} (4; 2)$ et $\vec{A C} (16; 8)$ . $det (\vec{A B}, \vec{A C})$ $= 4 \times 8 - 2 \times 16$ $= 32 - 32$ $= 0$ . Les vecteurs sont colinéaires, donc $A$ , $B$ et $C$ sont alignés. (1)
b) $16 = 4 \times 4$ et $8 = 4 \times 2$ : $\vec{A C}$ $= 4 \vec{A B}$ . Comme $4 > 1$ , $B$ est entre $A$ et $C$ . (1)
c) $\vec{A D} (8; 5)$ et $det (\vec{A B}, \vec{A D})$ $= 4 \times 5 - 2 \times 8$ $= 20 - 16$ $= 4$ $\neq 0$ . Les vecteurs ne sont pas colinéaires : $D$ n’appartient pas à $(A B)$ . (1)
d) $\vec{A E} (x + 3; - 3)$ . $E \in (A B)$ $⟺ 4 \times (- 3) - 2 (x + 3)$ $= 0$ $⟺ - 2 x - 18$ $= 0$ $⟺ x$ $= - 9$ . Contrôle : $\vec{A E} (- 6; - 3)$ $= - 1, 5 \vec{A B}$ . (1)

Piège — Pour un alignement, les deux vecteurs partent du même point : AB⃗ et AC⃗, pas AB⃗ et CD⃗.

Exercice 4 – Parallélisme ★★★

(4 pts)

a) $\vec{A B} (6; - 3)$ et $\vec{D C} (4; - 2)$ : $det (\vec{A B}, \vec{D C})$ $= 6 \times (- 2) - (- 3) \times 4$ $= - 12 + 12$ $= 0$ . Les vecteurs sont colinéaires, donc $(A B) ∥ (D C)$ . (1)
b) $\vec{A D} (4; 3)$ et $\vec{B C} (2; 4)$ : $det (\vec{A D}, \vec{B C})$ $= 4 \times 4 - 3 \times 2$ $= 16 - 6$ $= 10$ $\neq 0$ . Les droites $(A D)$ et $(B C)$ ne sont pas parallèles. (1)
c) $\vec{C F} (2; y - 2)$ et $\vec{A D} (4; 3)$ . $(C F) ∥ (A D)$ $⟺ 2 \times 3 - (y - 2) \times 4$ $= 0$ $⟺ 14 - 4 y$ $= 0$ $⟺ y$ $= 3, 5$ . (1)
d) $\vec{D G} (8; - 4)$ et $det (\vec{D C}, \vec{D G})$ $= 4 \times (- 4) - (- 2) \times 8$ $= - 16 + 16$ $= 0$ : $G \in (D C)$ , donc $(C G)$ est la droite $(D C)$ , parallèle à $(A B)$ . De plus $\vec{A C} (8; 1)$ et $det (\vec{A B}, \vec{A C})$ $= 6 \times 1 - (- 3) \times 8$ $= 6 + 24$ $= 30$ $\neq 0$ : $C \notin (A B)$ . Les droites sont parallèles sans point commun : strictement parallèles. (1)

Repère — « Parallèles » inclut « confondues » : pour trancher, on teste si un point de l’une est sur l’autre.

Exercice 5 – Combinaison de deux vecteurs ★★★

(4 pts)

a) $det (\vec{u}, \vec{v})$ $= 3 \times 0 - (- 1) \times 2$ $= 2$ $\neq 0$ : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, donc $\vec{w}$ s’écrit de façon unique $a \vec{u} + b \vec{v}$ . (1)
b) $a \vec{u} + b \vec{v}$ a pour coordonnées $(3 a + 2 b; - a)$ . L’ordonnée donne $- a = 3$ , donc $a = - 3$ . L’abscisse donne $- 9 + 2 b = - 4$ , donc $b = 2, 5$ . Ainsi $\vec{w}$ $= - 3 \vec{u} + 2, 5 \vec{v}$ . (1)
c) $\vec{A M}$ $= \vec{A B} + \vec{B M}$ $= \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ , et $\vec{B C}$ $= \vec{A D}$ car $A B C D$ est un parallélogramme. Donc $\vec{A M}$ $= \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ et $\vec{A N}$ $= \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ . (1)
d) $\vec{B N}$ $= \vec{B A} + \vec{A N}$ $= - \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ $= - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ . Or $\vec{B D}$ $= \vec{B A} + \vec{A D}$ $= - \vec{A B} + \vec{A D}$ . Donc $\vec{B N}$ $= \frac{1}{3} \vec{B D}$ : les vecteurs sont colinéaires et $B$ , $N$ , $D$ sont alignés ( $N$ est sur la diagonale $[B D]$ , au tiers en partant de $B$ ). (1)

Méthode — Sans repère : une base de deux vecteurs non colinéaires de la figure, la relation de Chasles, puis on compare les coefficients.

Ce contrôle de mathématiques 2ⁿᵈᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Colinéarité et déterminant » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Automatismes ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Démonstration du cours ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Alignement ★★/ 4 pts
Exercice 4 — Parallélisme ★★★/ 4 pts
Exercice 5 — Combinaison de deux vecteurs ★★★/ 4 pts

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (36 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

Voir tous les contrôles de mathématiques 2ⁿᵈᵉ · tous les devoirs surveillés corrigés

Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Colinéarité et déterminant » ?: 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de seconde ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Colinéarité et déterminant » du programme officiel de mathématiques en seconde.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs