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Colinéarité et déterminant

Vecteurs colinéaires, déterminant dans une base orthonormée et critère de colinéarité démontré, alignement de trois points, parallélisme de deux droites, vecteur écrit comme combinaison de deux vecteurs non colinéaires.

À propos de cette page
Un QCM sur la colinéarité de vecteurs en trois niveaux de douze questions : définition et formule du déterminant, calculs de déterminants et de paramètres, alignement et parallélisme, écriture xi⃗ + yj⃗, cas du vecteur nul et coefficients à identifier. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. u⃗(2 ; 5) et v⃗(3 ; 4) dans une base orthonormée. Alors det(u⃗, v⃗) vaut :

    • A. 23
    • B. 7
    • C. −7
    • D. 26
    Réponse

    C. −7 — det(u⃗, v⃗) = 2 × 4 − 5 × 3 = 8 − 15 = −7. 23 vient de 8 + 15, et 26 de 2 × 3 + 5 × 4.

  2. Deux vecteurs non nuls colinéaires ont toujours :

    • A. la même direction
    • B. la même norme
    • C. le même sens
    • D. la même origine
    Réponse

    A. la même direction — Colinéaires veut dire même direction ; le sens et la norme peuvent changer (v⃗ = ku⃗ avec k non nul quelconque).

  3. Dans une base orthonormée, u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′). Alors det(u⃗, v⃗) est égal à :

    • A. xx′ − yy′
    • B. xx′ + yy′
    • C. xy − x′y′
    • D. xy′ − yx′
    Réponse

    D. xy′ − yx′ — On écrit les vecteurs en colonnes et on fait le produit en croix : x × y′ moins y × x′.

  4. Le vecteur nul est :

    • A. colinéaire à aucun vecteur
    • B. colinéaire à tout vecteur
    • C. colinéaire seulement à lui-même
    • D. colinéaire aux vecteurs de norme 1
    Réponse

    B. colinéaire à tout vecteur — 0⃗ = 0 × u⃗ pour tout vecteur u⃗ : le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

  5. u⃗(−2 ; 3). Lequel de ces vecteurs est colinéaire à u⃗ ?

    • A. (3 ; −2)
    • B. (6 ; −9)
    • C. (−2 ; −3)
    • D. (4 ; 6)
    Réponse

    B. (6 ; −9) — (6 ; −9) = −3 × (−2 ; 3) : les deux coordonnées sont multipliées par −3. Les autres couples ne sont pas proportionnels à (−2 ; 3).

  6. u⃗ est non nul et v⃗ = −4u⃗. Alors u⃗ et v⃗ sont :

    • A. colinéaires, de même sens
    • B. non colinéaires, car k est négatif
    • C. égaux en direction et en sens
    • D. colinéaires, de sens contraires
    Réponse

    D. colinéaires, de sens contraires — k = −4 < 0 : même direction, sens contraires, et v⃗ est quatre fois plus long que u⃗.

  7. A, B, C sont trois points avec A ≠ B. Ils sont alignés si et seulement si :

    • A. AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires
    • B. AB = AC
    • C. AB⃗ = AC⃗
    • D. AB⃗ et AC⃗ ont la même norme
    Réponse

    A. AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires — Alignement ⟺ AB⃗ et AC⃗ colinéaires ⟺ det(AB⃗, AC⃗) = 0. L’égalité AB⃗ = AC⃗ voudrait dire B = C.

  8. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si :

    • A. AB⃗ et CD⃗ ont la même norme
    • B. AB⃗ et CD⃗ sont égaux
    • C. AB⃗ et CD⃗ sont colinéaires
    • D. det(AB⃗, CD⃗) est positif
    Réponse

    C. AB⃗ et CD⃗ sont colinéaires — Parallèles ⟺ vecteurs colinéaires ⟺ déterminant nul. Les longueurs et les sens peuvent différer.

  9. Dans la base (i⃗, j⃗), le vecteur u⃗ = 5i⃗ − 2j⃗ a pour coordonnées :

    • A. (−2 ; 5)
    • B. (5 ; 2)
    • C. (3 ; 0)
    • D. (5 ; −2)
    Réponse

    D. (5 ; −2) — u⃗ = xi⃗ + yj⃗ signifie u⃗(x ; y) : ici x = 5 et y = −2.

  10. On sait que det(u⃗, v⃗) = 0. On peut en conclure que :

    • A. u⃗ et v⃗ sont égaux
    • B. u⃗ et v⃗ sont colinéaires
    • C. u⃗ et v⃗ sont de même sens
    • D. u⃗ ou v⃗ est le vecteur nul
    Réponse

    B. u⃗ et v⃗ sont colinéaires — Déterminant nul ⟺ colinéaires, rien de plus : u⃗(1 ; 2) et v⃗(−3 ; −6) ont un déterminant nul, sans être égaux, ni de même sens, ni nuls.

  11. u⃗(1 ; 4) et v⃗(3 ; k) sont colinéaires pour k égal à :

    • A. 12
    • B. 7
    • C. 4/3
    • D. 3/4
    Réponse

    A. 12 — det(u⃗, v⃗) = 1 × k − 4 × 3 = k − 12, nul pour k = 12 : alors v⃗ = 3u⃗.

  12. On sait que det(u⃗, v⃗) = 5. Alors det(v⃗, u⃗) vaut :

    • A. 5
    • B. 0
    • C. −5
    • D. 1/5
    Réponse

    C. −5 — Échanger les deux vecteurs change le signe du déterminant : det(v⃗, u⃗) = −det(u⃗, v⃗) = −5.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. Pour quelle valeur de k les vecteurs (3 ; k) et (6 ; −8) sont-ils colinéaires ?

    • A. k = 4
    • B. k = −4
    • C. k = −16
    • D. k = 2
    Réponse

    B. k = −4 — 3 × (−8) − k × 6 = −24 − 6k, nul pour k = −4. On a bien (6 ; −8) = 2 × (3 ; −4).

  2. A(1 ; 2), B(3 ; 7), C(7 ; 17). Que vaut det(AB⃗, AC⃗), et que peut-on en déduire ?

    • A. 60, donc ils ne sont pas alignés
    • B. 12, donc ils sont alignés
    • C. 0, donc ils sont confondus
    • D. 0, donc A, B, C sont alignés
    Réponse

    D. 0, donc A, B, C sont alignés — AB⃗(2 ; 5) et AC⃗(6 ; 15) : 2 × 15 − 5 × 6 = 30 − 30 = 0. Les vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés (ils sont distincts).

  3. u⃗(1 ; 0), v⃗(1 ; 1) et w⃗(4 ; 3). La décomposition w⃗ = au⃗ + bv⃗ donne :

    • A. a = 1 et b = 3
    • B. a = 4 et b = 3
    • C. a = 3 et b = 1
    • D. a = 7 et b = −3
    Réponse

    A. a = 1 et b = 3 — au⃗ + bv⃗ a pour coordonnées (a + b ; b) : l’ordonnée donne b = 3, puis a = 4 − 3 = 1.

  4. u⃗(−3 ; 6) et v⃗(2 ; −4). Alors :

    • A. v⃗ = −1,5 u⃗
    • B. v⃗ = 2/3 u⃗
    • C. v⃗ = −2/3 u⃗
    • D. ils ne sont pas colinéaires
    Réponse

    C. v⃗ = −2/3 u⃗ — −2/3 × (−3) = 2 et −2/3 × 6 = −4 : v⃗ = −2/3 u⃗. Le nombre −1,5 donne l’autre sens : u⃗ = −1,5 v⃗.

  5. u⃗(5 ; −1) et v⃗(−2 ; 3). Alors det(u⃗, v⃗) vaut :

    • A. 13
    • B. 17
    • C. −13
    • D. 15
    Réponse

    A. 13 — 5 × 3 − (−1) × (−2) = 15 − 2 = 13. 17 vient d’une erreur de signe sur (−1) × (−2).

  6. A(0 ; 1) et B(2 ; 4). Le point de (AB) d’abscisse 6 a pour ordonnée :

    • A. 9
    • B. 7
    • C. 10
    • D. 13
    Réponse

    C. 10 — AB⃗(2 ; 3) et AM⃗(6 ; y − 1) : la condition est 2(y − 1) = 3 × 6, donc y − 1 = 9 et y = 10.

  7. E(−1 ; 2), F(1 ; 3), G(3 ; 5), H(7 ; 7). Quelles droites sont parallèles ?

    • A. (EG) et (FH)
    • B. (FG) et (EH)
    • C. aucune de ces paires
    • D. (EF) et (GH)
    Réponse

    D. (EF) et (GH) — EF⃗(2 ; 1) et GH⃗(4 ; 2) : 2 × 2 − 1 × 4 = 0. En revanche det(EG⃗, FH⃗) = 4 × 4 − 3 × 6 = −2 et det(FG⃗, EH⃗) = 2 × 5 − 2 × 8 = −6.

  8. u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires, et 3u⃗ + bv⃗ = au⃗ − 2v⃗. Alors :

    • A. a = −2 et b = 3
    • B. a = 3 et b = −2
    • C. a = 3 et b = 2
    • D. on ne peut pas trouver a et b
    Réponse

    B. a = 3 et b = −2 — L’écriture au⃗ + bv⃗ est unique quand u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires : on identifie les coefficients, a = 3 et b = −2.

  9. ABC est un triangle et M le milieu de [BC]. Dans la base (AB⃗, AC⃗), le vecteur AM⃗ s’écrit :

    • A. AB⃗ + AC⃗
    • B. ½ AB⃗ − ½ AC⃗
    • C. AB⃗ + ½ AC⃗
    • D. ½ AB⃗ + ½ AC⃗
    Réponse

    D. ½ AB⃗ + ½ AC⃗ — AM⃗ = AB⃗ + BM⃗ = AB⃗ + ½ BC⃗, et BC⃗ = AC⃗ − AB⃗, donc AM⃗ = ½ AB⃗ + ½ AC⃗.

  10. u⃗(2 ; −3) et v⃗(−3 ; 2) sont :

    • A. non colinéaires
    • B. colinéaires
    • C. opposés
    • D. égaux
    Réponse

    A. non colinéaires — det(u⃗, v⃗) = 2 × 2 − (−3) × (−3) = 4 − 9 = −5, non nul : ils ne sont pas colinéaires, donc ni égaux ni opposés.

  11. A(2 ; 1), B(5 ; 3) et C(x ; 7) sont alignés pour x égal à :

    • A. 9
    • B. 11
    • C. 10
    • D. 13
    Réponse

    B. 11 — AB⃗(3 ; 2) et AC⃗(x − 2 ; 6) : 3 × 6 − 2(x − 2) = 0, donc x − 2 = 9 et x = 11.

  12. u⃗(6 ; 3) et v⃗(−8 ; −4) sont colinéaires. Le réel k tel que v⃗ = ku⃗ vaut :

    • A. −3/4
    • B. 4/3
    • C. −4/3
    • D. −2
    Réponse

    C. −4/3 — −8 = 6k donne k = −4/3 ; contrôle sur l’ordonnée : −4/3 × 3 = −4.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. u⃗(0 ; 0) et v⃗(3 ; 5). Quelle affirmation est vraie ?

    • A. Ils sont colinéaires, car leur déterminant est nul
    • B. Ils ne sont pas colinéaires, car u⃗ n’a pas de direction
    • C. Ils sont égaux, car leur déterminant est nul
    • D. Ils sont opposés, car u⃗ est le vecteur nul
    Réponse

    A. Ils sont colinéaires, car leur déterminant est nul — det(u⃗, v⃗) = 0 × 5 − 0 × 3 = 0 ; le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur (u⃗ = 0 × v⃗).

  2. On sait que det(u⃗, v⃗) = 0 et u⃗ ≠ 0⃗. Alors :

    • A. u⃗ = v⃗, car leurs coordonnées sont égales
    • B. v⃗ est forcément le vecteur nul
    • C. il existe un réel k tel que v⃗ = ku⃗
    • D. u⃗ et v⃗ sont forcément de sens contraires
    Réponse

    C. il existe un réel k tel que v⃗ = ku⃗ — Déterminant nul : colinéaires. Comme u⃗ ≠ 0⃗, v⃗ s’écrit ku⃗ (avec k = 0 si v⃗ est nul).

  3. A(1 ; 1), B(2 ; 3), C(3 ; 5), D(0 ; −1). Quelle affirmation est vraie ?

    • A. Seuls A, B et C sont alignés
    • B. Les quatre points sont alignés
    • C. ABCD est un parallélogramme
    • D. D n’appartient pas à la droite (AB)
    Réponse

    B. Les quatre points sont alignés — AB⃗(1 ; 2), AC⃗(2 ; 4) et AD⃗(−1 ; −2) sont tous colinéaires à AB⃗ : C et D sont sur la droite (AB).

  4. u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires et au⃗ + bv⃗ = 0⃗. Alors :

    • A. on peut avoir a = 1 et b = −1
    • B. a et b sont quelconques
    • C. u⃗ = −v⃗
    • D. a = b = 0
    Réponse

    D. a = b = 0 — Le vecteur nul s’écrit 0u⃗ + 0v⃗, et cette écriture est unique dans la base (u⃗, v⃗) : a = b = 0.

  5. « u⃗ colinéaire à v⃗ et v⃗ colinéaire à w⃗ » entraîne « u⃗ colinéaire à w⃗ » :

    • A. toujours, sans condition
    • B. jamais
    • C. dès que v⃗ ≠ 0⃗
    • D. seulement si u⃗ = w⃗
    Réponse

    C. dès que v⃗ ≠ 0⃗ — Si v⃗ ≠ 0⃗, on écrit u⃗ = kv⃗ et w⃗ = k′v⃗ : u⃗ et w⃗ sont colinéaires. Si v⃗ = 0⃗, c’est faux : (1 ; 0) et (0 ; 1) sont colinéaires à 0⃗ sans l’être entre eux.

  6. u⃗(m ; 3) et v⃗(12 ; m) sont colinéaires pour :

    • A. m = 6 ou m = −6
    • B. m = 6 seulement
    • C. m = 4
    • D. m = 36
    Réponse

    A. m = 6 ou m = −6 — det(u⃗, v⃗) = m × m − 3 × 12 = m² − 36, nul pour m² = 36, soit m = 6 ou m = −6.

  7. ABCD est un parallélogramme. Dans la base (AB⃗, AD⃗), le vecteur BD⃗ s’écrit :

    • A. AB⃗ + AD⃗
    • B. AB⃗ − AD⃗
    • C. −AB⃗ − AD⃗
    • D. −AB⃗ + AD⃗
    Réponse

    D. −AB⃗ + AD⃗ — BD⃗ = BA⃗ + AD⃗ = −AB⃗ + AD⃗. Le vecteur AB⃗ + AD⃗ est AC⃗, l’autre diagonale.

  8. A(−2 ; 0), B(0 ; 1), C(4 ; 3), D(6 ; 5). Alors :

    • A. (AB) et (CD) sont parallèles
    • B. A, B et C sont alignés
    • C. A, B et D sont alignés
    • D. les quatre points sont alignés
    Réponse

    B. A, B et C sont alignés — AB⃗(2 ; 1) et AC⃗(6 ; 3) : 2 × 3 − 1 × 6 = 0. Mais AD⃗(8 ; 5) donne 2 × 5 − 1 × 8 = 2, et CD⃗(2 ; 2) donne 2 × 2 − 1 × 2 = 2.

  9. On sait que det(u⃗, v⃗) = 4. Alors det(3u⃗, −v⃗) vaut :

    • A. 12
    • B. 7
    • C. −12
    • D. −7
    Réponse

    C. −12 — Multiplier un vecteur par k multiplie le déterminant par k : det(3u⃗, −v⃗) = 3 × (−1) × det(u⃗, v⃗) = −12.

  10. u⃗(a ; b) avec a ≠ 0, et v⃗(2a ; 2b + 1). Alors v⃗ :

    • A. est toujours colinéaire à u⃗
    • B. n’est jamais colinéaire à u⃗
    • C. est colinéaire à u⃗ si b = 0
    • D. est égal au vecteur 2u⃗
    Réponse

    B. n’est jamais colinéaire à u⃗ — det(u⃗, v⃗) = a(2b + 1) − b × 2a = a, qui n’est pas nul : u⃗ et v⃗ ne sont jamais colinéaires.

  11. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles et C appartient à (AB). Alors :

    • A. ABCD est un parallélogramme
    • B. AB⃗ = CD⃗
    • C. ABCD est un trapèze
    • D. (AB) et (CD) sont confondues
    Réponse

    D. (AB) et (CD) sont confondues — Deux droites parallèles qui ont un point commun sont confondues : A, B, C et D sont alignés.

  12. u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires. Les vecteurs 2u⃗ − v⃗ et −6u⃗ + 3v⃗ sont :

    • A. colinéaires
    • B. non colinéaires
    • C. égaux
    • D. de même sens
    Réponse

    A. colinéaires — −6u⃗ + 3v⃗ = −3(2u⃗ − v⃗) : ils sont colinéaires, de sens contraires.

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