Colinéarité et déterminant

Dans une base, on donne $\overrightarrow{u}(2;-5)$. Compléter avec le réel $k$ tel que le vecteur donné soit égal à $k\overrightarrow{u}$.

1. $\overrightarrow{v}(-6;15)=$ $\times \overrightarrow{u}$
   Abscisse : $-6=k\times 2$ donne $k=-3$. Ordonnée : $(-3)\times (-5)=15$, c’est bien l’ordonnée de $\overrightarrow{v}$. Donc $\overrightarrow{v}=-3\overrightarrow{u}$.
2. $\overrightarrow{w}(1;-2,5)=$ $\times \overrightarrow{u}$
   Abscisse : $1=k\times 2$ donne $k=0,5$. Ordonnée : $0,5\times (-5)=-2,5$. Donc $\overrightarrow{w}=0,5\overrightarrow{u}$ : même sens, deux fois plus court.
3. $\overrightarrow{t}(-0,8;2)=$ $\times \overrightarrow{u}$
   Abscisse : $-0,8=k\times 2$ donne $k=-0,4$. Ordonnée : $(-0,4)\times (-5)=2$. Donc $\overrightarrow{t}=-0,4\overrightarrow{u}$.
4. $\overrightarrow{0}=$ $\times \overrightarrow{u}$
   $0\times \overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $(0;0)$ : c’est le vecteur nul. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

On lit les vecteurs sur le quadrillage ci-dessous.Pour le dernier item, écris le nom du vecteur (une lettre).

1. $\overrightarrow{b}=$ $\times \overrightarrow{a}$
   $\overrightarrow{a}$ fait « 4 à droite, 2 en bas », soit $(4;-2)$ ; $\overrightarrow{b}$ fait « 8 à gauche, 4 en haut », soit $(-8;4)$. Or $-2\times 4=-8$ et $-2\times (-2)=4$ : $\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{a}$ (sens contraire, deux fois plus long).
2. $\overrightarrow{c}=$ $\times \overrightarrow{a}$
   $\overrightarrow{c}$ a pour coordonnées $(2;-1)$, et $0,5\times 4=2$, $0,5\times (-2)=-1$ : $\overrightarrow{c}=0,5\overrightarrow{a}$.
3. Le seul vecteur de la figure qui n’est pas colinéaire à $\overrightarrow{a}$ est
   $\overrightarrow{d}(4;2)$ : l’abscisse donnerait $k=1$, mais $1\times (-2)=-2\ne 2$. $\overrightarrow{d}$ « monte » quand $\overrightarrow{a}$ « descend » : ils n’ont pas la même direction.

Justifier par la proportionnalité des coordonnées.

1. Démontrer que $\overrightarrow{m}(-4;10)$ et $\overrightarrow{n}(6;-15)$ sont colinéaires et donner $k$ tel que $\overrightarrow{n}=k\overrightarrow{m}$ : $k=$
   Rédaction attendue. On cherche $k$ tel que $\overrightarrow{n}=k\overrightarrow{m}$. L’abscisse impose $6=k\times (-4)$, donc $k=-1,5$. Avec ce $k$, l’ordonnée donne $-1,5\times 10=-15$, qui est bien l’ordonnée de $\overrightarrow{n}$. Les coordonnées de $\overrightarrow{n}$ sont celles de $\overrightarrow{m}$ multipliées par $-1,5$ : elles sont proportionnelles, donc $\overrightarrow{n}=-1,5\overrightarrow{m}$ et les vecteurs sont colinéaires.
2. $\overrightarrow{u}(12;-9)$ et $\overrightarrow{v}(-8;y)$ sont colinéaires pour $y=$
   L’abscisse donne $k={\displaystyle \frac{-8}{12}}$ $=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$. Pour que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$, il faut $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\times (-9)=6$.
3. $\overrightarrow{p}(0;-7)$ et $\overrightarrow{q}(x;21)$ sont colinéaires pour $x=$
   L’ordonnée donne $21=k\times (-7)$, soit $k=-3$. Alors $x=-3\times 0=0$ : $\overrightarrow{q}(0;21)=-3\overrightarrow{p}$. Ici, on ne pouvait pas diviser par l’abscisse nulle de $\overrightarrow{p}$.

Raisonner sur la proportionnalité, sans calculatrice.

1. Un élève affirme que $\overrightarrow{u}(5;-2)$ et $\overrightarrow{v}(10;-5)$ sont colinéaires « car $10=2\times 5$ ». L’ordonnée de $2\overrightarrow{u}$ vaut
   Rédaction attendue. Si $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$, l’abscisse impose $k=2$. Or $2\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $(10;-4)$, et $-4\ne -5$. Aucun réel $k$ ne convient pour les deux coordonnées : $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires. L’élève n’a vérifié qu’une coordonnée.
2. Les vecteurs $\overrightarrow{u}(a;2)$ et $\overrightarrow{v}(8;a)$ sont colinéaires et de même sens pour $a=$
   Si $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$ : $8=ka$ et $a=2k$. En remplaçant, $8=2k^2$, donc $k^2=4$ et $k=2$ ou $k=-2$. Même sens : $k>0$, donc $k=2$ et $a=4$. Contrôle : $\overrightarrow{u}(4;2)$ et $\overrightarrow{v}(8;4)=2\overrightarrow{u}$. (Avec $k=-2$, $a=-4$ donne des sens contraires.)

Le plan est muni d’une base orthonormée. Calculer chaque déterminant.

1. $\overrightarrow{u}(14;-4)$ et $\overrightarrow{v}(-21;6)$ : $det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=$
   $det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ $=14\times 6-(-4)\times (-21)$ $=84-84$ $=0$. Le déterminant est nul : $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires (on a $\overrightarrow{v}=-1,5\overrightarrow{u}$).
2. $\overrightarrow{p}(5;2)$ et $\overrightarrow{q}(-2;-0,8)$ : $det(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q})=$
   $det(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q})$ $=5\times (-0,8)-2\times (-2)$ $=-4+4$ $=0$ : $\overrightarrow{p}$ et $\overrightarrow{q}$ sont colinéaires ($\overrightarrow{q}=-0,4\overrightarrow{p}$).
3. $\overrightarrow{w}(7;-3)$ et $\overrightarrow{z}(-3;7)$ : $det(\overrightarrow{w},\overrightarrow{z})=$
   $det(\overrightarrow{w},\overrightarrow{z})$ $=7\times 7-(-3)\times (-3)$ $=49-9$ $=40$ $\ne 0$ : $\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{z}$ ne sont pas colinéaires. Échanger les coordonnées ne donne pas un vecteur colinéaire.
4. $\overrightarrow{a}(-3;5)$ et $\overrightarrow{b}(4;-2)$ : $det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=$
   $det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ $=(-3)\times (-2)-5\times 4$ $=6-20$ $=-14$ $\ne 0$ : non colinéaires.

Dans une base orthonormée, $\overrightarrow{u}(2;7)$ et $\overrightarrow{v}(-1;3)$.

1. $det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=$
   $det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ $=2\times 3-7\times (-1)$ $=6+7$ $=13$.
2. $det(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u})=$
   On calcule dans l’autre ordre : $det(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u})$ $=(-1)\times 7-3\times 2$ $=-7-6$ $=-13$. Échanger les vecteurs change le signe du déterminant.
3. $det(2\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=$
   $2\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $(4;14)$ : $det(2\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ $=4\times 3-14\times (-1)$ $=12+14$ $=26$, soit $2\times 13$.
4. $det(\overrightarrow{u},-5\overrightarrow{u})=$
   $\overrightarrow{u}$ et $-5\overrightarrow{u}$ sont colinéaires, donc leur déterminant est nul. Par le calcul : $-5\overrightarrow{u}(-10;-35)$ et $2\times (-35)-7\times (-10)$ $=-70+70$ $=0$.

Trouver le paramètre pour que les vecteurs soient colinéaires (base orthonormée). Réponse exacte : fraction ou entier.

1. $\overrightarrow{a}(k;-6)$ et $\overrightarrow{b}(4;9)$ : $k=$
   $det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ $=9k-(-6)\times 4$ $=9k+24$. Il est nul si et seulement si $k=-{\displaystyle \frac{24}{9}}$ $=-{\displaystyle \frac{8}{3}}$. Contrôle : $\overrightarrow{a}(-{\displaystyle \frac{8}{3}};-6)$ $=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{b}$.
2. $\overrightarrow{c}(5;m-1)$ et $\overrightarrow{d}(-2;4)$ : $m=$
   $det(\overrightarrow{c},\overrightarrow{d})$ $=5\times 4-(m-1)\times (-2)$ $=20+2m-2$ $=2m+18$. Nul pour $m=-9$. Contrôle : $\overrightarrow{c}(5;-10)$ $=-2,5\overrightarrow{d}$.

Démonstration du cours et une conséquence (base orthonormée). Pour la deuxième case, écris par exemple a²+b².

1. $\overrightarrow{u}(-4;6)$ et $\overrightarrow{v}(-10;15)$ sont non nuls. Démontrer que $det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=0$ entraîne $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$ en posant $k={\displaystyle \frac{x\prime }{x}}$, et donner $k=$
   Rédaction attendue. $det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ $=(-4)\times 15-6\times (-10)$ $=-60+60$ $=0$, donc $(-4)\times 15=6\times (-10)$. L’abscisse de $\overrightarrow{u}$ n’est pas nulle : on pose $k={\displaystyle \frac{-10}{-4}}=2,5$, et l’on a $x\prime =kx$. En divisant l’égalité $(-4)\times 15=6\times (-10)$ par $-4$ : $15=6\times {\displaystyle \frac{-10}{-4}}$ $=6\times 2,5$, soit $y\prime =ky$. Donc $\overrightarrow{v}=2,5\overrightarrow{u}$ : les vecteurs sont colinéaires.
2. Pour $(a;b)\ne (0;0)$, on pose $\overrightarrow{u}(a;b)$ et $\overrightarrow{v}(-b;a)$. En fonction de $a$ et $b$, $det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=$ . Justifier que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont jamais colinéaires.
   Rédaction attendue. $det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ $=a\times a-b\times (-b)$ $=a^2+b^2$. Un carré est positif ou nul, et $a$ et $b$ ne sont pas nuls tous les deux : l’un des carrés est strictement positif, donc $a^2+b^2>0$. Le déterminant n’est jamais nul : $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont jamais colinéaires.

Dans un repère orthonormé d’origine $O$, on donne $A(3;-7)$, $B(-6;14)$, $C(2;5)$ et $D(5;12)$.

1. $det(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ $=$
   $\overrightarrow{OA}(3;-7)$ et $\overrightarrow{OB}(-6;14)$ : $3\times 14-(-7)\times (-6)$ $=42-42$ $=0$. Les vecteurs sont colinéaires : $O$, $A$ et $B$ sont alignés.
2. $det(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD})$ $=$
   $\overrightarrow{OC}(2;5)$ et $\overrightarrow{OD}(5;12)$ : $2\times 12-5\times 5$ $=24-25$ $=-1$ $\ne 0$. $O$, $C$ et $D$ ne sont pas alignés, de très peu.

Dans un repère, $A(-4;-1)$, $B(2;3)$, $C(8;7)$ et $D(5;6)$.

1. Montrer que $A$, $B$ et $C$ sont alignés : $det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ $=$
   Rédaction attendue. $\overrightarrow{AB}(6;4)$ et $\overrightarrow{AC}(12;8)$. $det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ $=6\times 8-4\times 12$ $=48-48$ $=0$. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
2. $det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ $=$
   $\overrightarrow{AD}(9;7)$ : $6\times 7-4\times 9$ $=42-36$ $=6$ $\ne 0$. Les vecteurs ne sont pas colinéaires : $D$ n’appartient pas à la droite $(AB)$.

Même repère, $A(-4;-1)$ et $B(2;3)$. On cherche des points de la droite $(AB)$. Réponse exacte.

1. $E(m;10)$ appartient à $(AB)$ pour $m=$
   $\overrightarrow{AE}(m+4;11)$. $E\in (AB)$ $⟺6\times 11-4(m+4)$ $=0$ $⟺66-4m-16$ $=0$ $⟺4m$ $=50$ $⟺m$ $=12,5$. Contrôle : $\overrightarrow{AE}(16,5;11)$ $=2,75\overrightarrow{AB}$.
2. Le point de $(AB)$ situé sur l’axe des abscisses a pour abscisse
   $M(x;0)$ et $\overrightarrow{AM}(x+4;1)$. $det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM})$ $=6\times 1-4(x+4)$ $=-4x-10$, nul pour $x=-2,5$. Contrôle : $\overrightarrow{AM}(1,5;1)$ $=0,25\overrightarrow{AB}$.
3. Le point de $(AB)$ situé sur l’axe des ordonnées a pour ordonnée
   $N(0;y)$ et $\overrightarrow{AN}(4;y+1)$. $det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AN})$ $=6(y+1)-4\times 4$ $=6y-10$, nul pour $y={\displaystyle \frac{10}{6}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$.

Paramètre et position sur la droite. Réponse exacte.

1. $A(1;2)$, $B(4;-1)$ et $C(m;m)$. Démontrer que $A$, $B$ et $C$ sont alignés pour une seule valeur de $m$ : $m=$
   Rédaction attendue. $\overrightarrow{AB}(3;-3)$ et $\overrightarrow{AC}(m-1;m-2)$. $det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ $=3(m-2)-(-3)(m-1)$ $=3m-6+3m-3$ $=6m-9$. Les points sont alignés si et seulement si ce déterminant est nul, soit $6m=9$, c’est-à-dire $m=1,5$ : une seule valeur convient. Contrôle : $C(1,5;1,5)$ et $\overrightarrow{AC}(0,5;-0,5)$ $={\displaystyle \frac{1}{6}}\overrightarrow{AB}$.
2. $P(2;5)$, $Q(5;11)$ et $R(-3;-5)$ sont alignés. Le réel $k$ tel que $\overrightarrow{PR}$ $=k\overrightarrow{PQ}$ vaut ; en déduire lequel des trois points est entre les deux autres.
   $\overrightarrow{PQ}(3;6)$ et $\overrightarrow{PR}(-5;-10)$ : $det$ $=3\times (-10)-6\times (-5)$ $=-30+30$ $=0$, et $-5=k\times 3$ donne $k=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$ (contrôle : $-{\displaystyle \frac{5}{3}}\times 6=-10$). Comme $k<0$, $\overrightarrow{PR}$ et $\overrightarrow{PQ}$ sont de sens contraires : $P$ est entre $Q$ et $R$.

Dans un repère orthonormé, calculer le déterminant demandé.

1. $A(0;3)$, $B(4;5)$, $C(-1;-2)$, $D(5;1)$ : $det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$ $=$
   $\overrightarrow{AB}(4;2)$ et $\overrightarrow{CD}(6;3)$ : $4\times 3-2\times 6$ $=12-12$ $=0$. Les vecteurs sont colinéaires : $(AB)\parallel (CD)$.
2. $E(1;1)$, $F(3;6)$, $G(0;-4)$, $H(2;0)$ : $det(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{GH})$ $=$
   $\overrightarrow{EF}(2;5)$ et $\overrightarrow{GH}(2;4)$ : $2\times 4-5\times 2$ $=8-10$ $=-2$ $\ne 0$. Les droites $(EF)$ et $(GH)$ ne sont pas parallèles : elles sont sécantes.

$A(1;1)$, $B(3;y)$, $C(0;4)$ et $D(6;-5)$ dans un repère.

1. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles pour $y=$
   $\overrightarrow{AB}(2;y-1)$ et $\overrightarrow{CD}(6;-9)$. $det$ $=2\times (-9)-(y-1)\times 6$ $=-18-6y+6$ $=-6y-12$, nul pour $y=-2$. Contrôle : $\overrightarrow{AB}(2;-3)$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{CD}$.

$A(-2;1)$, $B(6;-3)$, $C(5;2)$ et $D(1;4)$ dans un repère orthonormé.

1. $det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC})$ $=$
   $\overrightarrow{AB}(8;-4)$ et $\overrightarrow{DC}(4;-2)$ : $8\times (-2)-(-4)\times 4$ $=-16+16$ $=0$. Donc $(AB)\parallel (DC)$.
2. $det(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC})$ $=$
   $\overrightarrow{AD}(3;3)$ et $\overrightarrow{BC}(-1;5)$ : $3\times 5-3\times (-1)$ $=15+3$ $=18$ $\ne 0$. Les droites $(AD)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
3. Déterminer la nature de $ABCD$ : $\overrightarrow{DC}=$ $\times \overrightarrow{AB}$
   Rédaction attendue. D’après les deux calculs précédents, $(AB)\parallel (DC)$ mais $(AD)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. $ABCD$ a donc une seule paire de côtés opposés parallèles : c’est un trapèze de bases $[AB]$ et $[DC]$, et pas un parallélogramme. De plus $\overrightarrow{DC}(4;-2)$ $=0,5\overrightarrow{AB}$ : la petite base mesure la moitié de la grande.

Strictement parallèles ou confondues ? Dans chaque case, écris « confondues » ou « strictement parallèles ».

1. $A(-3;0)$, $B(1;2)$, $C(3;3)$, $D(7;5)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont
   Rédaction attendue. $\overrightarrow{AB}(4;2)$ et $\overrightarrow{CD}(4;2)$ sont colinéaires (égaux), donc $(AB)\parallel (CD)$. $\overrightarrow{AC}(6;3)$ et $det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ $=4\times 3-2\times 6$ $=0$ : $C$ appartient à $(AB)$. Les deux droites sont parallèles et ont le point $C$ en commun : elles sont confondues.
2. $E(0;1)$, $F(2;2)$, $G(0;3)$, $H(4;5)$. Calculer $det(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EG})$ ; les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont
   $\overrightarrow{EF}(2;1)$ et $\overrightarrow{GH}(4;2)$ : $2\times 2-1\times 4=0$, donc $(EF)\parallel (GH)$. $\overrightarrow{EG}(0;2)$ : $det(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EG})$ $=2\times 2-1\times 0$ $=4$ $\ne 0$, donc $G\notin (EF)$. Parallèles sans point commun : strictement parallèles.

$(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ est une base orthonormée.

1. Le vecteur $\overrightarrow{u}=6\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$ a pour ordonnée
   $\overrightarrow{u}=6\overrightarrow{i}+(-1)\overrightarrow{j}$ : ses coordonnées sont $(6;-1)$, son ordonnée est $-1$.
2. $4(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})-7\overrightarrow{i}$ $=$ $\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}$
   On développe et on regroupe : $4\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}-7\overrightarrow{i}$ $=-3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}$. Ce vecteur a pour coordonnées $(-3;4)$.
3. Le vecteur $\overrightarrow{w}(0;-2,5)$ s’écrit $\overrightarrow{w}=$ $\overrightarrow{j}$
   $\overrightarrow{w}$ $=0\overrightarrow{i}-2,5\overrightarrow{j}$ $=-2,5\overrightarrow{j}$ : il est colinéaire à $\overrightarrow{j}$.

On lit les vecteurs sur le quadrillage. $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires ; écrire chaque vecteur sous la forme $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$.

1. $\overrightarrow{w_1}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ avec $a=$ et $b=$
   $\overrightarrow{u}(1;1)$, $\overrightarrow{v}(2;-1)$ et $\overrightarrow{w_1}(3;0)$. $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ a pour coordonnées $(1+2;1-1)=(3;0)$ : $\overrightarrow{w_1}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.
2. $\overrightarrow{w_2}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ avec $a=$ et $b=$
   $\overrightarrow{w_2}(0;3)$. $2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ a pour coordonnées $(2-2;2+1)=(0;3)$ : $\overrightarrow{w_2}=2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$.
3. $\overrightarrow{w_3}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ avec $a=$ et $b=$
   $\overrightarrow{w_3}(3;-3)$. $-\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}$ a pour coordonnées $(-1+4;-1-2)=(3;-3)$ : $\overrightarrow{w_3}=-\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}$.

Dans une base orthonormée, $\overrightarrow{u}(2;-1)$, $\overrightarrow{v}(1;0)$ et $\overrightarrow{w}(7;-3)$.

1. Justifier que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires : $det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=$
   Rédaction attendue. $det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ $=2\times 0-(-1)\times 1$ $=1$ $\ne 0$. Le déterminant n’est pas nul, donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires : tout vecteur s’écrit de façon unique $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$.
2. $\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ avec $a=$ et $b=$
   $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ a pour coordonnées $(2a+b;-a)$. L’ordonnée donne $-a=-3$, donc $a=3$ ; l’abscisse donne $6+b=7$, donc $b=1$. Ainsi $\overrightarrow{w}=3\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

$ABCD$ est un parallélogramme. $I$ est le milieu de $[AB]$ et $K$ est le point tel que $\overrightarrow{AK}$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AC}$. On travaille dans la base $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$. Réponses en fraction ou en décimal.

1. $\overrightarrow{DI}=$ $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$
   Relation de Chasles : $\overrightarrow{DI}$ $=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AI}$ $=-\overrightarrow{AD}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}$, car $I$ est le milieu de $[AB]$.
2. $\overrightarrow{DK}=$ $\overrightarrow{AB}+$ $\overrightarrow{AD}$
   $ABCD$ est un parallélogramme : $\overrightarrow{AC}$ $=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Donc $\overrightarrow{AK}$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{DK}$ $=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AK}$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AB}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AD}$.
3. En déduire que $D$, $K$ et $I$ sont alignés : $\overrightarrow{DK}=$ $\overrightarrow{DI}$
   Rédaction attendue. ${\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{DI}$ $={\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AD}$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AB}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AD}$ $=\overrightarrow{DK}$. Les vecteurs $\overrightarrow{DK}$ et $\overrightarrow{DI}$ sont colinéaires, donc $D$, $K$ et $I$ sont alignés. Comme $0<{\displaystyle \frac{2}{3}}<1$, $K$ est sur $[DI]$, aux deux tiers en partant de $D$ (et non au milieu).