Colinéarité et déterminant

Vecteurs colinéaires, déterminant dans une base orthonormée et critère de colinéarité démontré, alignement de trois points, parallélisme de deux droites, vecteur écrit comme combinaison de deux vecteurs non colinéaires.

À propos de cette page

Ce cours de maths de seconde sur la colinéarité suit cinq parties : vecteurs colinéaires et proportionnalité des coordonnées, déterminant dans une base orthonormée avec la démonstration du critère de colinéarité, alignement de trois points, parallélisme de deux droites et trapèzes, puis combinaison de deux vecteurs non colinéaires, avec ou sans repère. Trois figures sur quadrillage accompagnent les exemples.

Vecteurs colinéaires

Ce qu’il faut savoir

Définition. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$ ou $\vec{u} = k \vec{v}$ .

Direction. Deux vecteurs non nuls colinéaires ont la même direction : leurs représentants sont portés par des droites parallèles. Si $\vec{v} = k \vec{u}$ , ils ont le même sens quand $k > 0$ et des sens contraires quand $k < 0$ .

Vecteur nul. $\vec{0} = 0 \times \vec{u}$ : le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

En coordonnées. Dans une base, soit $\vec{u} (x; y)$ et $\vec{v} (x'; y')$ . Comme $k \vec{u}$ a pour coordonnées $(k x; k y)$ , on a : $\vec{v} = k \vec{u} ⟺ x' = k x$ et $y' = k y$ . Les coordonnées de $\vec{v}$ s’obtiennent en multipliant celles de $\vec{u}$ par le même nombre $k$ : elles sont proportionnelles.

Exemples

Lecture sur la figure. $\vec{u}$ fait « 2 à droite, 1 en haut » et $\vec{v}$ fait « 4 à gauche, 2 en bas » : $\vec{v} = - 2 \vec{u}$ . Ils sont colinéaires, de sens contraires, et $\vec{v}$ est deux fois plus long. En revanche, $\vec{w}$ fait « 1 à droite, 3 en haut » : aucun nombre $k$ ne donne à la fois $1 = 2 k$ et $3 = 1 \times k$ , donc $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires.

Colinéaires. $\vec{u} (3; - 2)$ et $\vec{v} (- 7, 5; 5)$ . L’abscisse donne $k = \frac{- 7, 5}{3} = - 2, 5$ . On vérifie l’ordonnée : $(- 2, 5) \times (- 2) = 5$ , c’est bien l’ordonnée de $\vec{v}$ . Donc $\vec{v} = - 2, 5 \vec{u}$ : les vecteurs sont colinéaires.

Non colinéaires. $\vec{p} (4; 6)$ et $\vec{q} (10; 14)$ . L’abscisse donne $k = \frac{10}{4} = 2, 5$ , mais $2, 5 \times 6 = 15 \neq 14$ : les coordonnées ne sont pas proportionnelles, $\vec{p}$ et $\vec{q}$ ne sont pas colinéaires.

Une coordonnée nulle. $\vec{r} (0; 3)$ et $\vec{s} (0; - 12)$ . On ne divise pas par $0$ : on raisonne sur l’ordonnée, $- 12 = - 4 \times 3$ , et $- 4 \times 0 = 0$ . Donc $\vec{s} = - 4 \vec{r}$ .

Réflexe — Je cherche $k$ avec une coordonnée non nulle, puis je le vérifie sur l’autre coordonnée. Même $k$ deux fois : colinéaires ( $\vec{v} = k \vec{u}$ ). Deux valeurs différentes : non colinéaires.

Attention — Un seul quotient ne prouve rien : il faut que les deux coordonnées donnent le même $k$ . « Colinéaires » ne veut dire ni « égaux » ni « de même sens » : $\vec{u}$ et $- 3 \vec{u}$ sont colinéaires.

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Déterminant : critère de colinéarité

Ce qu’il faut savoir

Définition. Dans une base orthonormée, soit $\vec{u} (x; y)$ et $\vec{v} (x'; y')$ . Le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel

det (\vec{u}, \vec{v}) = x y' - y x' .

$\vec{u}$	$\vec{v}$
$x$	$x'$
$y$	$y'$

On écrit les coordonnées en colonnes, puis on fait le « produit en croix » : $x \times y'$ (diagonale qui descend) moins $y \times x'$ (diagonale qui monte).

Critère de colinéarité. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $det (\vec{u}, \vec{v}) = 0$ .

Caractérisations (démonstration au programme). Pour deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , ces trois phrases sont équivalentes : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires ; leurs coordonnées sont proportionnelles ; $det (\vec{u}, \vec{v}) = 0$ .

Règles utiles. Échanger les vecteurs change le signe : $det (\vec{v}, \vec{u})$ $= - det (\vec{u}, \vec{v})$ . Multiplier un des vecteurs par $k$ multiplie le déterminant par $k$ : $det (k \vec{u}, \vec{v})$ $= k det (\vec{u}, \vec{v})$ (car $k x \times y' - k y \times x'$ $= k (x y' - y x')$ ), et de même $det (\vec{u}, k \vec{v})$ $= k det (\vec{u}, \vec{v})$ .

Exemples

Démonstration. Soit $\vec{u} (x; y)$ et $\vec{v} (x'; y')$ deux vecteurs non nuls.

1. Colinéaires $⟺$ coordonnées proportionnelles. Comme les deux vecteurs sont non nuls, « $\vec{u} = k \vec{v}$ » force $k \neq 0$ et s’écrit aussi $\vec{v} = \frac{1}{k} \vec{u}$ : être colinéaires revient donc à l’existence d’un réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$ . Or $k \vec{u}$ a pour coordonnées $(k x; k y)$ , donc $\vec{v} = k \vec{u} ⟺ x' = k x$ et $y' = k y$ : c’est exactement dire que les coordonnées de $\vec{v}$ sont proportionnelles à celles de $\vec{u}$ , de coefficient $k$ .

2. Colinéaires $\Rightarrow$ déterminant nul. Si $\vec{v} = k \vec{u}$ , alors $x' = k x$ et $y' = k y$ , d’où $x y' - y x'$ $= x \times k y - y \times k x$ $= k x y - k x y$ $= 0$ .

3. Déterminant nul $\Rightarrow$ colinéaires. On suppose $x y' - y x' = 0$ , c’est-à-dire $x y' = y x'$ . Comme $\vec{u} \neq \vec{0}$ , on a $x \neq 0$ ou $y \neq 0$ .

• Si $x \neq 0$ , on pose $k = \frac{x'}{x}$ . Alors $x' = k x$ , et en divisant $x y' = y x'$ par $x$ : $y' = y \times \frac{x'}{x} = k y$ . Donc $\vec{v} = k \vec{u}$ .

• Si $x = 0$ , alors $y \neq 0$ et l’égalité devient $0 = y x'$ , donc $x' = 0$ . On pose $k = \frac{y'}{y}$ : $y' = k y$ et $x' = 0 = k x$ . Donc $\vec{v} = k \vec{u}$ .

Dans les deux cas, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. Les points 2 et 3 donnent l’équivalence avec le déterminant.

Calcul. $\vec{u} (4; - 6)$ et $\vec{v} (- 6; 9)$ : $det (\vec{u}, \vec{v})$ $= 4 \times 9 - (- 6) \times (- 6)$ $= 36 - 36$ $= 0$ . Les vecteurs sont colinéaires ; on trouve d’ailleurs $\vec{v} = - 1, 5 \vec{u}$ .

Presque proportionnels, mais non. $\vec{a} (7; 4)$ et $\vec{b} (5; 3)$ : $det (\vec{a}, \vec{b})$ $= 7 \times 3 - 4 \times 5$ $= 21 - 20$ $= 1$ $\neq 0$ . Ils ne sont pas colinéaires, même si la figure semble dire le contraire.

Trouver un paramètre. Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\vec{u} (m; 4)$ et $\vec{v} (3; - 6)$ sont-ils colinéaires ? $det (\vec{u}, \vec{v})$ $= m \times (- 6) - 4 \times 3$ $= - 6 m - 12$ . Il est nul si et seulement si $- 6 m = 12$ , soit $m = - 2$ . Contrôle : $\vec{u} (- 2; 4)$ et $- \frac{2}{3} \times 3 = - 2$ , $- \frac{2}{3} \times (- 6) = 4$ , donc $\vec{u} = - \frac{2}{3} \vec{v}$ .

Réflexe — J’écris les deux vecteurs en colonnes, je calcule $x y' - y x'$ en mettant les nombres négatifs entre parenthèses, et je conclus par une phrase : « le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires » (ou « non nul, donc non colinéaires »). Avec un paramètre, je résous l’équation « déterminant $= 0$ ».

Attention — Le déterminant, c’est $x y' - y x'$ (produit en croix), pas $x x' - y y'$ . Un déterminant nul veut dire « colinéaires », pas « égaux ». Et les deux vecteurs doivent avoir leurs coordonnées dans la même base.

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Alignement de trois points

Ce qu’il faut savoir

Propriété. Soit $A$ , $B$ , $C$ trois points avec $A \neq B$ . Les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ sont colinéaires, c’est-à-dire si et seulement si $det (\vec{A B}, \vec{A C})$ $= 0$ .

Pourquoi. Si $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ sont colinéaires, les droites $(A B)$ et $(A C)$ ont la même direction : elles sont parallèles. Comme elles ont le point $A$ en commun, elles sont confondues, et $C$ est sur la droite $(A B)$ . Réciproquement, si $C$ est sur $(A B)$ , alors $\vec{A C}$ $= k \vec{A B}$ pour un réel $k$ .

Appartenance à une droite. Un point $M$ appartient à la droite $(A B)$ si et seulement si $det (\vec{A B}, \vec{A M})$ $= 0$ .

Position. Si $\vec{A C}$ $= k \vec{A B}$ : pour $0 < k < 1$ , $C$ est entre $A$ et $B$ ; pour $k > 1$ , $B$ est entre $A$ et $C$ ; pour $k < 0$ , $A$ est entre $B$ et $C$ .

Exemples

Alignés. $E (- 3; 1)$ , $F (1; 4)$ et $G (9; 10)$ . On calcule $\vec{E F} (4; 3)$ et $\vec{E G} (12; 9)$ , puis $det (\vec{E F}, \vec{E G})$ $= 4 \times 9 - 3 \times 12$ $= 36 - 36$ $= 0$ . Les vecteurs $\vec{E F}$ et $\vec{E G}$ sont colinéaires, donc les points $E$ , $F$ et $G$ sont alignés.

Non alignés. $A (- 2; 5)$ , $B (1; 3)$ et $C (7; - 2)$ . $\vec{A B} (3; - 2)$ et $\vec{A C} (9; - 7)$ , donc $det (\vec{A B}, \vec{A C})$ $= 3 \times (- 7) - (- 2) \times 9$ $= - 21 + 18$ $= - 3$ $\neq 0$ . Les points ne sont pas alignés, même si un dessin rapide pourrait le faire croire.

Un point inconnu. $A (- 1; - 4)$ et $B (2; 2)$ . On cherche le point $M$ de la droite $(A B)$ situé sur l’axe des abscisses : $M (x; 0)$ . $\vec{A B} (3; 6)$ et $\vec{A M} (x + 1; 4)$ . $M \in (A B)$ $⟺ 3 \times 4 - 6 (x + 1)$ $= 0$ $⟺ 6 - 6 x$ $= 0$ $⟺ x$ $= 1$ . Donc $M (1; 0)$ . Contrôle : $\vec{A M} (2; 4)$ $= \frac{2}{3} \vec{A B}$ .

Réflexe — Je prends deux vecteurs qui partent du même point ( $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ ), je calcule leur déterminant et je rédige : « les vecteurs … sont colinéaires, donc les points … sont alignés ». Pour un point inconnu, j’écris « déterminant $= 0$ » et je résous.

Attention — Une figure ne prouve pas un alignement : ci-dessus, $det = - 3$ alors qu’un dessin rapide peut faire croire les points alignés. Et $\vec{A B}$ et $\vec{C D}$ colinéaires (quatre points) ne prouve pas un alignement : cela prouve seulement que $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles.

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Parallélisme de deux droites

Ce qu’il faut savoir

Propriété. Soit $A \neq B$ et $C \neq D$ . Les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{C D}$ sont colinéaires, c’est-à-dire si et seulement si $det (\vec{A B}, \vec{C D})$ $= 0$ .

Strictement parallèles ou confondues. « Parallèles » comprend le cas de droites confondues. Pour trancher, on teste un point : si $C$ est aussi sur $(A B)$ , les droites sont confondues ; sinon, elles sont strictement parallèles.

Quadrilatères. Un quadrilatère $A B C D$ dont les côtés $[A B]$ et $[D C]$ sont parallèles est un trapèze. Si, en plus, $(A D)$ et $(B C)$ sont parallèles, c’est un parallélogramme (deux paires de côtés opposés parallèles).

Exemples

Un trapèze. $A (- 3; - 1)$ , $B (5; 3)$ , $C (4; 6)$ et $D (- 2; 3)$ , comme sur la figure.

$\vec{A B} (8; 4)$ et $\vec{D C} (6; 3)$ : $det (\vec{A B}, \vec{D C})$ $= 8 \times 3 - 4 \times 6$ $= 24 - 24$ $= 0$ . Les vecteurs sont colinéaires, donc $(A B) ∥ (D C)$ .

$\vec{A D} (1; 4)$ et $\vec{B C} (- 1; 3)$ : $det (\vec{A D}, \vec{B C})$ $= 1 \times 3 - 4 \times (- 1)$ $= 3 + 4$ $= 7$ $\neq 0$ . Les droites $(A D)$ et $(B C)$ ne sont pas parallèles.

Conclusion : $A B C D$ est un trapèze de bases $[A B]$ et $[D C]$ , mais pas un parallélogramme. On lit aussi $\vec{D C}$ $= \frac{3}{4} \vec{A B}$ : la petite base mesure les trois quarts de la grande.

Réflexe — Un vecteur pour chaque droite, un déterminant, une conclusion : « les vecteurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles ». Pour savoir si elles sont confondues, je teste si un point de l’une est sur l’autre.

Attention — Parallèles ne veut pas dire « même longueur » : ici $\vec{D C}$ $\neq \vec{A B}$ . Une seule paire de côtés parallèles donne un trapèze, pas un parallélogramme.

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Combinaison de deux vecteurs non colinéaires

Ce qu’il faut savoir

Propriété. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. Pour tout vecteur $\vec{w}$ , il existe un unique couple de réels $(a; b)$ tel que

\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v} .

On dit que $\vec{w}$ est une combinaison de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ . Géométriquement : à partir d’un point $O$ , on va « $a$ fois dans la direction de $\vec{u}$ », puis « $b$ fois dans la direction de $\vec{v}$ » (on trace des parallèles aux deux directions).

Cas de la base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j})$ . Dire que $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x; y)$ , c’est dire exactement que $\vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j}$ .

Identifier les coefficients. Grâce à l’unicité, si $a \vec{u} + b \vec{v}$ $= a' \vec{u} + b' \vec{v}$ avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires, alors $a = a'$ et $b = b'$ . En particulier, $a \vec{u} + b \vec{v} = \vec{0}$ impose $a = b = 0$ .

Sans repère. Dans une figure (triangle $A B C$ , parallélogramme…), on choisit deux vecteurs non colinéaires, souvent $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ , et on exprime tous les autres en fonction d’eux avec la relation de Chasles. La colinéarité se lit alors sur les coefficients.

Exemples

Sur la figure. $\vec{u} (3; 1)$ et $\vec{v} (1; 2)$ ne sont pas colinéaires. En partant de $O$ , on suit $\vec{u}$ une fois puis $\vec{v}$ deux fois : on arrive au bout de $\vec{w}$ . Donc $\vec{w} = \vec{u} + 2 \vec{v}$ , ce que confirment les coordonnées : $(3 + 2 \times 1; 1 + 2 \times 2)$ $= (5; 5)$ .

Avec des coordonnées. $\vec{u} (1; 3)$ , $\vec{v} (0; 2)$ et $\vec{w} (4; 8)$ . D’abord $det (\vec{u}, \vec{v})$ $= 1 \times 2 - 3 \times 0$ $= 2$ $\neq 0$ : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. On cherche $a$ et $b$ tels que $a \vec{u} + b \vec{v} = \vec{w}$ . Le vecteur $a \vec{u} + b \vec{v}$ a pour coordonnées $(a; 3 a + 2 b)$ . L’abscisse donne $a = 4$ ; l’ordonnée donne $12 + 2 b = 8$ , donc $b = - 2$ . Ainsi $\vec{w} = 4 \vec{u} - 2 \vec{v}$ .

Sans repère. $A B C$ est un triangle et $G$ est défini par $\vec{A G}$ $= \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ . Montrons que $B$ , $G$ et $C$ sont alignés. Par la relation de Chasles, $\vec{B G}$ $= \vec{B A} + \vec{A G}$ $= - \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ $= - \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ . Or $\vec{B C}$ $= \vec{B A} + \vec{A C}$ $= - \vec{A B} + \vec{A C}$ . Donc $\vec{B G}$ $= \frac{3}{4} \vec{B C}$ : les vecteurs sont colinéaires, $B$ , $G$ et $C$ sont alignés, et $G$ est sur $[B C]$ aux trois quarts en partant de $B$ .

Réflexe — Je vérifie d’abord que les deux vecteurs de base ne sont pas colinéaires (déterminant non nul, ou figure). Puis j’exprime chaque vecteur sous la forme $a \vec{u} + b \vec{v}$ (Chasles sans repère, coordonnées avec repère) et je compare les coefficients.

Attention — L’écriture $a \vec{u} + b \vec{v}$ n’est unique que si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. Ne pas inverser les rôles : $a$ va avec $\vec{u}$ , $b$ avec $\vec{v}$ . En seconde, les coordonnées sont choisies pour qu’une équation donne directement un coefficient (sinon, l’énoncé guide le calcul).

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Pour aller plus loin

Vecteurs : opérations et coordonnées. Égalité de deux vecteurs, somme, relation de Chasles, produit par un réel, coordonnées de $\vec{A B}$ , norme et milieu : chapitre Vecteurs : opérations et coordonnées. Ce sont les outils de calcul utilisés ici.

Équations de droites. Le déterminant sert à établir l’équation cartésienne d’une droite : $M (x; y)$ est sur la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$ si et seulement si $det (\vec{A M}, \vec{u})$ $= 0$ . Vecteur directeur, pente et intersection : chapitre Équations de droites.

Systèmes. Les systèmes de deux équations à deux inconnues ne sont plus au programme de seconde depuis 2026 : dans ce chapitre, les décompositions $a \vec{u} + b \vec{v}$ se font avec des coordonnées où une équation donne directement un coefficient, ou bien, dans un problème, le calcul est guidé : on exprime un coefficient en fonction de l’autre, puis on remplace.

À retenir

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$ (ou $\vec{u} = k \vec{v}$ ) ; le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
En base orthonormée : $det (\vec{u}, \vec{v})$ $= x y' - y x'$ ; $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires $⟺ det (\vec{u}, \vec{v}) = 0$ $⟺$ coordonnées proportionnelles (vecteurs non nuls).
$A$ , $B$ , $C$ alignés $⟺ \vec{A B}$ et $\vec{A C}$ colinéaires $⟺ det (\vec{A B}, \vec{A C})$ $= 0$ .
$(A B) ∥ (C D)$ $⟺ \vec{A B}$ et $\vec{C D}$ colinéaires ; un point commun en plus : droites confondues.
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, tout vecteur s’écrit de façon unique $a \vec{u} + b \vec{v}$ ; $\vec{u} (x; y)$ signifie $\vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j}$ .

Questions fréquentes

Comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires ?

On cherche un réel k tel que v⃗ = ku⃗ : on le calcule avec une coordonnée non nulle de u⃗, puis on vérifie qu’il convient aussi pour l’autre coordonnée. Si les deux coordonnées donnent le même k, les vecteurs sont colinéaires. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Comment calculer le déterminant de deux vecteurs ?

Dans une base orthonormée, pour u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′), det(u⃗, v⃗) = xy′ − yx′ : on écrit les vecteurs en colonnes et on fait le produit en croix. Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est nul. La démonstration, au programme de seconde, est rédigée dans le cours.

Comment montrer que trois points sont alignés ?

On calcule les coordonnées de AB⃗ et AC⃗, puis det(AB⃗, AC⃗). S’il est nul, les vecteurs sont colinéaires et les points A, B, C sont alignés ; sinon, ils ne le sont pas. Pour trouver une coordonnée inconnue d’un point de (AB), on résout « déterminant = 0 ».

Comment montrer que deux droites sont parallèles avec des vecteurs ?

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB⃗ et CD⃗ sont colinéaires, c’est-à-dire si det(AB⃗, CD⃗) = 0. Pour savoir si elles sont confondues, on vérifie si un point de l’une appartient à l’autre.

Que veut dire écrire un vecteur comme combinaison de deux vecteurs ?

Si u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires, tout vecteur w⃗ s’écrit d’une seule façon w⃗ = au⃗ + bv⃗. Dans la base orthonormée (i⃗, j⃗), u⃗(x ; y) signifie u⃗ = xi⃗ + yj⃗. Sans repère, on exprime les vecteurs d’une figure en fonction de deux d’entre eux (souvent AB⃗ et AC⃗) avec la relation de Chasles.

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