Fiche de révision : arithmétique, multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs

Notations ℕ et ℤ, multiples et diviseurs (a = kb), somme de multiples, nombres pairs et impairs, fraction irréductible, avec les deux démonstrations du programme.

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benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Arithmétique

Fiche méthode

(Mathématiques 2nde · Nombres et calculs · Arithmétique)

La démarche pour une question d’arithmétique

1. Je traduis avec des lettres : multiple de $n$ → $n k$ ; pair → $2 k$ ; impair → $2 k + 1$ ( $k \in ℤ$ , une lettre par nombre).

2. Je calcule : je développe et je réduis.

3. Je fais apparaître la forme voulue : $n \times K$ , $2 K$ ou $2 K + 1$ .

4. Je justifie que $K$ est un entier, puis je conclus par une phrase.

Le réflexe — la phrase « K est un entier » doit être écrite : c’est elle qui fait d’un calcul une démonstration.

Cas 1 · Multiple ou diviseur ?

Réflexe — j’écris a = b × k avec k entier ; pour un « non », je donne le reste ou deux multiples consécutifs ; pour lister les diviseurs, je cherche les paires et je m’arrête quand d × d dépasse a.

Exemple. Questions types : « $a$ est-il un multiple de $b$ ? », « Lister les diviseurs positifs de $a$ ». Exemple : diviseurs positifs de $63$ .

$63 = 1 \times 63 = 3 \times 21 = 7 \times 9$ .

$2$ , $4$ , $5$ et $6$ ne divisent pas $63$ , et $8 \times 8 = 64 > 63$ : on s’arrête.

Diviseurs positifs de $63$ : $1$ , $3$ , $7$ , $9$ , $21$ , $63$ .

Attention — « 6 divise 42 » : c’est 42 qui est le multiple de 6.

Cas 2 · Montrer qu’une expression est un multiple de n

Réflexe — je développe, je mets n en facteur, j’écris « K est un entier » ; pour une affirmation fausse, un contre-exemple.

Exemple. Questions types : « Montrer que … est un multiple de $3$ pour tout entier $n$ », « Montrer que la somme de deux multiples de $n$ est un multiple de $n$ ». Exemple : $6 n + 9$ .

Soit $n \in ℤ$ . $6 n + 9 = 3 \times 2 n + 3 \times 3 = 3 (2 n + 3)$ .

$K = 2 n + 3$ est un entier.

Donc $6 n + 9$ est un multiple de $3$ pour tout entier $n$ .

Attention — vérifier sur trois valeurs ne prouve rien ; un seul contre-exemple prouve qu’une affirmation est fausse.

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Cas 3 · Pair ou impair

Réflexe — n = 2k ou n = 2k + 1 ; je calcule ; je fais apparaître 2K ou 2K + 1 avec K entier ; « pour tout n » : deux cas.

Exemple. Questions types : « Déterminer la parité de … », « Montrer que … est pair pour tout entier $n$ ». Exemple : $4 n^{2} + 4 n + 3$ .

Soit $n \in ℤ$ . $4 n^{2} + 4 n + 3$ $= 4 n^{2} + 4 n + 2 + 1$ $= 2 (2 n^{2} + 2 n + 1) + 1$ .

$K = 2 n^{2} + 2 n + 1$ est un entier.

Donc $4 n^{2} + 4 n + 3$ est impair pour tout entier $n$ .

Attention — deux nombres différents s’écrivent avec deux lettres différentes (2k + 1 et 2p + 1).

Cas 4 · Rendre une fraction irréductible

Réflexe — je décompose en facteurs premiers, je simplifie par tous les facteurs communs, je vérifie qu’il n’en reste aucun.

Exemple. Questions types : « Écrire sous forme irréductible », « Calculer et donner le résultat sous forme irréductible ». Exemple : $\frac{198}{308}$ .

$198 = 2 \times 3^{2} \times 11$ et $308 = 2^{2} \times 7 \times 11$ .

Facteurs communs : $2 \times 11 = 22$ . $\frac{198}{308} = \frac{9}{14}$ .

$9 = 3^{2}$ et $14 = 2 \times 7$ n’ont aucun facteur commun : $\frac{9}{14}$ est irréductible.

Attention — on simplifie des facteurs, jamais les termes d’une somme.

Les pièges

« b divise a » veut dire « a est un multiple de b », et non l’inverse.
0 est pair et c’est un multiple de tout entier ; on ne divise jamais par 0.
Un multiple de 4 et de 10 n’est pas forcément un multiple de 40 (exemple : 20).
La même lettre k pour deux nombres différents revient à supposer qu’ils sont égaux.
Une simplification incomplète n’est pas une forme irréductible : vérifier qu’il ne reste aucun facteur commun.
Un multiple peut être négatif : k est un entier relatif.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode d’arithmétique tient sur deux pages au plus : la démarche en quatre temps (traduire avec des lettres, calculer, faire apparaître n × K, 2K ou 2K + 1, justifier que K est entier), puis une question type rédigée pour chacun des quatre cas du cours et la liste des pièges classiques.

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